第4课时 等边三角形的判定及含30 角的直角三角形的性质-【初中学霸创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步课件(北师大版)

情境导入 知识讲解 随堂小测 当堂检测 1 等腰三角形 第4课时 等边三角形的判定及含30 角的直角三角形的性质 课堂小结 学习目标 1.能用所学的知识证明等边三角形的判定定理，并能加以运用；（重点） 2.掌握含30°角的直角三角形的性质并解决有关问题.（难点） 情境导入 1.等边三角形是怎样定义的？ 复 习 回 顾 三条边相等的三角形,叫做等边三角形. 2.等腰三角形有哪些性质和推论？ （1）等边三角形的三边都相等； （2）等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°； （3）各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等； （4）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别为三边的高（中线、对应的角平分线）所在的直线. 知识讲解 知识点1 等边三角形的判定 一个三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流. 之前我们学过等边三角形的性质：三个内角都相等，并且每个角都等于60°. 猜想： 三个角都相等的三角形是等边三角形. 猜想是否正确呢，需要通过证明进行判断. 已知：如右图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C. 求证：△ABC是等边三角形. C B A 证明：∵∠A =∠B，∠B =∠C ， ∴AC =BC， AB=AC（等角对等边）． ∴AB =BC =AC． ∴△ABC 是等边三角形． 定理：三个角都相等的三角形是等边三角形. 那一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流. 等边三角形是一种特殊的等腰三角形，说一说哪些方面比较特殊. 等边三角形的角都是60°. 猜想： 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 这个角可能是顶角，也可能是底角，证明时需要分类讨论. 已知：如右图，在△ABC中，AB=AC，且∠A，∠B，∠C中有一个角为60°. 求证：△ABC是等边三角形. C B A 证明：①当∠A=60°时， ∵AB=AC， ∴∠B＝∠C， ∵在△ABC中，∠A= 60 °， ∴∠B＝∠C＝ （180。-∠A） = 60°. ∴∠A= ∠ B =∠C. ∴△ABC是等边三角形. 1 2 已知：如右图，在△ABC中，AB=AC，且∠A，∠B，∠C中有一个角为60°. 求证：△ABC是等边三角形. C B A ②当∠B=60°（或∠C=60°）时， ∵AB=AC， ∴∠B＝∠C=60°， ∴∠A（180。-∠B-∠C） = 60°. ∴∠A= ∠ B =∠C. ∴△ABC是等边三角形. 定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 总结归纳 等边三角形的判定方法： 定理：三个角都相等的三角形是等边三角形. 定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 1.下列条件中,不能得到等边三角形的是 (　 　) A.有两个内角是60°的三角形 B.三边都相等的三角形 C.有一个角是60°的等腰三角形 D.有两个外角相等的等腰三角形 随堂小测 D 2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D，E在BC上，AD⊥AC，AE⊥AB.求证：△ADE为等边三角形. 证明：∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C= （180°-∠BAC）=30°. ∵AD⊥AC，AE⊥AB， ∴∠BAE=∠CAD=90°. ∴∠DEA=∠EDA=60°， ∴∠DAE=60°, ∴△ADE为等边三角形. 1 2 知识讲解 知识点2 含30°角的直角三角形的性质 用两个含30°角的全等三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由. 做一做 由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？ 等边三角形 30° 2a 2a a 结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 还需要证明这个结论. C B A 已知：如右图，△ABC是直角三角形，∠C=90°，∠A=30°. 求证：BC= AB. 1 2 证明：延长BC至点D，使CD=BC，连接AD． D ∵∠ACB=90°，∠BAC=30° ， ∴∠ACD=90°，∠B =60°. ∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC（ SAS ）. ∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）. ∴△ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）. ∴BC= BD= AB. 1 2 1 2 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 通过上面的证明，我们可以得到以下定理. 这个定理的条件有两个： （1）是在直角三角形中； （2）一个角是30°. 例 4 求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半． 已知：如下图，在△ABC中，AB=AC，∠B=15°，CD是腰AB上的高. 求证：CD= AB 1 2 C B A D 证明：在△ABC中，∵AB=AC ，∠B=15°， ∴∠ACB=∠B=15°（等边对等角）. ∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°. ∵CD是腰AB上的高， ∴∠ADC=90°. ∴CD= AC. ∴CD= AB. 1 2 1 2 总结归纳 含30°角的直角三角形的性质： 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 1.如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，则下列关系式正确的为 （ ） A．BD＝CD B．BD＝2CD C．BD＝3CD D．BD＝4CD 随堂小测 B 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B＝60°， CD是△ABC的高，且BD=1，求AD的长. C B A D 解：因为CD是△ABC的高，所以∠BDC=90°. 又因为∠B=60°， 所以∠BCD=30°. 所以BC=2BD=2. 在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°， 所以∠A=30°. 所以AB=2BC=4. 所以AD=AB-BD=4-1=3. 1.如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D在AB边上，DE⊥AB，并与AC边交于点E，如果AD=1，BC=6，那么CE等于 (　　) A.5 B.4 C.3 D.2 当堂检测 B 2.如图，在△ABC中，∠B=60°，D是BC延长线上一点，过D作DE⊥AB于E，交AC于F，若CD=CF。 求证：△ABC是等边三角形 证明：∵DE⊥AB，∴∠BED=∠AEF=90°， ∵∠B=60°，∴∠D=30°. ∵CD=CF，∴∠D=∠CFD=30°（等边对等角）， ∴∠C=∠CFD+∠D=30°+30°=60°， ∴∠A=60°，∴△ABC是等边三角形. 课堂小结 等边三角形的判定方法： 定理：三个角都相等的三角形是等边三角形. 定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 含30°角的直角三角形的性质： 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 绿卡图书—走向成功的通行证 $$