第2课时 等腰三角形的性质（2）-【初中学霸创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步课件(北师大版)

情境导入 知识讲解 随堂小测 当堂检测 1 等腰三角形 第2课时 等腰三角形的性质（2） 课堂小结 学习目标 1.进一步学习等腰三角形的相关性质，了解等腰三角形两底角的角平分线（两腰上的高，中线）的性质；（重点） 2.学习等边三角形的性质，并能够运用其解决问题．（重点）（难点） 情境导入 在等腰三角形中画出一些线段（如角平分线、中线、高等），你能发现其中一些相等的线段吗? 能证明你的结论吗? A B C D E F 角平分线 A B C D E F 中线 A B C 高 D F E 通过作图观察，我们可以发现：等腰三角形两底角的平分线相等；两腰上的高、中线也分别相等. A B C D E F 角平分线 A B C D E F 中线 A B C 高 D F E 但是我们知道，观察或度量是不够的，需要以公理和已证明的定理为基础去证明它. 知识讲解 知识点1 等腰三角形的重要线段的性质 例 1 证明：等腰三角形两底角的平分线相等. 已知：如下图，在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC的角平分线. 求证：BD=CE. 2 1 E D C B A 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）. ∵BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB， ∵∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACB， ∴∠1=∠2. 在△BDC和△CEB中， ∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2． ∴△BDC≌△CEB（ASA）. ∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）. 1 2 1 2 刚才，我们只是发现并证明了等腰三角形中两底角的平分线相等，那么两腰上的中线呢？高呢？还有其他的结论吗？请你证明它们. 证明：等腰三角形两腰上的中线相等. 已知：如下图，在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC的中线. 求证：BD=CE. E D C B A 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB. ∵BD和CE是△ABC的中线， ∴CD= AC， BE= AB ，即CD=BE. 在△BDC和△CEB中， ∵BC=CB，∠ABC=∠ACB ， CD=BE， ∴△BDC≌△CEB（ SAS ）. ∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）. 1 2 1 2 证明：等腰三角形两腰上的高相等. 已知：如下图，在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC的高. 求证：BD=CE. 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB. ∵BD和CE是△ABC的高， ∴∠BDC=∠CEB. 在△BDC和△CEB中， ∵∠BDC=∠CEB，∠ABC=∠ACB，BC=CB， ∴△BDC≌△CEB（ AAS ）. ∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）. E D C B A 如图，在△ABC中，AB =AC，点D，E分别在AC和AB上. 议一议 E D C B A （1）如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB，那么 BD=CE吗？如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB呢？ 由此你能得到一个什么结论？ 1 3 1 3 1 4 1 4 ∠ABC=∠ACB ∠ABD=∠ACE 在△ABD和△ACE中， ∵∠A=∠A ，AB=AC， ∠ABD=∠ACE， ∴△ABD≌△ACE（ ASA ）. ∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）. 如图，在△ABC中，AB =AC，点D，E分别在AC和AB上. 议一议 E D C B A （1）如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB，那么 BD=CE吗？如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB呢？ 由此你能得到一个什么结论？ 1 3 1 3 1 4 1 4 同理 在△ABC中，如果AB =AC，∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE. 1 n 1 n 如图，在△ABC中，AB =AC，点D，E分别在AC和AB上. 议一议 E D C B A （2）如果AD= AC，AE= AB，那么BD=CE 吗？如果 AD= AC， AE= AB呢？由此你能得到什么结论？ 1 3 1 3 1 2 1 2 AD=AE 在△ABD和△ACE中， ∵AB=AC，∠A=∠A ，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE（ SAS ）. ∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）. 如图，在△ABC中，AB =AC，点D，E分别在AC和AB上. 议一议 E D C B A 1 3 1 3 （2）如果AD= AC，AE= AB，那么BD=CE 吗？如果 AD= AC， AE= AB呢？由此你能得到什么结论？ 1 2 1 2 同理 在△ABC中，如果AB =AC，AD= AB，AE= AB，那么BD=CE. 1 n 1 n 总结归纳 等腰三角形两底角的平分线相等；两腰上的高、中线也分别相等. 在△ABC中，如果AB =AC，∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE. 1 n 1 n 在△ABC中，如果AB =AC，AD= AB，AE= AB，那么BD=CE. 1 n 1 n 1.