第2课时 用完全平方公式分解因式-【初中学霸创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步课件(北师大版)

情境导入 知识讲解 随堂小测 当堂检测 1 公式法 第2课时 用完全平方公式分解因式 课堂小结 学习目标 1.利用完全平方公式的逆向变形对多项式进行因式分解，进一步培养学生的逆向思维能力. 2.掌握完全平方逆向公式的特点，结合提公因式法对复杂多项式进行因式分解. 情境导入 复 习 回 顾 提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c) 平方差公式法：a2-b2=(a+b)(a-b) 2.练习： 把下列各式分解因式: ① ② x4-16 解:原式=ax2(x2-1) =ax2(x+1)(x-1). 解:原式=(x2+4)(x2-4) =(x2 +4)(x+2)(x-2). 1.因式分解学过了哪些方法？ 有公因式，先提公因式 因式分解要彻底. 知识讲解 知识点1 用完全平方公式分解因式 将完全平方公式倒过来看，得到： 因式分解的完全平方公式 语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方. 注意：公式中的既可以是单项式，也可以是多项式. 能用完全平方公式分解因式的多项式的特点： 我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫做完全平方式. 1.是三项式（或可以看成三项）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间是这两个数的积的±2倍. 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式. 简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解. 2 a b +b2 ± =(a ± b)² a2 首2 +尾2 ±2×首×尾 (首±尾)2 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 把下列完全平方式因式分解： （1）x2+14x+49； （2） (m+n)2 -6 (m+n)+9. 解：(1)x2＋14x＋49 ＝ x2＋2×7x＋72 ＝ (x＋7) 2 ； a2 ＋ 2 a b ＋ b2 ＝ (a+b)2 (2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9 ＝(m＋n)2－2·(m＋n)·32＋32＝(m＋n－3)2. a2 － ＋ b2 ＝ (a-b)2 2 a b 例 1 把下列各式因式分解： (1)3ax2＋6axy＋3ay2；(2)－x2－4y2＋4xy. 解：(1)3ax2＋6axy＋3ay2 ＝ 3a(x2＋2xy＋y2)＝3a(x＋y)2； a2 ＋ 2ab ＋ b2 ＝ (a+b)2 (2)－x2－4y2＋4xy＝ －(x2＋4y2－4xy) ＝ －(x2－4xy＋4y2)＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2]＝ －(x－2y)2. a2 － ＋ b2 ＝ (a-b)2 2 a b 例 2 随 堂 小 测 1.判别下列各式是不是完全平方式． 不是 是 是 不是 是 （1） （2） （3） （4） （5） 2.填写下表（若某一栏不适用，请填入“不适用”） a表示x,b表示3 a，b各表示什么 表示成（a＋b)2或（a－b)2的形式 是 是否是完全平方式 多项式 是 a表示2y,b表示1 不是 不适用 不适用 不适用 不适用 不是 是 a表示1,b表示 是 a表示2y,b表示3x 知识讲解 知识点2 综合应用提公因式法和公式法分解因式 平方差公式 完全平方公式 ★比较一下：会选择合适的公式进行因式分解 1、有两项 1、有三项 2、两项可写成数或式的平 方形式，且符号相同 2、两项可写成数或式的平方形式，且符号相反 3、一项是两数乘积的两倍 1、如果多项式的各项含有公因式，那么应先提取公因式； 2、如果多项式的各项不含有公因式，那么可以尝试运用公式法因式分解（即平方差公式和完全平方公式）； 3、如果上述方法都不能进行因式分解，那么可以先整理多项式，然后分解； 4、因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止。 ★因式分解的一般步骤： 遵循“一提、二套、三检查”的原则 十字相乘法公式： 口诀：(1)因式分解竖直写; (2)交叉相乘验中项; (3)横向写出两因式; 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。 拓 展 当堂检测 1. 下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是(　　) A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1 C．x2－1 D．x2－6x＋9 D 2. 已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于(　　) A．64 B．48 C．32 D．16 A 3. 把多项式(a＋b)2－4(a2－b2)＋4(a－b)2因式分解的结果为(　　) A．(3a－b)2 B．(3b＋a)2 C．(3b－a)2 D．(3a＋b)2 C 4.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( ) A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2 C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2) B 5. 若代数式x2＋kx＋25是一个完全平方式，则k＝____. ±10 6. 若一个长方形的面积是x3＋2x2＋x(x＞0)，且一边长为x＋1，则其邻边长为________． x2＋x 7.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________． 1 8.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为___________ ． ±4 9. 分解因式： （1）x2－12x+36； （2）-x2+4xy-4y2； （3）4(2a+b)2-4(2a+b)+1；（4）y2+2y+1－x2 解：(1)原式 =x2－2·x·6+(6)2 =(x－6)2; (2)原式 =-(x2-4xy+4y2) =-(x-2y)2; (3)原式=[2(2a+b)]² － 2·2(2a+b)·1+(1)² =(4a+2b － 1)2; (4)原式=(y+1)² －x² =(y+1+x)(y+1－x). 课堂小结 用完全平方公式分解因式 公式 a2±2ab+b2=(a±b)2 特点 （1）要求多项式有三项. （2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负. 公式法 乘法 公式 因式分解 平方差公式 完全平方公式 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 绿卡图书—走向成功的通行证 $$