黄金卷02（天津专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金卷】备战2025年中考数学模拟卷（天津专用） 黄金卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（本题3分）计算的结果为（     ） A． B．1 C．4 D． 2．（本题3分）的值等于（    ） A． B． C． D． 3．（本题3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（    ） A．津 B．门 C．美 D．景 4．（本题3分）2014年某市启动了历史上规模最大的轨道交通投资建设，预计某市轨道交通投资将达51 800 000 000元人民币．将51 800 000 000用科学记数法表示正确的是（    ） A．5．18×1010 B．51．8×109 C．0．518×1011 D．518×108 5．（本题3分）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（    ） 正面 A． B． C． D． 6．（本题3分）化简的结果是（　　） A． B． C． D． 7．（本题3分）若点都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．（本题3分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何．”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余2辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少．设有x人，y辆车，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 9．（本题3分）若，为方程的两根，则的值为（    ） A．1 B． C． D．3 10．（本题3分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1，点C的对应点恰好落在CB的延长线上，连接CB1，则下列说法错误的是（　　）    A．旋转角为120° B．ABB1C1 C．S＝S D．AB1＝B1C1 11．（本题3分）如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点，若，则的面积为（    ） A．2 B．3 C． D． 12．（本题3分）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y=ax2+6x-(a≠0)的图象上有且只有一个完美点，且当0≤x≤m时，二次函数y=ax2+6x-5(a≠0)的最小值为-5，最大值为4，则m的取值范围是(　　) A．1≤m≤3 B．3≤m≤5 C．3≤m≤6 D．m≥3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．（本题3分）一个不透明的袋子中装有10个小球，其中6个红球、4个绿球，这些小球除颜色外无其它差别．从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为 ． 14．（本题3分）计算 ． 15．（本题3分）计算的结果等于 ． 16．（本题3分）已知在正比例函数y＝－2mx中，函数y的值随x值的增大而增大，则点P（m，4）在第 象限． 17．（本题3分）如图，在菱形中，、分别是边，上的动点，连接，，点、分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为 ． 18．（本题3分）在网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、M、N均为格点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)线段的长为 ； (2)如图是以格点O为圆心的圆，在弦上找出一点P，使． 请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．（本题8分） 解不等式组． 请结合题意填空，完成本小题的解答. （Ⅰ）解不等式①，得 ； （Ⅱ）解不等式②，得 ； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为 . 20．（本题8分）某校为了解学生利用课余时间参加义务劳动的情况，随机调查了部分学生参加义务劳动的时间（单位：h）．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．    请根据相关信息，解答下列问题； (1)本次接受随机抽样调查的学生人数为___________，图①中的m的值为___________； (2)求统计的这组数据的平均数、众数和中位数； (3)若该校有400名学生参加了义务劳动，估计其中劳动时间大于的学生人数． 21．（本题10分）四边形内接于为的直径，点在的延长线上，且．    (1)如图1，求证：是的切线； (2)如图1，若 ，当的半径为时，求的长； (3)如图2，的延长线交于点，若，求证：． 22．（本题10分）如图，某建筑物楼顶挂有广告牌，小华准备利用所学的在角函数知识估测该建筑的高度．由于场地有限，不便测量，所以小华从点A处滑坡度为的斜坡步行30米到达点P处，测得广告牌底部C的仰角为45°，广告牌顶部B的仰角为53°，小华的身高忽略不计，已知广告牌米．（参考数据：，，） (1)求P处距离水平地面的高度； (2)求建筑物的高度． 23．