在等腰三角形ABC中，AB=AC，下列说法错误的是(　　) A. BC边上的高和中线互相重合 B. AB，AC边上的中线相等 C. 在△ABC中，顶点B处的角平分线和顶点C处的角平分线相等 D. AB，BC边上的高相等 随堂小测 D 2.如图，AB=AC，BD=DC，DF⊥AB，DE⊥AC，垂足分别是F，E. 求证:DE=DF. 随堂小测 证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C， ∵DF⊥AB，DE⊥AC，∴∠BFD=∠CED=90°， 在△BDF和△CDE中， BD=DC，∠B=∠C， ∠BFD=∠CED， ∴△BDF≌△CDE（AAS），∴DE=DF. 知识讲解 知识点2 等边三角形的性质定理 等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 回忆一下，怎样的三角形叫做等边三角形？ 等边三角形与等腰三角形有什么关系呢，它又有哪些性质呢？ 等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？ 想一想 定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°. 这个定理是否正确呢？试着用学过的公理或定理证明一下吧. 证明：等边三角形三个内角都相等，并且每个角都等于60°. 已知：如下图，在△ABC中，AB=BC=AC. 求证：∠A=∠B=∠C=60°. 证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C（等边对等角）. 又∵AC=BC， ∴∠A=∠B（等边对等角）. ∴∠A=∠B=∠C（等量代换）. 在△ABC中， ∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理）. ∴∠A=∠B=∠C=60°. A B C 知识拓展 等边三角形是特殊的等腰三角形，把等腰三角形的性质用于等边三角形，你能得到什么结论？ （3）等边三角形是轴对称图形，它有3 条对称轴，分别为三边高、中线、对应的角平分线所在的直线. （1）等边三角形的三条边都相等，是一种特殊的等腰三角形.所以等边三角形具有等腰三角形的所有性质. （2）等边三角形各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等. 总结归纳 等边三角形的性质 （1）定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°. （2）等边三角形各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等. （3）等边三角形是轴对称图形，它有3 条对称轴，分别为三边高、中线、对应的角平分线所在的直线. 1.求等边三角形两条中线相交所成锐角的度数. 随堂小测 解：如图，在等边三角形ABC中，中线BD，CE相交与点F， A B C D E F ∴CE⊥AB，BD平分∠ABC. ∴∠CEB=90°，∠ABD= ∠ABC= ×60°=30°. 在△EFB中， ∠EFB=180°-∠CEB-∠ABD=180°-90°-30°=60°. ∴等边三角形两条中线相交所成锐角的度数为60°. 1 2 1 2 2.如图，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，求∠BAC的度数. 解：∵△ADE是等边三角形， ∴AD=DE=AE，∠ADE=∠AED=60°. 又∵E是BC的三等分点，∴BD=DE=EC. ∴AD=BD，∴∠DBA=∠BAD. 又∵∠DBA＋∠BAD=∠ADE＝60°， ∴∠BAD=30°.同理可得，∠CAE=30°， ∴∠BAC=∠BAD＋∠DAE＋∠CAE=30°+60°+30°=120°. 1.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为 （ ） A.25° B.60°　 C.85° D.95° 当堂检测 D 2.如图，等边三角形OAB的边长为2，则点B的坐标为(　　) A．(1，1)　 B．( ，1)　 C．( ， )　 D．(1， ) D 3.如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE. （1）求证：AD=BE； （2）求∠AEB的度数. （1）证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形， ∴AC =BC，CD =CE，∠ACB =∠DCE=60°， 又∵∠ACD=∠ACB-∠DCB，∠BCE=∠DCE-∠DBC， ∴∠ACD=∠BCE， 在△ACD和△BCE中， AC =BC，∠ACD=∠BCE，CD =CE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）.∴AD=BE. 3.如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE. （1）求证：AD=BE； （2）求∠AEB的度数. （2）解：在等边△ECD中，∠CDE=∠CED=60°， ∴∠ADC=120°， ∵△ACD≌△BCE， ∴∠BEC=∠ADC=120°， ∴∠AEB=∠BEC-∠CED=120°-60°=60°. 课堂小结 等腰三角形中的重要线段的性质. 等腰三角形两底角的平分线相等；两腰上的高、中线也分别相等. 在△ABC中，如果AB =AC，∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE. 1 n 1 n 在△ABC中，如果AB =AC，AD= AB，AE= AB，那么BD=CE. 1 n 1 n 等边三角形的性质 （1）定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°. （2）等边三角形各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等. （3）等边三角形是轴对称图形，它有3 条对称轴，分别为三边高、中线、对应的角平分线所在的直线. 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 绿卡图书—走向成功的通行证 $$