第一章 特殊平行四边形 单元测试2024-2025学年北师大版数学九年级上册

第一章《特殊平行四边形》 单元测试卷 (时间：120分钟　　满分：120分) 一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分) 1. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是( ) A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直 2. 如图，四边形ABCD是菱形，两条对角线的长分别为AC＝26 cm，BD＝10 cm，则菱形ABCD的面积是( ) A．260 cm2 B．130 cm2 C．120 cm2 D．100 cm2 　　　 3. 如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当AB＝2，∠A＝120°时，AC等于( ) A． B． C．2 D．2 4. 在直角三角形中，若斜边上的中线长为6，则斜边长为( ) A．3 B．6 C．12 D．无法确定 5. 如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC的长为( ) A．4 B．4 C．3 D．5 　　　　 6. 如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，若AE＝AB，则∠AEB的度数为( ) A．22.5° B．30° C．45° D．67.5° 7. 如图，建筑公司验收门框时要求是矩形．在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列验算方法错误的是( ) A．AD⊥DC B．OA＝OB C．AC＝BD D．OA＝OC 　　　　 8. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为(12，13)，则点C的坐标是( ) A．(0，－8) B．(0，－5) C．(－5，0) D．(0，－6) 9. 如图①，小强拿一张正方形的纸，沿虚线对折一次得图②，再对折一次得图③，然后用剪刀沿图③中的虚线剪去一个角，再打开后的形状是( ) 　　　　　　 10. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，AC与BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线相交于点F，点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，则PG的最小值是( ) A． B． C． D． 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 11. 如果正方形的对角线长为2，则正方形的面积是_____． 12. 如图，公路AC与BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AC的长为6 km，BC的长为8 km，则C，M两点间的距离为_____km. 　　　　 13. 如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且AB＝BC，请你添加一个适当的条件_______________，使四边形ABCD成为菱形．(只需添加一个即可) 14. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，则AC＝_____． 15. 如图，点O是AC的中点，将周长为8 cm的菱形ABCD沿对角线AC方向平移AO长度得到菱形OB′C′D′，则四边形OECF的周长是______cm. 16. 一个纸质的正方形“仙人掌”，假设“仙人掌”在不断地生长，新长的叶子是“缺角的正方形”，这些“正方形”的中心在先前正方形的角上，它们的边长是先前正方形的一半(如图所示).若第一个正方形的边长是1，则生长到第6次后，第6次所得“缺角的正方形”的面积和是_________. 三、解答题(一)(本大题共4小题，第17、18题各5分，第19、20题各6分，共22分) 17. 一个菱形两条对角线长的和是14 cm，面积是24 cm2，求菱形的两条对角线长． 18. 如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，E，F分别是OC，BC的中点．若EF＝5 cm，求AC的长． 19. 如图，在菱形ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.求证：BE＝DF. 20. 如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，EF与对角线AC交于点O.求证：OE＝OF. 四、解答题(二)(本大题共3小题，第21题8分，第22、23题各9分，共26分) 21. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF. (1)求证：∠BAC＝∠DAC； (2)若AB∥CD，判断四边形ABCD的形状并说明理由． 22. 如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OB. (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2) 若∠AOB＝60°，AB＝2，求四边形ABCD的面积． 23. 将两张长为8，宽为4的矩形纸片如图叠放． (1)判断四边形AGCH的形状，并说明理由； (2)求四边形AGCH的面积． 五、解答题(三)(本大题2小题，每小题12分，共24分) 24. 