（本题10分）已知张强家、体育场、文具店在同一直线上，下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家，图中x表示时间，y表示张强离家的距离． 根据图象回答下列问题： (1)体育场离张强家______km： (2)体育场离文具店______km，张强在文具店停留了______min； (3)张强从体育场到文具店的平均速度是______km/min： (4)①当时，请求出y关于x的函数解析式；②直接写出何时张强离家1km． 24．（本题10分）将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点在边上点不与点，重合，折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点，并与轴的正半轴相交于点，且，点的对应点落在第一象限．设． (1)如图1，当时，直接写出 　 　度和点的坐标( 　 　，　 　)； (2)如图2，若折叠后重合部分为四边形，，分别与边相交于点，，求出 的长用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； (3)若折叠后的重合部分的面积为，则的值可以是 　 　(请直接写出两个不同的值即可)． 25．（本题10分）抛物线（，为常数，）顶点为，与轴交于点， （点在点左侧），与轴交于点，直线过点且平行于轴，为第一象限内直线上一动点，为线段上一动点． (1)若，． ①求点和点，的坐标； ②当点 为直线与抛物线的交点时，求的最小值； (2)若，，且的最小值等于时，求，的值． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金卷】备战2025年中考数学模拟卷（天津专用） 黄金卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（本题3分）计算的结果为（    ） A． B．1 C．4 D． 【答案】A 【详解】解：， 故选：A 2．（本题3分）的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 故选：D． 3．（本题3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（    ） A．津 B．门 C．美 D．景 【答案】C 【详解】 A，不是轴对称图形，故该选项错误； B，不是轴对称图形，故该选项错误； C，是轴对称图形，故该选项正确； D，不是轴对称图形，故该选项错误； 故选：C． 4．（本题3分）2014年某市启动了历史上规模最大的轨道交通投资建设，预计某市轨道交通投资将达51 800 000 000元人民币．将51 800 000 000用科学记数法表示正确的是（    ） A．5．18×1010 B．51．8×109 C．0．518×1011 D．518×108 【答案】A 【详解】解：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 则51 800 000 000= 5.18×1010. 故选A 5．（本题3分）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（    ） 正面 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层靠右一个小正方形，即： 故选：B． 6．（本题3分）化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：原式 =． 故选：A． 7．（本题3分）若点都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了，反比例函数所在象限，反比例函数的增减性，解题的关键是：熟练掌握反比例函数的增减性．反比例函数经过一、三象限，由三点纵坐标的符号，得到，，，由反比例函数在第一象限，随的增大而减小，得到，即可求解． 【详解】解：∵点、、都在反比例函数的图像上， ∴反比例函数经过一、三象限， ∵，，， ∴，，， ∵反比例函数在第一象限，随的增大而减小，， ∴， ∴， 故选：B． 8．（本题3分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何．”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余2辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少．设有x人，y辆车，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】略 9．（本题3分）若，为方程的两根，则的值为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根于系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 【详解】解：，为方程的两根， ． 故选D． 10．（本题3分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1，点C的对应点恰好落在CB的延长线上，连接CB1，则下列说法错误的是（　　）    A．旋转角为120° B．ABB1C1 C．S＝S D．