第1课时 角平分线的性质及判定-【初中学霸创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步课件(北师大版)

情境导入 知识讲解 随堂小测 当堂检测 4 角平分线 第1课时 角平分线的性质及判定 课堂小结 学习目标 1.证明角平分线的性质定理，探索并证明角平分线的判定定理，进一步发展推理能力；（重点）（难点） 2.经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力. 情境导入 复 习 回 顾 1.什么是点到直线的距离？ O P l 从直线外一点，作直线的垂线，垂线段的长度为点到直线的距离. 2.什么是角平分线？ 3.角平分线上的点有什么性质？ 复 习 回 顾 你能尝试证明这一性质吗？ 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 情境导入 知识讲解 知识点 角平分线的性质与判定 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E. 求证：PD=PE. 2 1 E D C P O B A 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E， ∴∠PDO=∠PEO=90°. ∵∠1=∠2，OP=OP， ∴△PDO≌△PEO（AAS）. ∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）. 想一想 你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？ 角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的角平分线上. 角平分线是一条射线，在角的外部也有到角两边距离相等的点，但不在这个角的角平分线上.所以是假命题. 这个命题应怎样改，才是真命题呢？请你修改一下，并证明. 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 2 1 E D P O B A 已知：如图，点 P 为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，且PD=PE. 求证：OP平分∠AOB. 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E， ∴∠ODP=∠OEP=90°． ∴PD=PE，OP=OP， ∴Rt△DOP≌Rt△EOP（HL）． ∴∠1=∠2（全等三角形对应角相等）． ∴OP平分∠AOB． 例 1 如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且DE=DF，求DE的长. 解：∵DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且DE=DF， ∴AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）. 又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=30°. 在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD=10， ∴DE = AD= ×10=5（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 1 2 1 2 知识拓展 角平分线的性质定理和线段垂直平分线的性质定理中都提到了“距离相等”，你认为这两个“距离”含义相同吗？ 不相同. 线段垂直平分线的性质定理中“距离”是两点之间的距离； 而角平分线的性质定理中的“距离”指的是点到线的距离. 知识拓展 角平分线的画法（尺规作图）： 已知：∠AOB. 求作：射线OC，使OC平分∠AOB. O A B 作法： （1）以O为圆心，任意长为半径作弧分别交OA，OB于点D，E； A D E （2）分别以D，E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，交于点C； 1 2 C （3）作射线OC. OC就是∠AOB的角平分线. 总结归纳 角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 随堂小测 1. 如下图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4 ，则AC的长是 （ ） A．3 B．4 C．6 D．5 A 2. 如图，AD，AE分别是△ABC中∠A的内角平分线和外角平分线，它们有什么关系？ 解：互相垂直.理由如下： ∵AD，AE分别平分∠BAC和∠CAF， ∴∠CAD= ∠BAC，∠CAE= ∠CAF. ∴∠CAD+∠CAE= ∠BAC+ ∠CAF= （∠BAC+∠CAF）= ×180°=90°. 即∠DAE=90°.∴AD⊥AE. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3.如图，一目标在A区，到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500 m，在图上标出它的位置(比例尺1 ∶20 000). 解：把公路、铁路看成两条相交直线，相交点为O，作其夹角（A区所在角）的角平分线OB，再OB上截取OC=2.5 cm，C点即为所求目标. 1.如图所示，在△ABC中，P为BC上一点，PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，AQ=PQ，PR=PS.下面三个结论: ①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP.正确的是 （ ） A.①和② B.②和③　 C.①和③ D.全对 当堂检测 A 2.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，连接AD，E为AD上一点，EM⊥AB于点M，EN⊥AC于点N，则下面四个结论：①若AD⊥BC，则EM＝EN；②若EM＝EN，则∠BAD＝∠CAD；③若EM＝EN，则AM＝AN； ④若EM＝EN，则∠AEM＝∠AEN.其中正确的有 （ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 D 3. 已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点F，E，G分别是OA，OB上的点，且PF=PG，DF=EG. 求证:OC是∠AOB的平分线. 证明:∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDF=∠PEG=90°. 在Rt△PFD和Rt△PGE中, ∵PF=PG，DF=EG， ∴Rt△PFD≌Rt△PGE(HL)， ∴PD=PE. ∵P是OC上点，PD⊥OA，PE⊥OB, ∴OC是∠AOB的平分线. 课堂小结 角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 绿卡图书—走向成功的通行证 $$