如图，矩形纸片ABCD的边长AB＝4，AD＝2.将矩形纸片沿EF折叠，点A与点C重合． (1)求FG的长； (2)求图中阴影部分的面积． 25. 综合与实践： 【问题初探】 如图①，四边形ABCD是正方形，射线DM交边AB于点E，若点E为AB的中点，连接CE. (1)请写出DE与CE的数量关系； 【猜想证明】 (2)在图①的基础上，将射线DM绕着点D逆时针旋转，交边BC于点F，若点F恰好是BC的中点，如图②，猜想线段CE与DF的关系，并证明你的结论； 【问题解决】 (3)在图③中，连接EF，若此时EF＋DF的值最小，最小值为3，求正方形ABCD的边长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一、选择题 1. B 2. B 3. D 4. C 5. B 6. D 7. D 8. B 9. C 10. D 二、填空题 11. 2 12. 5 13. AB = AD（答案不唯一） 14. 10 15. 4 16. 三、解答题 17.解：设菱形的两条对角线长分别为a cm，b cm(a＞b)，根据对角线长的和是14 cm，面积为24 cm2，得a＋b＝14，ab＝24，求得a＝8，b＝6 18.解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC＝OB＝OD＝BD＝AC，∵点E，F分别是OC，BC 的中点，∴EF是△COB的中位线，∴EF＝OB＝5 cm，∴OB＝10 cm，∴AC＝2OB＝20 cm 19.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，∴△ABE≌△ADF(AAS)，∴BE＝DF 20.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠FCO.在△AOE和△COF中，∠BAC＝∠FCO，∠AOE＝∠COF，AE＝CF，∴△AOE≌△COF(AAS)，∴OE＝OF 20.解：(1)∵在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠BAC＝∠DAC (2)四边形ABCD是菱形．理由：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，∵∠BAC＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形 21.(1)解：∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2OA，BD＝2OB.∵OA＝OB，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形 (2)解：由(1)可知，四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°.∵OA＝OB，∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝AB＝2，∴AC＝2OA＝4，∴BC＝＝2，∴矩形ABCD的面积＝AB·BC＝4 23.解：(1)四边形AGCH是菱形，理由如下：∵四边形ABCD和四边形AFCE是矩形，∴∠B＝∠F＝90°，AD∥BC，AF∥CE，∴四边形AGCH是平行四边形，∵S平行四边形AGCH＝GC·AB＝AG·CF，AB＝CF，∴GC＝AG，∴平行四边形AGCH是菱形 (2)由(1)可知，GC＝AG，设GC＝AG＝x，则BG＝8－x，在Rt△ABG中，AB＝4，由勾股定理得42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，∴GC＝5，∴S菱形AGCH＝GC·AB＝5×4＝20 24.解：(1)由图形折叠的性质可知AD＝GC，DF＝GF，设DF＝x，则FG＝x，FC＝4－x，∵AD＝2，∴GC＝2，在Rt△FCG中，FC2＝FG2＋GC2，即(4－x)2＝x2＋22，解得x＝，∴FG的长为 (2)连接AF.∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠CFE＝∠AEF.由折叠得∠AEF＝∠CEF，AE＝CE，∴∠CFE＝∠CEF，∴CE＝CF＝AE，∴DF＝BE，∴S阴影＝S四边形BCFE＋S△CGF＝S矩形ABCD＋S△CGF＝AB·AD＋CG·GF＝×4×2＋×2×＝4＋＝，∴图中阴影部分的面积为 25.解：(1)DE＝CE.理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC，∠A＝∠B＝90°，∵点E为AB的中点，∴AE＝BE，∴△ADE≌△BCE(SAS)，∴DE＝CE (2)CE＝DF，CE⊥DF.证明：设DF与CE交于点G，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝AB，∠B＝∠BCD＝90°，∵点E是AB的中点，点F是BC的中点，∴BE＝CF，∴△CBE≌△DCF(SAS)，∴CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，∵∠BCE＋∠DCE＝90°，∴∠CDF＋∠DCE＝90°，∴∠CGD＝90°，∴CE⊥DF (3)如图，延长EB到E′，使BE′＝BE，使射线DM过点E′交BC于点F，则此时EF＋DF的值最小，∵BE′＝BE，BC⊥AE′，∴EF＝E′F，∴EF＋DF＝E′F＋DF＝DE′＝3，设AB＝x，∵E为AB的中点，∴BE＝BE′＝x，∴AE′＝x，在Rt△ADE′中，AD2＋(AE′)2＝(DE′)2，∴x2＋(x)2＝117，∴x1＝6，x2＝－6(舍去)，∴正方形ABCD的边长为6 学科网（北京）股份有限公司 $$