第1课时 直角三角形的性质与判定-【初中学霸创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步课件(北师大版)

情境导入 知识讲解 随堂小测 当堂检测 2 直角三角形 第1课时 直角三角形的性质与判定 课堂小结 学习目标 1.证明直角三角形的性质定理及判定定理；（重点） 2.结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立.（难点） 情境导入 我们曾经探索过直角三角形的哪些性质和判定方法？与同伴交流. 复 习 回 顾 直角三角形的定义： 有一个是直角的三角形叫直角三角形. 直角三角形的性质： （1）直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）. （2）直角三角形的两个锐角互余. （3）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 直角三角形的判定： 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 知识讲解 知识点1 直角三角形的性质与判定 （1）直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？ 想一想 性质定理：直角三角形的两个锐角互余. 已知：如右图，在Rt△ABC中，∠C=90°. 求证：∠A+∠B=90°. 证明：△ABC中， ∠A+∠B +∠C = 180°. ∵∠C = 90°， ∴∠A+ ∠B = 180°- ∠C= 180°-90°= 90°. 性质定理的证明 （2）如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？ 判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形. 已知：如右图，在△ABC中，∠A+∠B=90°. 求证：△ABC是直角三角形. C B A 证明：在△ABC中， ∠A +∠B +∠C = 180°. ∵∠A +∠B = 90°， ∴∠C = 180°-（∠A+∠B ）= 180°-90°=90°. ∴△ABC是直角三角形. 判定定理的证明 你还记得勾股定理的内容吗？ 勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方. 反过来，在在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论．你能证明此结论吗？ 定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 已知：如右图（1），在△ABC中，AB2+AC2=BC2. 求证：△ABC是直角三角形. A C B （1） 证明：如右图（2），作Rt△A'B'C'，使∠A'=90°，A'B'=AB，A'C'=AC. A' C' B' （2） 则 A'B'2+A'C'2 =B'C'2（勾股定理）. ∵AB2+AC2=BC2， ∴BC2=B'C'2.∴BC=B'C'. ∴△ABC≌△A'B'C'（SSS）. ∴∠A=∠A'= 90°（全等三角形的对应角相等）. 因此，△ABC是直角三角形. 总结归纳 直角三角形的性质定理： 直角三角形的两个锐角互余. 勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方. 直角三角形的判定定理： 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 有两个角互余的三角形是直角三角形. 1. 在一个直角三角形中,有一个锐角等于35°,则另一个锐角的度数是 （ ） A.75° B.65° C.55° D.45° 随堂小测 C 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A-∠B=70°，则∠A的度数为(　　) A.80° B.70° C.60° D.50° A 3. 在△ABC中，已知∠A=∠B=45°，BC=3，求AB的长. C B A 解：∵∠A=∠B=45°，∴AC=BC=3. ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-45°=90°. 在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2， ∴AB2=32+32=18，∴AB=3 或AB=-3 （舍去）. ∴AB的长为3 . 知识讲解 知识点2 互逆命题与互逆定理 观察下面两组定理，他们的条件和结论之间有怎样的关系？用同伴交流. 议一议 直角三角形的两个锐角互余. 有两个角互余的三角形是直角三角形. 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方. 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 这两组定理的条件和结论恰好互换了位置． 再观察下面三组命题： 如果两个角是对顶角，那么它们相等； 如果两个角相等，那么它们是对顶角. 如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧； 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎. 一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等. 这几组中的两个命题也有类似的关系吗？ 有，这几组命题的条件和结论也恰好互换了位置． 在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.这个命题为逆命题的原命题. 思考一下：一个命题是真命题，它的逆命题也是真命题吗？ 想一想 你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方根相等”的逆命题吗？它们都是真命题吗？ 逆命题：如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等. 原命题是真命题，逆命题是假命题. 一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称另一个定理的逆定理. 直角三角形的两个锐角互余. 有两个角互余的三角形是直角三角形. 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方. 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 互逆定理 互逆定理 你还能写出哪些互逆定理？ 两直线平行，内错角相等； 内错角相等，两直线平行. 等边对等角； 等角对等边. 同一个三角形中 总结归纳 如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题. 互逆命题 一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题. 互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称另一个定理的逆定理. 不是所有的定理都有逆定理，只有这个定理的逆命题是真命题时，才能称这个逆命题是逆定理. 互逆命题不一定都是真的，但互逆定理一定都是真命题. 1.下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A.对顶角相等 B.直角都相等 C.全等三角形的面积相等 D.同位角相等，两直线平行 随堂小测 D 解：（1）逆命题：多边形是四边形.原命题是真命题，而逆命题是假命题. （2）逆命题：同旁内角互补，两直线平行.原命题与逆命题同为真命题. （3）逆命题：如果a=0，b=0，那么ab=0.原命题是假命题，而逆命题是真命题. 2.说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假： （1）四边形是多边形； （2）两直线平行，同旁内角互补； （3）如果ab=0，那么a=0，b=0. 1.如图，AC⊥BD，∠1=∠2，∠D=40°，则∠BAD的度数是 (　 　) A.85° B.90° C.95° D.100° 2. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 (　 　) A.3，4，5 B.2，3，4 C.4，6，7 D.5，11，12 当堂检测 C A 2. 写出下列命题的逆命题，并判断真假. （1）对顶角相等; （2）如果a=b，那么ac=bc; （3）如果一个三角形的两个内角相等，那么这两个内角所对的边相等. 解:（1）逆命题:如果两个角相等,那么它们是对顶角.这是假命题. （2）逆命题:如果ac=bc,那么a=b.这是假命题. （3）逆命题:如果一个三角形的两条边相等，那么这两条边所对的角相等.这是真命题. 3.已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的长. 解：∵△ABC是直角三角形，AB＝5 cm，BC＝3 cm， 由勾股定理得AC2＝AB2－BC2，∴AC＝4 cm， 又∵S△ABC＝ BC·AC＝ AB·CD， ∴CD＝BC·AC÷AB＝2.4 cm， ∴CD的长是2.4 cm. 1 2 1 2 课堂小结 直角三角形的性质定理： 直角三角形的两个锐角互余. 勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方. 直角三角形的判定定理： 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 有两个角互余的三角形是直角三角形. 如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题. 互逆命题 一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题. 互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称另一个定理的逆定理. 不是所有的定理都有逆定理，只有这个定理的逆命题是真命题时，才能称这个逆命题是逆定理. 互逆命题不一定都是真的，但互逆定理一定都是真命题. 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 绿卡图书—走向成功的通行证 $$