第16章 二次根式—— 二次根式的运算专项训练【五大题型】 -2024—2025学年人教版数学八年级下册

二次根式的运算专项训练【五大题型】 【人教版】 【题型1 二次根式的乘法】 1．计算：； 2．计算：． 3．计算：． 4．计算： (1)． (2) (3)． (4)． 5．计算：． 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 7．计算 （1）     （2） 8．计算： 9．计算： (1) (2) (3) (4) 10．计算：． 【题型2 二次根式的除法】 11．计算： （1）；                     （2）. 12．计算 (1). (2). (3). (4). 13．计算：÷． 14．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 15．化简： (1)； (2)． 16．计算： (1)； (2)； (3)． 17．计算： (1) (2) 18．化简：（其中）． 19．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．计算： (1) (2) (3) (4) 【题型3 二次根式的乘除混合运算】 21．计算：． 22．计算： 23．计算：． 24．计算：． 25．计算：； 26．计算：． 27．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 28．计算： 29．计算： ． 30．计算：． 【题型4 二次根式的加减】 31．计算： (1)； (2)． 32．计算：． 33．计算：． 34．计算： 35．计算： ． 36．计算：． 37．计算 (1)； (2) 38．计算：． 39．计算：． 40．计算： (1) (2) (3) (4) 【题型5 二次根式的混合运算】 41．计算： 42．计算：． 43．计算： (1)； (2)． 44．计算：． 45．计算：． 46．计算：． 47．计算： (1) (2) 48．计算下列各式： (1) (2)． 49．计算： (1) (2) 50．计算： (1)； (2)． 51．计算． (1)； (2)． 52．计算： (1) (2) 53．计算： (1)； (2)． 54．计算：． 55．计算： (1) (2) 56．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 57．计算： (1)； (2)． 58．计算： (1) (2)； 59．计算：． 60．化简计算 (1) (2) (3) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二次根式的运算专项训练【五大题型】 【人教版】 【题型1 二次根式的乘法】 1．计算：； 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，先计算乘法，再化简，即可求解． 【详解】解： ． 2．计算：． 【答案】 【分析】根据平方差公式结合二次根式的乘法法则可以解答本题． 【详解】解： 【点睛】本题考查二次根式的乘法运算、平方差公式，解答本题的关键是明确二次根式乘法运算的计算方法． 3．计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，运用乘法的分配律计算是解答本题的关键． 4．计算： (1)． (2) (3)． (4)． 【答案】(1)6 (2)10 (3)1 (4) 【分析】（1）根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最简二次根式即可； （2）根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最简二次根式即可； （3）根据二次根式的乘法法则进行计算即可； （4）根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最简二次根式即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法法则，解题的关键是熟练掌握二次的乘法法则：． 5．计算：． 【答案】 【分析】先算二次根式的乘法再化简即可． 【详解】 【点睛】本题考查二次根式的乘法及二次根式的性质和化简，熟练掌握二次根式的乘法及二次根式的性质和化简是解题关键． 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)3 (3) (4)8 【分析】（1）把被开方数相乘即可， （2）先把被开方数相乘，再把结果化成最简形式即可， （3）把被开方数相乘即可， （4）先把被开方数相乘，再把结果化成最简形式即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） 【点睛】本题考查的是二次根式的乘法，熟知二次根式的乘法法则是解答此题的关键． 7．计算 （1）     （2） 【答案】（1）45；（2） 【分析】（1）先化简二次根式，然后进行乘法运算，即可求解； （2）先利用二次根式的乘法法则进行乘法运算，再化简，即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘法运算法则——，其中 ， ，还要注意结果要化为最简二次根式． 8．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此可求出，再根据二次根式乘法计算法则求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 9．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的乘法，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据二次根式的乘法运算法则计算，再化简即可； （2）根据二次根式的乘法运算法则计算，再化简即可 （3）根据二次根式的乘法运算法则计算，再化简即可； （4）根据二次根式的乘法运算法则计算，再化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 10．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式乘法运算，先根据算术平方根定义，二次根式的乘法化简，再算加减法即可． 【详解】解： ． 【题型2 二次根式的除法】 11．计算： （1）；                     （2）. 【答案】（1）2；（2） 【分析】（1）、（2）均根据二次根式的除法法则计算即可. 【详解】解：（1）. （2）. 【点睛】本题考查了二次根式的除法法则，熟练应用二次根式的除法法则是解题的关键. 12．计算 (1). (2). (3). (4). 【答案】(1)；(2)2；(3)；(4) 【分析】（1）根据公式 计算即可. （2）根据公式 计算即可. （3）根据公式 计算即可. （4）根据公式 计算即可. 【详解】（1） (2). (3) (4). 【点睛】本题考查的是二次根式的除法，熟记公式是关键. 13．计算：÷． 【答案】 【分析】根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式＝ ＝ ＝ 【点睛】本题考查二次根式的乘除运算，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型． 14．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （2）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （3）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （4）根据二次根式的除法运算法则计算即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的除法运算，掌握二次根式的除法运算法则是解答本题的关键． 