第3课时 等腰三角形的判定定理及反证法-【初中学霸创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步课件(北师大版)

情境导入 知识讲解 随堂小测 当堂检测 1 等腰三角形 第3课时 等腰三角形的判定定理及反证法 课堂小结 学习目标 1.探索等腰三角形判定定理； 2.掌握等腰三角形的判定定理及其运用；（重点）（难点） 3.知道反证法的步骤，能对一些比较简单的特殊命题用反证法予以证明.（重点） 情境导入 1.等腰三角形是怎样定义的？ 复 习 回 顾 有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形. 2.等腰三角形有哪些性质和推论？ （1）等腰三角形是轴对称图形； （2）等腰三角形的两底角相等.（简述为：等边对等角）； （3）等腰三角形两底角的平分线相等；两腰上的高、中线也分别相等. 知识讲解 知识点1 等腰三角形的判定 前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？ C B A 已知：如右图，在△ABC中，∠B=∠C. 求证：AB=AC. 分析：只要能构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了. C B A 已知：如右图，在△ABC中，∠B=∠C. 求证：AB=AC. 证明：作∠BAC的平分线，交BC于点D. ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD = ∠CAD. ∵∠B = ∠C，AD = AD， ∴△ABD≌△ACD（AAS）. ∴AB = AC（全等三角形的对应边相等）. 证法一： D C B A 已知：如右图，在△ABC中，∠B=∠C. 求证：AB=AC. 证明：过点A作BC的垂线，垂足为点D. ∵AD⊥BC， ∴∠ADB = ∠ADC = 90°. ∵∠B = ∠C，AD = AD， ∴△ABD≌△ACD（AAS）. ∴AB = AC（全等三角形的对应边相等）. 证法二： D 定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.（简述为：等角对等边） ∵AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形. 例 2 已知：如下图，AB=DC，BD=CA，BD与CA相交于点E. 求证：△AED是等腰三角形. 证明：∵AB=DC，BD=CA，AD=DA， ∴△ABD≌△DCA(SSS). ∴∠ADB=∠DAC（全等三角形的对应角相等）. ∴AE=DE（等角对等边）. ∴△AED是等腰三角形. A B C D E 1.如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形有 (　　) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 随堂小测 D 2.如图，△ABC中，AB=6，BC=5，AC=7，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，则△ADE的周长= . 13 E D C B A O 3.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平行线，交AB于点E，请判断△BDE的形状，并说明理由. 解：△BDE是等腰三角形. 理由：∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠CBD. ∵DE∥BC，∴∠EDB=∠CBD. ∴∠EBD=∠EDB.∴EB=ED（等角对等边）. ∴△BDE是等腰三角形. 知识讲解 知识点2 反证法 小明认为在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？ C B A 想一想 我们来看看小明的想法： C B A 如右图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时 AB 与AC要么相等，要么不相等． 假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，但这与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此 AB≠AC. 你能理解他的推理过程吗？ 小明的证明方法有什么特点吗？ 在小明的证法中，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法. 例 3 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角. 已知：△ABC. 求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角. 证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A和∠B是直角，即∠A=90°，∠B=90°. 于是∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°. 这与三角形内角和定理矛盾，所以“∠A和∠B是直角”的假设不成立. 所以，一个三角形中不能有两个角是直角. 总结归纳 （1）反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立. 用反证法证题的一般步骤 （2）归谬:将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推导，导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结论. （3）结论:因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，那么结论一定成立. 1.用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设(　　) A．一个三角形中有两个钝角 B．一个三角形中至多有一个钝角 C．一个三角形中至少有一个钝角 D．一个三角形中没有钝角 随堂小测 A 2.已知五个正数的和为1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于 . 1 5 证明：假设这五个正数a1，a2，a3，a4，a5中没有一个大于或等于 ，即都小于 ，那么a1+a2+a3+a4+a5<5× =1，这与已知a1+a2+a3+a4+a5=1矛盾.所以原命题得证. 1 5 1 5 1 5 1.在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是 （ ） A. ∠A＝50°，∠B＝70° B. ∠A＝70°，∠B＝40° C. ∠A＝30°，∠B＝90° D. ∠A＝80°，∠B＝60° 当堂检测 D 2.求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 60°. 证明：假设结论不成立， 即：∠A___60°，∠B ___60°，∠C ___60°, 则∠A +∠B +∠C ＞3×60°=180 °. 这与_____________________相矛盾. 所以______不成立，所求证的结论成立. > > > 三角形的内角和定理 假设 3.如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC. 求证:△BDE是等腰三角形. 证明：∵DE∥AC，∴∠CAD=∠EDA， ∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠EAD， ∴∠EAD=∠EDA， ∵AD⊥BD，∴∠EAD+∠B=90°，∠EDA+∠BDE=90°, ∴∠B=∠BDE，∴△BDE是等腰三角形. 课堂小结 等腰三角形的判定方法： 定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.（简述为：等角对等边） （1）反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立. 用反证法证题的一般步骤 （2）归谬:将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推导，导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结论. （3）结论:因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，那么结论一定成立. 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 绿卡图书—走向成功的通行证 $$