第二章 一元二次方程 单元测试2024-2025学年北师大版数学九年级上册

第二章《一元二次方程》 单元测试卷 (时间：120分钟　　满分：120分) 一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分) 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是( ) A．3(x＋1)2＝2(x＋1) B．＋－2＝0 C．ax2＋bx＋c＝0 D．x2＋2x＝x2－1 2. 若x＝－1是关于x的一元二次方程x2－2kx＋k2＝0的一个根，则k的值为( A ) A．－1 B．0 C．1 D．2 3. 用配方法解方程x2－8x＋5＝0，配方后正确的是( ) A．(x＋4)2＝11 B．(x＋4)2＝21 C．(x－8)2＝11 D．(x－4)2＝11 4. 解方程(x＋5)2－3(x＋5)＝0较简便的方法是( ) A．直接开平方法 B．因式分解法 C．配方法 D．公式法 5. 下列一元二次方程有实数解的是( ) A．2x2－x＋1＝0 B．x2－2x＋2＝0 C．x2＋3x－2＝0 D．x2＋2＝0 6. 若α，β是一元二次方程x2－3x－4＝0的两个根，则α＋β的值为( ) A．－4 B．4 C．－3 D．3 7. 关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，则b2－2(1＋2c)＝( ) A．－2 B．2 C．－4 D．4 8. 若实数k，b是一元二次方程(x－1)(3x＋2)＝0的两个根，且k＞b，则一次函数y＝kx＋b的图象不经过( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9. 某商品经过连续两次涨价，销售单价由原来162元涨到200元，设平均每次涨价的百分比为x，根据题意可列方程为( ) A．200(1－x)2＝162 B．200(1＋x)2＝162 C．162(1＋x)2＝200 D．162(1－x)2＝200 10. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2－10x＋m＝0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为( ) A． B．2 C． D．2 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 11. 将一元二次方程(2x－1)2＝x(x－2)＋6化为一般形式为________． 12. 一元二次方程x2＋2x－1＝0根的判别式的值为________． 13. 方程(x＋2)2＝x＋2的解是____________． 14. 已知一元二次方程x2－6x＋m＝0(m是常数)有实数根，则m的值可以是_______________．(写出一个符合条件的值即可) 15. 在解一元二次方程x2＋bx＋c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝2，x2＝3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝1，x2＝4.请你写出正确的一元二次方程___________________. 16. 对于实数a，b，定义运算“*”：a*b＝若x1，x2是一元二次方程x2－5x＋6＝0的两个根，其中x1＞x2，则x1*x2＝________． 三、解答题(一)(本大题共4小题，第17、18题各5分，第19、20题各6分，共22分) 17. 解方程：5x2－3x＝x＋1. 18. 已知关于x的方程x2－kx＋12＝0的一个根为3，求k的值及它的另一个根． 19. 已知－1是方程x2＋ax－b＝0的一个根，求a2－b2＋2b的值. 20. 一元二次方程x2－2x－3＝0的某个根也是方程x2－(k＋2)x－9＝0的根，求k的值． 四、解答题(二)(本大题共3小题，第21题8分，第22、23题各9分，共26分) 21. 已知关于x的一元二次方程(b－c)x2－2ax＋(c＋b)＝0.其中a，b，c分别为△ABC三边的长． (1)如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由． 22. 已知：关于x的方程x2－(8－4m)x＋4m2＝0有两个不相等的实数根x1，x2. (1)求实数m的取值范围； (2)若方程的两个实数根x1，x2满足x1＋x2＝x1x2，求出符合条件的m的值． 23. 如图是今年1月的月历表，用矩形方框按如图所示的方法任意圈出4个数，请解答下列问题： (1)若方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数； (2)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，求最小数；若不能，请说明理由． 五、解答题(三)(本大题2小题，每小题12分，共24分) 24. 某地蔬菜批发市场某批发商原计划以每千克10元的单价对外批发销售某种蔬菜．