第1课时 等腰三角形的性质（1）-【初中学霸创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步课件(北师大版)

情境导入 知识讲解 随堂小测 当堂检测 1 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质（1） 课堂小结 学习目标 1.进一步了解作为证明依据的八条基本事实的内容；（重点） 2.会证明三角形全等的AAS定理、等腰三角形两底角相等、三线合一的性质．（难点） 情境导入 你还记得我们在八年级上册“平行线的证明”一章中给出的基本事实吗？补全下面的几条基本事实. 复 习 回 顾 1.两条直线被第三条直线所截，如果 ，那么这两条直线平行； 2. 分别相等的两个三角形全等（SAS）； 3. 分别相等的两个三角形全等（ASA）； 4. 分别相等的两个三角形全等（SSS）. 同位角相等 两边及其夹角 两角及其夹边 三边 知识讲解 知识点1 全等三角形的判定及性质 定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.（AAS） 已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗？ 想一想 定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.（AAS） 证明：在△ABC 和△DEF中， ∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°）， ∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E). ∵∠A=∠D，∠B=∠E， ∴∠C =∠F（等量代换）. ∵BC=EF，∠B=∠E , ∴△ABC≌△DEF（ASA）. A B C D E F 已知：如下图，在△ABC 和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF. 求证：△ABC≌△DEF. 总结归纳 根据全等三角形的定义，我们可以得到 全等三角形的对应边相等、对应角相等. 证明两个三角形全等的方法： 两边及其夹角分别相等（SAS）、两角及其夹边分别相等（ASA）、三边分别相等（SSS）、两角和其中一角的对边分别相等（AAS）. 随堂小测 1.如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是 (　 　) A．AB＝DE B．AC＝DF C．∠A＝∠D D．BF＝EC A B C D E F C 注意：证明两个三角形全等需要三个条件，三个条件中至少有一组对应边相等. 随堂小测 2.如图，∠B＝∠E，∠1＝∠2，BC＝EC. 求证：AB＝DE. 证明：∵∠1＝∠2， ∴∠ACB=∠1+∠ACE，∠DCE=∠2+∠ACE， ∴∠ACB =∠DCE. 在△ABC 和△DEF中， ∵∠B=∠E ,BC=EC，∠ACB =∠DCE， ∴△ABC≌△DEF（ASA）. ∴AB＝DE（全等三角形对应边相等）. A B C D E 1 2 知识讲解 知识点2 等腰三角形的性质定理及推论 （1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？回忆一下. 议一议 定理：等腰三角形的两底角相等.（简述为：等边对等角） （2）你能用已有的公理和定理证明这个结论吗？ 适用条件：必须在同一个三角形中. 定理：等腰三角形的两底角相等.（简述为：等边对等角） 已知：如下图，在△ABC 中，AB=AC. 求证：∠B=∠C. A B C 证明：取BC的中点D，连接AD. D ∵AB=AC，BD=CD，AD=AD， ∴△ABD≌△ACD（SSS）. ∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）. 证法1 已知：如下图，在△ABC 中，AB=AC. 求证：∠B=∠C. A B C 证明：在△ABC和△ACB中， ∵AB=AC，∠A=∠A，AC=AB， ∴△ABC≌△ACB（SAS） . ∴∠B=∠C （全等三角形的对应角相等） . 证法2 你还有其他证明方法吗？ 已知：如下图，在△ABC 中，AB=AC. 求证：∠B=∠C. A B C 证明：作∠A的角平分线，交BC于点D. 在△ABD和△ACD中， ∵AB=AC，∠BAD =∠CAD，AD=AD , ∴△ABD≌△ACD （ SAS ）. ∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等） 证法3 你还有其他证明方法吗？ D 想一想 在左图中，线段AD除是底边上的中线外还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？ A B C D 由△ABC≌△ACB，可知 ∵∠BAD =∠CAD，∴AD是等腰三角形顶角的平分线； ∵∠BDA =∠CDA，∴∠BDA =∠CDA=90°，AD是等腰三角形底边上的高线. 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.（三线合一） 总结归纳 等腰三角形的性质 1.等腰三角形的两底角相等.（等边对等角） 2.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.（三线合一） 随堂小测 1.在△ABC中，AB＝AC. （1）若∠A＝40°，则∠C等于多少度？ （2）若∠B＝72°，则∠A等于多少度？ A B C 解：（1）∵∠A=40°，∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠B+∠C=180°-∠A=180°-40°=140°. ∵AB＝AC，∴∠B=∠C=140°÷2=70°. （2）∵AB＝AC，∴∠B=∠C=72°. ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-72°-72°=36°. 2.如图，在△ABD中，AC⊥BD，垂足为C，AC＝BC＝CD. （1）求证：△ABD是等腰三角形； （2）求∠BAD的度数. A B C D （1）证明：∵AC⊥BD， ∴∠ACB =∠ACD=90°. ∵AC =AC，BC =DC， ∴△ACB≌△ACD（SAS）. ∴AB=AD. ∴△ABD是等腰三角形. 2.如图，在△ABD中，AC⊥BD，垂足为C，AC＝BC＝CD. （1）求证：△ABD是等腰三角形； （2）求∠BAD的度数. A B C D （2）解：∵AC =BC，∠ACB =90°， ∴∠B =∠BAC=45°. 同理，∠D=∠DAC=45°. ∴∠BAD =∠BAC+∠DAC=45°+45°=90°. 2.等腰三角形有一个角是96°，则另两个角分别是____________. 1.等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是(　　) A．65°或50° B．80°或40° C．65°或80° D．50°或80° 当堂检测 A 42°、42° 3.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E是AB上的一点，且DE∥AC.若DE=3，则AB等于多少？ 解：∵AC =AC，AD是BC边上的中线， ∴∠EAD =∠CAD，∠B =∠C， ∵DE∥AC, ∴∠EDA =∠CAD，∠EDB =∠C， ∴∠EAD =∠EDA ，∠EDB =∠B， ∴DE=AE，DE=BE， ∴AB=2DE=6. 课堂小结 根据全等三角形的定义，我们可以得到 全等三角形的对应边相等、对应角相等. 证明两个三角形全等的方法： 两边及其夹角分别相等（SAS）、两角及其夹边分别相等（ASA）、三边分别相等（SSS）、两角和其中一角的对边分别相等（AAS）. 等腰三角形的性质 1.等腰三角形的两底角相等.（等边对等角） 2.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.（三线合一） 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 绿卡图书—走向成功的通行证 $$