第1课时 垂直平分线的性质与判定-【初中学霸创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步课件(北师大版)

情境导入 知识讲解 随堂小测 当堂检测 3 线段的垂直平分线 第1课时 垂直平分线的性质与判定 课堂小结 学习目标 1.探索证明线段垂直平分线的性质和判定；（重点） 2.能运用线段垂直平分线性质和其判定解决实际问题；（难点） 情境导入 复 习 回 顾 1.线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ A B 2.什么叫线段的垂直平分线？ 3.线段的垂直平分线有什么性质？ 经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，这条线段的垂直平分线(中垂线). 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 你能证明这个性质吗？ 知识讲解 知识点 垂直平分线的性质与判定 已知：如下图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的任意一点. 求证：PA=PB. N A P B C M 证明：∵MN⊥AB， ∴∠PCA=∠PCB=90°. ∵AC=BC，PC=PC， ∴△PCA≌△PCB（SAS）. ∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）. 如果点P与点C重合，那么结论显然成立. 你能写出上面这个定理的逆命题吗？ 做一做 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 这个命题是真命题还是假命题呢？ 已知：线段AB，点 P 是平面内一点且PA=PB. 求证：点P在AB的垂直平分线上. B P A C 证明：如右图，过点P作直线MN⊥AB，垂足为点C，则PC是△PAB的高. ∵PA=PB， ∴△PAB是等腰三角形. ∴PC是△PAB的中线. ∴AC=BC， ∴直线MN是线段AB的垂直平分线. 即点P在AB的垂直平分线上. 还可以过P点作AB的中线或∠APB的角平分线. 所以，“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”这个命题是真命题. 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 互为逆定理 例 1 已知：如下图，在△ABC 中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC. 求证：直线AO垂直平分线段BC. 证明：∵AB=AC， ∴点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 同理，点O在线段BC的垂直平分线上. ∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）. 用尺规作线段的垂直平分线 已知：线段AB．求作：线段AB的垂直平分线． 作法：1.分别以点A和B为圆心，以大于AB的一半长为半径画弧，两弧相交于点C和D； 2.连接直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线． D C B A 知识拓展 1.已知：如图，AB是CD的垂直平分线， E， F是AB上两点. 求证：∠ECF=∠EDF. 随堂小测 A B C D E F 证明：∵AB是CD的垂直平分线， ∴EC=ED，FC=FD. 又∵EF=EF， ∴△ECF≌△EDF. ∴∠ECF=∠EDF. 2. 已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上一点. 求证：PB=PC . P B D C A 证明：如右图，连接B，C. ∵AB=AC， ∴A在线段BC的垂直平分线上. 同理， D在线段BC的垂直平分线上. ∴ AD是线段BC的垂直平分线. ∵P是AD上一点 ， ∴PB=PC. 1.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为D，BE=6 cm，∠AEC=30°，则AC等于 （ ） A. 6 cm B. 5 cm C. 4 cm D.3 cm 当堂检测 D 2.如图，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于E,连接BE，AB+BC=16 cm,则△BCE的周长是 cm. A B C D E 16 3.如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线,EF垂直平分BD. 求证:AB∥DF. 证明:∵EF垂直平分BD， ∴FB=FD， ∴∠FBD=∠BDF， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD=∠FBD， ∴∠ABD=∠BDF， ∴AB∥DF. 4.如图，在△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE，连接AE. （1）若∠BAE=40°，求∠C的度数. ∴AE=CE， ∴∠C=∠EAC， ∵∠AEB=∠EAC+∠C=70°， ∴∠C=35°. （1）证明：∵AD⊥BC，点E在BC上， ∴AD⊥BE，又∵BD=DE， ∴AB=AE， ∴∠ABE=∠AEB= （180°-∠BAE）=70°， ∵EF垂直平分AC， 1 2 4.如图，在△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE，连接AE. （2）若△ABC的周长为14 cm，AC=6 cm，求DC的长. （2）解：∵△ABC的周长为14 cm，AC=6 cm， ∴AB+BC+AC=14 cm， ∴AB+BC=8 cm， ∴AB+BD+DE+CE=8 cm， ∵BD=DE，AB=AE，AE=CE， ∴2DE+2CE=8 cm，∴DE+CE=4 cm，即DC=4 cm. 课堂小结 垂直平分线的性质定理： 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 垂直平分线的判定定理： 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 绿卡图书—走向成功的通行证 $$