矩形的性质及判定寒假讲义2024-2025学年 人教版数学八年级下册

矩形的性质及判定 菱形的概念 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 要点诠释：矩形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一个角等于90°.即矩形是一个平行四边形，然后增加有一个角是直角这个特殊条件. 例1. 已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC. 求证：CE＝EF. 【变式】已知：如图1，在矩形ABCD中，AF＝BE．求证：DE＝CF； 矩形的性质 1.矩形具有平行四边形的一切性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是900； 4.矩形是轴对称图形； 边 角 对角线 对称性 对边平行且相等 四个角都是直角 互相平分且相等 轴对称，中心对称 例2. 如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝55°，则∠OBA的度数为（　　） A．35° B．40° C．45° D．50° 例3. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，F是DE的中点，若AB＝5，AD＝9，则OF的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．4 例4. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AB＝2，∠AOB＝60°，点E为BD上一点，OE＝1，连接AE，则AE的长为（　　） A． B． C．或 D．6 【变式1】矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB＝60°，AB＝4，则BD的长为（　　） A．4 B．5 C．4 D．8 【变式2】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥OB于点E，当E为OB中点时，则AC的长为（　　） A． B．4 C． D．8 矩形的判定 1.有一个角是直角的平行四边形是矩形； 2.对角线相等的平行四边形是矩形； 3.有三个角是直角的四边形是矩形； 4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形 角 ∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°; 四边形ABCD是菱形 先求证四边形ABCD是平行四边形，再结合∠BAC=90°可证 对角线 先求证四边形ABCD是平行四边形，再结合AC=BD可证 例5. 下列说法正确的是（　　） A．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 例6. 在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，则下列不能判断四边形ABCD是矩形的是（　　） A．∠A＝∠B＝∠C＝∠D B．OA＝OB＝OC＝OD C．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD D．∠A＝∠C，∠B+∠C＝180°，∠AOB＝∠BOC 例7. 如图，点E是平行四边形ABCD中边BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F．连接AC、BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形． 例8. 如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）过点B作BE⊥AC于点E，若∠ABE：∠CBE＝2：3，求∠OBE的度数． 【变式1】下列说法不能判定四边形是矩形的是（　　） A．有一个角为90°的平行四边形 B．四个角都相等的四边形 C．对角线相等的平行四边形 D．对角线互相平分的四边形 【变式2】如图，在△ABC中，AC＝BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE到F，使得EF＝DE，试判断四边形ADCF的形状，并说明理由． 【变式3】如图所示，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE，交BC于F． （1）求证：四边形OCEB是矩形； （2）如果设AC＝12，BD＝16，求OE的长． 直角三角形斜边中线 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【推理证明】已知：如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，点O是AC边的中点．求证：． 证明：如图2，延长BO至D，使OD＝OB，连结AD，CD． 请你补全余下的证明过程． 例9. 写出命题“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”的逆命题，并证明该逆命题为真命题． 例10. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG，DF．猜想四边形BDFG的形状，并说明理由． 【变式1】如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，点E是BD的中点．若∠EAC＝25°，则∠ADC＝ 　65°　． 【变式2】如图，在Rt△ADB和Rt△ABC中，∠ADB＝90°，∠ACB＝90°，E是AB的中点． （1）求证：DE＝CE； （2）若∠CAB＝30°，∠DBA＝40°，求∠DEC． 课后训练 1. 我们在学习直角三角形斜边的中线定理时，小明同学证明的过程有点缺失，你能帮他找回缺失的部分吗？已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AC的中点，求证：BO＝2AC证明：如图，延长BO至点D，使OD＝BO，连接AD，CD．… ∴AC＝BD＝2OB，∴．下面是“…”部分被打乱顺序的证明过程：①∴四边形ABCD是平行四边形；②∵∠ABC＝90°；③∵OA＝OC，OB＝OD；④∴四边形ABCD是矩形．则正确的顺序为（　　） A．③①②④ B．③②①④ C．②③①④ D．②①③④ 2. 直角三角形两直角边边长分别为6cm和8cm，则斜边的中线为（　　） A．10cm B．3cm C．4cm D．5cm 3. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．求证：四边形ADFE是矩形． 4. 如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，点M为BC的中点． （1）求证：MF＝ME； （2）若∠ABC＝50°，∠ACB＝65°，求∠FME的度数． 5.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若，BD＝2，求OE的长； （3）在（2）的条件下，已知点M是线段AC上一点，且，则CM的长为 　 　． 学科网（北京）股份有限公司 $$