为了加快销售，该批发商对价格进行两次下调后，售价降为每千克6.4元． (1)求平均每次下调的百分率； (2)某大型超市准备到该批发商处购买2吨该蔬菜，因数量较多，该批发商决定再给予两种优惠方案以供选择．方案一：打八折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金1000元．试问超市采购员选择哪种方案更优惠？请说明理由． 25. 社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示，已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车区，要铺花砖，其余部分是通道，且宽度相等．已知铺花砖的面积为640平方米． (1)通道的宽是多少米？ (2)该停车场共有车位64个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位．为了维护消费者利益，物价部门规定，每个车位租金不得超过500元，要想让停车场的月租金收入为14400元，每个车位的月租金应上涨多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一、选择题 1. A 2. A 3. D 4. B 5. C 6. D 7. A 8. B 9. C 10. C 二、填空题 11. 3x² - 2x - 5 = 0 12. 8 13. x₁ = -2，x₂ = -1 14. 9（答案不唯一） 15. x² - 5x + 6 = 0 16. 3 三、解答题 17.解：∵5x2－3x＝x＋1，∴5x2－4x－1＝0，(5x＋1)(x－1)＝0，∴5x＋1＝0或x－1＝0，∴x1＝－，x2＝1 18.解：∵方程x2－kx＋12＝0的一个根为3，∴32－k×3＋12＝0，解得k＝7，设另一根为x，∵3x＝12，∴x＝4，∴另一根为4 19.解：∵－1是方程x2＋ax－b＝0的一个根，∴1－a－b＝0，∴a＋b＝1，∴a2－b2＋2b＝(a＋b)(a－b)＋2b＝a－b＋2b＝a＋b＝1 20.解：解一元二次方程x2－2x－3＝0，得x1＝3，x2＝－1.当x＝3是方程x2－(k＋2)x－9＝0的根，则9－3(k＋2)－9＝0，解得k＝－2；当x＝－1是方程x2－(k＋2)x－9＝0的根，则1＋(k＋2)－9＝0，解得k＝6.综上所述，k的值为－2或6 21.解：(1)根据题意，得Δ＝(8－4m)2－4×4m2＞0，解得m＜1 (2)根据题意，得x1＋x2＝8－4m，x1x2＝4m2，∵x1＋x2＝x1x2，∴8－4m＝4m2，整理得m2＋m－2＝0，解得m1＝－2，m2＝1，∵m＜1，∴m＝－2，即m的值为－2 22.解：(1)△ABC为等腰三角形，理由如下：∵x＝1是一元二次方程(b－c)x2－2ax＋(c＋b)＝0的根，∴(b－c)－2a＋(c＋b)＝0，∴a＝b，∵b－c≠0，∴b≠c，∴△ABC为等腰三角形 (2)△ABC为直角三角形，理由如下：∵方程有两个相等的实数根，∴(－2a)2－4(b－c)(b＋c)＝0，∴a2＋c2＝b2，∴△ABC为直角三角形 23.解：(1)设最小数是x，则最大数是x＋8，根据题意得：x(x＋8)＝180，整理得：x2＋8x－180＝0，解得：x1＝10，x2＝－18(不符合题意，舍去).∴最小数是10 (2)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由如下：假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，设最小数是y，则另外三个数分别是y＋1，y＋7，y＋8，根据题意，得y(y＋8)＋y＋y＋1＋y＋7＋y＋8＝124，整理，得y2＋12y－108＝0，解得y1＝6，y2＝－18(不符合题意，舍去)，∵y＝6在最后一列，∴假设不成立，即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124 24.解：(1)设平均每次下调的百分率为x，根据题意，得10(1－x)2＝6.4，解得x＝20%或x＝180%(舍去).答：平均每次下调20% (2)方案一更优惠，理由如下：方案一：6.4×0.8×2000＝10240(元)，方案二：6.4×2000－2000＝10800(元).∵10240＜10800，∴超市采购员选择方案一更优惠 25.解：(1)设通道的宽为x米，根据题意，得(52－2x)(28－2x)＝640，∴x2－40x＋204＝0，∴(x－6)(x－34)＝0，∴x＝6或x＝34(不符合实际，舍去)，答：通道的宽是6米 (2)设每个车位的月租金上涨a元，停车场的月租金收入为14400元，根据题意，得(200＋a)(64－)＝14400，整理，得a2－440a＋16000＝0，解得a1＝400，或a2＝40，∵400＋200＞500，∴a＝400不符合题意，舍去，∴a＝40，故每个车位的月租金应上涨40元时，停车场的月租金收入为14400元 学科网（北京）股份有限公司 $$