15．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了二次根式的除法． （1）先利用二次根式的性质化简，再约分即可求解； （2）根据二次根式的除法法则计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 16．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法法则逐个计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）． 17．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的除法计算，熟知二次根式的除法法则是解题的关键． （1）根据二次根式的除法法则可解决问题． （2）根据二次根式的除法法则可解决问题． 【详解】（1） （2） 18．化简：（其中）． 【答案】 【分析】将除法转化为乘法，再利用二次根式的乘除法则计算． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，解题的关键是掌握运算法则，从而正确化简算式． 19．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次乘法法则计算即可； （2）根据二次除法法则计算即可； （3）根据二次乘法法则计算即可； （4）根据二次除法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【点睛】本题主要考查二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘除法法则是解题的关键． 20．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【分析】根据二次根式的除法计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【点睛】此题考查了二次根式的除法，正确掌握二次根式的除法计算法则是解题的关键． 【题型3 二次根式的乘除混合运算】 21．计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先计算二次根式的乘法，然后将二次根式化为最简二次根式，最后进行加减运算．掌握相应的运算法则、运算顺序及性质是解题的关键． 【详解】解： ． 22．计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．直接根据二次根式的乘除计算法则进行计算求解即可． 【详解】解： ． 23．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键． 根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可． 【详解】解： ． 24．计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的乘除混合运算，直接利用二次根式的乘法，除法运算法则计算即可． 【详解】解： ． 25．计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法混合计算，直接根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可． 【详解】解： ． 26．计算：． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先计算乘法，再计算除法，即可求解． 【详解】解：． 27．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算 （1）根据二次根式乘除法法则计算即可； （2）根据二次根式乘除法法则计算即可； （3）根据二次根式乘除法法则计算即可； （4）根据二次根式乘除法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）原式 ； （3）原式； （4）原式． 28．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算顺序与运算法则是解题的关键．利用二次根式的乘除运算法则化简求出答案． 【详解】解： 原式 29．计算： ． 【答案】． 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算，根据二次根式的乘除法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 30．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法混合计算，先计算二次根式乘法，再计算二次根式除法即可得到答案． 【详解】解： ． 【题型4 二次根式的加减】 31．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算和二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式根据平方差公式进行计算即可； （2）原式先化简二次根式，再合并即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 32．计算：． 【答案】0 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 33．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的加减运算，先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得． 【详解】解： ． 34．计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的加减运算，解题的关键是熟练掌握实数的运算法则， 根据实数的加减运算法则计算即可； 【详解】解： 35．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：原式 36．计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的加减法法则计算即可． 【详解】解：， ， ． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式加减法法则是解题的关键． 37．计算 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的乘法公式和合并同类二次根式法则计算即可； （2）二次根式的乘法公式和合并同类二次根式法则计算即可． 【详解】（1） （2） 【点睛】此题考查的是二次根式的加减运算，掌握二次根式的乘法公式：、除法公式和合并同类二次根式法则是解决此题的关键． 38．计算：． 【答案】 【分析】把二次根式化简成最简二次根式后，再合并即可． 【详解】解：原式 【点睛】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 39．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，利用二次根式的性质化简，合并同类二次根式等知识点，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． 利用二次根式的性质先把各个二次根式化成最简二次根式，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式． 40．