第2课时 角平分线的综合应用-【初中学霸创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步课件(北师大版)

情境导入 知识讲解 随堂小测 当堂检测 4 角平分线 第2课时 角平分线的综合应用 课堂小结 学习目标 1.利用角平分线的性质和判定探索证明三角形三条角平分线的特殊位置关系及性质；（难点） 2.能运用角平分线的性质定理和判定定理解决问题.（重点） 情境导入 复 习 回 顾 之前我们学习了三角形三边上的垂直平分线的性质，你还记得它的内容吗？ 三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 上节课我们学习了角平分线，三角形三个角的角平分线会有类似的性质吗？画一画，看一看. 知识讲解 知识点1 三角形三条边角平分线的性质 画出下面三角形三个内角的平分线. 画一画 剪下一个三角形，通过折叠找出各角平分线. 做一做 发现：三角形三条角平分线交于一点．并且这一点到三条边的距离相等． 通过这两次动手操作，你发现了什么？ 你能证明这个结论吗？ 例 2 求证：三角形的三条角平分线交于一点．并且这一点到三条边的距离相等． 已知：如右图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F. 求证：∠A的平分线经过点P ，且PD=PE=PF. P D F E M N B A C 已知：如右图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F. 求证：∠A的平分线经过点P ，且PD=PE=PF. P D F E M N B A C 证明：∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， 且PD⊥AB，PE⊥BC，垂足分别是点D，E. ∴PD=PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. 同理PE=PF.∴PD=PE=PF. ∴点 P 在∠A 的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）， ∠A的平分线经过点P. 知识拓展 分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三条角平分线，说说你的发现. 这个点叫做三角形的内心. 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 都是相交与三角形内部的一点. 总结归纳 三角形三角平分线的性质定理 三角形的三条角平分线交于一点．并且这一点到三条边的距离相等． 知识讲解 知识点2 角平分线的综合应用 例 3 如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E. （1）已知CD=4 cm，求 AC 的长； （2）求证：AB=AC+CD. D A B E C 例 3 如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E. （1）已知CD=4 cm，求 AC 的长； （2）求证：AB=AC+CD. D A B E C （1）解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB， ∴DE =CD=4 cm（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. ∵AC=BC，∴∠B=∠BAC（等边对等角）. ∵∠C=90°，∴∠B= ×90°=45°. ∴∠BDE=90°-45°=45°. ∴BE=DE（等角对等边）. 在等腰直角三角形BDE中， BD = =4 cm （勾股定理）. ∴AC =BC= CD + BD = （4+4 ）cm. 1 2 例 3 如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E. （1）已知CD=4 cm，求 AC 的长； （2）求证：AB=AC+CD. D A B E C （2）证明：由（1）的求解过程可知 Rt△ACD≌Rt△AED（HL）. ∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）. ∵BE=DE=CD， ∴AB=AE+BE=AC+CD. 随堂小测 1.三条公路围成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在 （ ） A. 三角形的三条角平分线的交点处 B. 三角形的三条中线的交点处 C. 三角形的三条高的交点处 D. 以上位置都不对 A 2.如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝ . 4 ∶5 ∶6 （易错题）3.如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？（ ） A. 1处 B. 2处 C. 3处 D. 4处 l1 l2 l3 P1 P2 P3 P4 D 1.如图，在△ABC中，AP平分∠BAC交BC于点P，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，且AC=4，PM=2，则△APC的面积是 （ ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 6 当堂检测 A 2.如图，在 Rt△ACB 中，∠ACB =90°，∠B=40°， D，E分别在边BC，AB上，且 DE⊥AB于E，CD=DE，则∠CAD = ________. A C B D E 25° 3.在 Rt△ACB 中，∠BAC =90°，AE是斜边BC上的高，角平分线BD交AE于点G，交AC于点D，DF⊥BC于点F. （1）求证：AB=BF； 证明：∵DF⊥BC，∴∠DFB=∠BAD =90°， ∵BD平分∠ABC，∴DA=DF， 又∵BD=BD， ∴Rt△ADB≌Rt△FDB（HL）. ∴AB=BF. 3.在 Rt△ACB 中，∠BAC =90°，AE是斜边BC上的高，角平分线BD交AE于点G，交AC于点D，DF⊥BC于点F. （2）试判断AD与AG有怎样的数量关系？请说明理由. （2）AD=AG，理由如下： ∵AE是BC边上的高， ∴∠AEC=∠DFC =90°， ∴AE∥DF， ∴∠AGD=∠FDG， 又因为Rt△ADB≌Rt△FDB， ∴∠ADB=∠FDB， ∴∠AGD=∠ADG， ∴AD=AG（等角对等边）. 课堂小结 三角形三角平分线的性质定理 三角形的三条角平分线交于一点．并且这一点到三条边的距离相等． 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 绿卡图书—走向成功的通行证 $$