AB1＝B1C1 【答案】D 【详解】解：∵∠BAC＝90°，∠ACB＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1， ∴AC＝AC1， ∴∠AC1C＝∠ACB＝30°， ∴∠CAC1＝120°， ∴旋转角为120°，故A正确； ∵∠ABC＝60°， ∴∠ABC1＝120°， ∵∠AC1B1＝∠ACB＝∠AC1C＝30°， ∴AB∥B1C1，故B正确； 延长CA交B1C1于H，    ∵AB∥B1C1， ∴AH⊥B1C1， ∴B1H＝AB1＝AB， ∵S＝AC•B1H＝AC•AB1， S＝AB•AH＝AB·AC＝AB1·AC， ∴S＝S，故C正确； ∵AB1＝AB＝BC， ∴AB1＝B1C1，故D错误， 故选：D． 11．（本题3分）如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点，若，则的面积为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】 解：如图，过点作于． ，，平分， ， ， 故选：D． 12．（本题3分）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y=ax2+6x-(a≠0)的图象上有且只有一个完美点，且当0≤x≤m时，二次函数y=ax2+6x-5(a≠0)的最小值为-5，最大值为4，则m的取值范围是(　　) A．1≤m≤3 B．3≤m≤5 C．3≤m≤6 D．m≥3 【答案】C 【详解】解：∵二次函数y=ax2+6x-(a≠0)的图象上有且只有一个完美点， 设完美点的坐标为(n,n)， ∴方程n=an2+6n-即an2+5n-=0有两个相等的实数根， ∴， ∴a=-1， ∴二次函数y=ax2+6x-5的解析式为：y=-x2+6x-5=-(x-3)2+4， ∴当x=3时，函数有最大值为4， 又∵当0≤x≤m时，函数最小值为-5， 令-x2+6x-5=-5， 则x=0或6， ∴要使函数最小值为-5，最大值为4， 则3≤m≤6， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．（本题3分）一个不透明的袋子中装有10个小球，其中6个红球、4个绿球，这些小球除颜色外无其它差别．从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为 ． 【答案】 【详解】解：∵一个不透明的袋子中装有10个小球，其中6个红球、4个绿球， ∴从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为＝． 故答案为． 14．（本题3分）计算 ． 【答案】 【详解】， 故答案为： 15．（本题3分）计算的结果等于 ． 【答案】16 【详解】解：， 故答案为：16． 16．（本题3分）已知在正比例函数y＝－2mx中，函数y的值随x值的增大而增大，则点P（m，4）在第 象限． 【答案】二 【详解】解：∵ 函数y的值随x值的增大而增大， ∴，解得， ∴点P（m，4）在第二象限． 17．（本题3分）如图，在菱形中，、分别是边，上的动点，连接，，点、分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：连接，如图， ∵分别为的中点， ∴是的中位线， ， 当时，则最小，得到最小值， ， ∴是等腰直角三角形， ，即， ， ， 故答案为：． 18．（本题3分）在网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、M、N均为格点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)线段的长为 ； (2)如图是以格点O为圆心的圆，在弦上找出一点P，使． 请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】(1); (2)见解析 【详解】（1）= （2）解：如图，取格点，，连接交于点，点即为所求；可以证明，推出，再证明． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．（本题8分） 解不等式组． 请结合题意填空，完成本小题的解答. （Ⅰ）解不等式①，得 ； （Ⅱ）解不等式②，得 ； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为 . 【答案】见解析 【详解】解：， 解不等式得，； 解不等式得，， 故不等式组的解集为：， 在数轴上表示如下： ． 20．（本题8分）某校为了解学生利用课余时间参加义务劳动的情况，随机调查了部分学生参加义务劳动的时间（单位：h）．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．    请根据相关信息，解答下列问题； (1)本次接受随机抽样调查的学生人数为___________，图①中的m的值为___________； (2)求统计的这组数据的平均数、众数和中位数； (3)若该校有400名学生参加了义务劳动，估计其中劳动时间大于的学生人数． 【答案】(1)40，30 (2)平均数是，众数为，中位数为 (3)200 【详解】（1）解：本次接受调查的初中学生人数为：， ， 故答案为：40，30 （2）解：（小时）， ∴这组数据的平均数是． 在这组数据中，出现了16次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数为． ∵将这组数据按从小到大的顺序排列，处于中间的两个数是3，．有． ∴这组数据的中位数为． （3）解：∵在抽取的学生中，劳动时间大于的学生人数占， ∴估计该校400名参加义务劳动的学生中劳动时间大于的学生人数占． ． ∴该校400名参加义务劳动的学生中劳动时间大于的学生人数约为200． 21．（本题10分）四边形内接于为的直径，点在的延长线上，且．    (1)如图1，求证：是的切线； (2)如图1，若 ，当的半径为时，求的长； (3)如图2，的延长线交于点，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线． （2）解：∵为的直径， ∴，， ∴， ∵ ， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴． （3）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22．（本题10分）如图，某建筑物楼顶挂有广告牌，小华准备利用所学的在角函数知识估测该建筑的高度．由于场地有限，不便测量，所以小华从点A处滑坡度为的斜坡步行30米到达点P处，测得广告牌底部C的仰角为45°，广告牌顶部B的仰角为53°，小华的身高忽略不计，已知广告牌米．（参考数据：，，） (1)求P处距离水平地面的高度； (2)求建筑物的高度． 【答案】(1) (2)67m 【详解】（1）过点P作于H， ∵， ∴设，， ∴， ∵从点A处滑坡度为的斜坡步行30米到达点P处， ∴， ∴， ∴． （2）解：过点P作于G， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，，， ∴， ∴，即， ∴． 23．（本题10分）已知张强家、体育场、文具店在同一直线上，下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家，图中x表示时间，y表示张强离家的距离． 根据图象回答下列问题： (1)体育场离张强家______km： (2)体育场离文具店______km，张强在文具店停留了______min； (3)张强从体育场到文具店的平均速度是______km/min： (4)①当时，请求出y关于x的函数解析式；②直接写出何时张强离家1km． 【答案】(1)2.5 (2)1，20 (3) (4)①；②， 【详解】（1）由纵坐标看出体育场离张强家2.5km， 故答案为：2.5； （2）由纵坐标看出体育场离文具店2.5-1.5=1（km）， 由横坐标看出 张强在文具店停留了65-45=20（min）； 故答案为：1，20； （3）张强从体育场到文具店的速度为：(2.5-1.5)÷(45-30)=（km/min）， 故答案为：； （4）①当时，设， 由图象知它经过，， ，解得， 关于的函数解析式, ②设当张强离家的距离为1km时，他离开家的时间为t min， 当0＜x＜15时，（2.5÷15）t=1，解得t=6； 当65≤x≤100时，1.5÷（100-65）（t-65）=1.5-1，解得t=； 答：当6min，min时张强离家1km． 24．（本题10分）将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点在边上点不与点，重合，折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点，并与轴的正半轴相交于点，且，点的对应点落在第一象限．设． (1)如图1，当时，直接写出 　 　度和点的坐标( 　 　，　 　)； (2)如图2，若折叠后重合部分为四边形，，分别与边相交于点，，求出 的长用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； (3)若折叠后的重合部分的面积为，则的值可以是 　 　(请直接写出两个不同的值即可)． 【答案】(1)，， (2) (3)或 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∵矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点， ∴， ∵，当时，， ∵， ∴ ∵折叠， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：60；． （2）∵点， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵折叠后重合部分为四边形，当在上时， ，解得：， 当与重合时，， ∴， ∴； （3）解：如图所示，当时，由（2）可知，重叠面积为四边形， ∵，， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴ ∵折叠后的重合部分的面积为， ∴ 解得：或 ∵ ∴或不合题意， 当时，如图所示，过点作于点， ∵，， ∴, 又∵折叠， ∴，则 ∴， ∴ ∴时，折叠后的重合部分的面积为， 当点与点重合时， ∴当时，折叠后的重合部分的面积为， ∴可以是； 故答案为：． 25．（本题10分）抛物线（，为常数，）顶点为，与轴交于点， （点在点左侧），与轴交于点，直线过点且平行于轴，为第一象限内直线上一动点，为线段上一动点． (1)若，． ①求点和点，的坐标； ②当点 为直线与抛物线的交点时，求的最小值； (2)若，，且的最小值等于时，求，的值． 