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查二次根式的加减混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）利用二次根式的化简的法则，二次根式的加减法的法则，对各项进行运算即可． （2）利用二次根式的化简的法则，二次根式的加减法的法则，对各项进行运算即可． （3）利用二次根式的化简的法则，二次根式的加减法的法则，对各项进行运算即可． （4）利用二次根式的化简的法则，二次根式的加减法的法则，对各项进行运算即可． 【详解】（1）解： ; （2）解： ; （3）解： ; （4）解： . 【题型5 二次根式的混合运算】 41．计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先算分子和乘法，再算除法． 【详解】解： ． 42．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、分母有理化．根据二次根式的混合运算法则进行计算即可得出答案． 【详解】解： ． 43．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）根据二次根式的性质、二次根式的除法进行计算，再合并同类二次根式，即可求解； （2）根据二次根式乘除法进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： 44．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先算二次根式的乘除法，再算加减法，即可解答． 【详解】解： ． 45．计算：． 【答案】 【分析】先利用乘法分配律和平方差公式进行计算，然后根据二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式，利用二次根式的性质化简，合并同类二次根式等知识点，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 46．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．根据二次根式的除法，乘法，以及平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解： ． 47．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）根据完全平方公式，平方差公式，化简绝对值进行计算即可求解； （2）根据二次根式的除法以及二次根式的性质化简，进而即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 48．计算下列各式： (1) (2)． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则和利用乘法公式是解题的关键． （1）先计算二次根式的乘法，再合并同类二次根式即可； （2）先利用平方差公式计算乘法，计算除法，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 49．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，分母有理化，熟练掌握运算法则，平方差公式和完全平方公式，是解题的关键． （1）根据二次根式混合运算法则，结合平方差公式和完全平方公式进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则和分母有理化运算方法，进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 50．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，平方差公式，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据平方差公式，完全平方公式进行展开再合并同类项，即可作答． （2）先根据二次根式的性质化简括号内，再运算除法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 51．计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的化简，加减乘除混合运算，掌握二次根式的化简，二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）化简二次根式，求出立方根，根据加减法即可求解． （2）化简二次根式，根据二次根式的乘除法，加减法即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 52．计算： (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式混合运算法则，进行计算即可； （2）根据完全平方公式和平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 53．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确进行运算是解题的关键； （1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）分别用完全平方公式与平方差公式展开，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 54．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据立方根定义，二次根式混合运算法则，分母有理化方法，进行解答即可． 【详解】解： ． 55．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合计算，熟练掌握二次根式的性质，二次根式的乘法和除法法则，乘法公式是解决问题的关键． （1）先根据二次根式的除法法则和乘法法则运算，然后把各二次根式化为最简二次根式后合并即可； （2）先化简各二次根式和绝对值，再合并计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 56．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)5 (2) (3)6 (4) 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键； （1）根据二次根式的乘除运算可进行求解； （2）根据二次根式的加减运算可进行求解； （3）根据二次根式的混合运算及立方根可进行求解； （4）根据平方差公式、完全平方公式及二次根式的运算可进行求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 57．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用二次根式的性质进行化简，再运算加减，即可作答． （2）先运用二次根式的性质进行化简和运算平方差公式，再运算加减，即可作答． 【详解】（1）解： ， （2）解： ． 58．计算： (1) (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确求解是解答的关键． （1）利用完全平方公式和平方差公式进行二次根式的运算即可； （2）先利用二次根式的性质化简各数，再加减运算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 59．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键．先利用二次根式的乘除法法则计算，再加减． 【详解】解：原式， ， ， 60．化简计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）先根据立方根和算术平方根的性质化简，再计算，即可求解； （2）先根据算术平方根的性质化简，再计算，即可求解． （3）根据平方差公式和二次根式的混合运算法则计算即可求解； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$