【答案】(1)①，； ② (2)， 【详解】（1）解∶①∵，， ∴抛物线解析式为 ， ∴点， 当时， ， 解得：，， ∵点在点左侧， ∴，； ②∵直线过点且平行于轴，点为直线与抛物线的交点，点， 令， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴ ， 解得：， ∴直线解析式为， 过点作轴交轴于点，与交于点， 将代入，得：， ∴， ∴， ∵点在线段上， ∴当时，最小， ∵，，， ∴， ∴， ∵直线过点且平行于轴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； （2）∵抛物线， 当时，得：， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 如图， 作， 使，，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当、、共线时， 有最小值，最小值为线段的长， ∴ ， ∵∵直线过点且平行于轴，，， ∴， ∴， ∴， 即 ， 解得：或 （负值不符合题意，舍去）， ∴，， ∵抛物线过，， ∴， ∴，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金卷】备战2025年中考数学模拟卷（天津专用） 黄金卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D C A B A B B D D D C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13． 14． 15．16． 16．二 17． 18．(1); （2）解：如图，取格点，，连接交于点，点即为所求；可以证明，推出，再证明． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．解：， 解不等式得，； 解不等式得，， 故不等式组的解集为：， 在数轴上表示如下： ． 20．（1）解：本次接受调查的初中学生人数为：， ， 故答案为：40，30 （2）解：（小时）， ∴这组数据的平均数是． 在这组数据中，出现了16次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数为． ∵将这组数据按从小到大的顺序排列，处于中间的两个数是3，．有． ∴这组数据的中位数为． （3）解：∵在抽取的学生中，劳动时间大于的学生人数占， ∴估计该校400名参加义务劳动的学生中劳动时间大于的学生人数占． ． ∴该校400名参加义务劳动的学生中劳动时间大于的学生人数约为200． 21．（1）证明：∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线． （2）解：∵为的直径， ∴，， ∴， ∵ ， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴． （3）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22．（1）过点P作于H， ∵， ∴设，， ∴， ∵从点A处滑坡度为的斜坡步行30米到达点P处， ∴， ∴， ∴． （2）解：过点P作于G， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，，， ∴， ∴，即， ∴． 23．（1）由纵坐标看出体育场离张强家2.5km， 故答案为：2.5； （2）由纵坐标看出体育场离文具店2.5-1.5=1（km）， 由横坐标看出 张强在文具店停留了65-45=20（min）； 故答案为：1，20； （3）张强从体育场到文具店的速度为：(2.5-1.5)÷(45-30)=（km/min）， 故答案为：； （4）①当时，设， 由图象知它经过，， ，解得， 关于的函数解析式, ②设当张强离家的距离为1km时，他离开家的时间为t min， 当0＜x＜15时，（2.5÷15）t=1，解得t=6； 当65≤x≤100时，1.5÷（100-65）（t-65）=1.5-1，解得t=； 答：当6min，min时张强离家1km． 24．（1）解：如图所示，过点作于点， ∵矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点， ∴， ∵，当时，， ∵， ∴ ∵折叠， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：60；． （2）∵点， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵折叠后重合部分为四边形，当在上时， ，解得：， 当与重合时，， ∴， ∴； （3）解：如图所示，当时，由（2）可知，重叠面积为四边形， ∵，， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴ ∵折叠后的重合部分的面积为， ∴ 解得：或 ∵ ∴或不合题意， 当时，如图所示，过点作于点， ∵，， ∴, 又∵折叠， ∴，则 ∴， ∴ ∴时，折叠后的重合部分的面积为， 当点与点重合时， ∴当时，折叠后的重合部分的面积为， ∴可以是； 故答案为：． 25．（1）解∶①∵，， ∴抛物线解析式为 ， ∴点， 当时， ， 解得：，， ∵点在点左侧， ∴，； ②∵直线过点且平行于轴，点为直线与抛物线的交点，点， 令， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴ ， 解得：， ∴直线解析式为， 过点作轴交轴于点，与交于点， 将代入，得：， ∴， ∴， ∵点在线段上， ∴当时，最小， ∵，，， ∴， ∴， ∵直线过点且平行于轴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； （2）∵抛物线， 当时，得：， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 如图， 作， 使，，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当、、共线时， 有最小值，最小值为线段的长， ∴ ， ∵∵直线过点且平行于轴，，， ∴， ∴， ∴， 即 ， 解得：或 （负值不符合题意，舍去）， ∴，， ∵抛物线过，， ∴， ∴，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$