湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高三上学期月考（五）数学试卷

炎德·英才大联考雅礼中学2025届高三月考试卷（五） 数学参考答案 一、二、选择题 题号 2 3 5 6 7 8 9 10 11 答案 A C A B A B B A ACD ABD BCD 1.Λ【懈析】：2+=m=杂=u号，-罗+号义m为正该数，故复数在义牛面内对的点位于第 5 5 一象限。 2.C【解析】因为B={xly=√x+2}={.x.x≥-2，又A={x-3≤x<4,所以A∩B=(x-2≤<4， 所以图中阴影部分表示的集合为C(A∩B)={xx≥4}. &A【得折调为品。'=品产-1且品。=，片以马-号 3 4.B【解析】因为a=(2.1),所以a=√5，所以a+b=a2+b+2a·b=9,整理得6+2a·b=4①， 又b⊥(b-2a).所以b·(b-2a)=6一2a·b=0②，联立①②求解得1b=√2，a·b=1, 所以ab=i治文晋 5.A【解析】画出函数八的图象，如图所示， 43212 - 若方程(x)一m=0有4个不相同的解，则y=m和∫(x)的图象有4个不相同的交点，结合图象可知0<≤1， 6.B【解析】该圆维轴截面是等腰三角形，腰长为√6，底边长4，所以项角为纯角. 设截面为△SMN,其中S为顶点，显然，当∠MSN=90°时，戴面三角形面积最大， 此时MN=ESM=25.OM=ON=2(共中0为底面圈国心)，此时∠MON=号，所以线得的两段孤长之比为1：2. 7.B【解析】解法一：设P(x。%).I(y),设圆I与PF,PF:x轴分别相切于点M,N,T, PM-PN,FM-F T.FN-F:T. ∴.F,T+PN+NF=a十c,即FT+PF2=a十c,∴.F,T=x+c=a+c-(a-gxo),.x=exo, “学2a+20m=号×20w千k=k…尝=号×主 x。2 .a=2c,即得e=是 解表二送长PI文x轴子点D,别册=PEE==之， FF:I c 设P)w则克0由6-将2C千D克小 数学参考答案（雅礼版）一】 由品-招限-中受00，由P,D三点共线 e+1 3e 解法三取P为特味点：b右焦高上方，测P(名)e-兰会+一a小： 由6-号6，得(e一1D2c-1D=0解得e=之： 8.A【解析】因为1+2+3+4+5=15，所以n=5时，a+4:十a,十a,+a=15≤5a1,所以a≥3， 当a=5时，任意排列均满足题意，共有A=24个， 当a1=4时，只要a2≠5，其他排列均满足题意，共有3×3X2×1=18个， 当a1=3时，a只能取1或2，所有的情况如下： 排列32145，满足题意：排列31245，满足题意， 排列32154.满足题意，排列31254.满足题意， 排列32415，满足题意，排列31425，满足题意， 排列32451，不满足题意，排列31452，不满足题意， 排列32514.不满足题意，排列31524，满足题意， 排列32541，不满足题意，排列31542，不满足题意，共7个满足题意， 综上，满足题意的排列共有24十18十7=49个. 9ACD【解折】由图可知，函数八)的最小正周期T=吾=受，则w=2,A正确！ 由图象可知=苔时，函数无意义，故经-p受十km,k长乙 由0<g<,得p=晋，即f八)=4lan(2x-吾)B错误： o=-4.c正确 由()=1an(爱-吾）-0，则心)的图象关于点（登0）对称， 由图象对称变换可得画数y=川的图象关于直线x=登对称D正确。 10.ABD【解析】r= -0y-9》 ry.-nry √含x-·2,-0√含x-0·2y- 0器-需-品故Λ √V20×4×20×400 正确： ,b=c-0(y-y_=4320-20X3X0=9.d=y-hF=60-9X3=33,所以=9x+33,故 4a-0 20×4 残差平方和表示随机误差的效应，一组数据的残差平方和越小，其拟合程度越好，不一定等于O,故C错误： 由题意可知，x~N(3,2:),y~N(60,20).P(x≤5)=P(x≤μ十a). P=(y≥40)=P(y≥一a),利用对称性可知，P(x≤5)=P(y≥40)，故D正确. 11.BCD【解析】因为f(1十x)-八3-x)=x-1,把x换成x+1.则(2十x)一(2-x)=x, 移项化简可得r-x+2)-一r-2-x),即h()-4(-为偶画数，故A错误： 由A中(2+)-f(2-x)=x求导可得g(2+.x)+g2-)-1.令x=0,可得g2)=,又2x+1)是奇函数， 即(2x十1)=-f(-2x+1),求导可得g(2.x+1)=g(-2x+1).即g(x十1)-g(-x+1)=0, 令r=1.则g2)-0)=0所以g0)=g(2)=是，故B正确： 由B中f2.x+1)=-f八-2x+1)可得f八x+1)+f-x+1)=0.① 由A中f(2+x)-f(2-x)=x.② 数学参考答案（雅礼版）一2 把①中x换成x十1可得(x+2)+(一x)=0,③ 由②③可得x)+x+2)=x,所以/)=1)+2)+f3)+…+f24)=1)+3)+…+f23)+2) +/4)++/24)=(1+5+9+13+17+21+(2+6+10+14+18+2)-号×6+号×6=138，故C正境： 由B中g(2+x)+g(2-x)=1,又由g(2x+1)=g(-2x+1)可得g(x+1)=g(-x+1).即g(x)=g(2-x). 所以g(2十x)+g(x)=1, 所以令x=1可得g(1)+g(3)=1:令x=2可得g(2)+g(4)=1:…, 所以2gi)=g)+g(2)+g(3)+…+g(24)=g(1)+g(3)+g(2)+g(4)+…+g21)+g(23)+g(22)+g(24)=12. 故D正确 三，填空题 12.-3 【解析】设等比数列{a}的公比为q,别q≠1，因为a1,S,3a,成等差数列.则2S.=2a1十2：=a十3a, 即30-2：-a1=0,即a1(3对-2y-1）=0.所以3对-24-1=0.国为9≠1.解得g=-子 13.4【解析】，f(a)=c+sinx,.f(x)=e+cosx,f(0)=e°+cos0=2.又f(0)=e°+sin0=1,.曲线f(x)= c'+sinx在r=0处的初线为y-1=2(x-0),即2x一y+1=0,由圈(x一2)+y=9可知图心为(2,0)，半径为3. 国心到初线2一y叶1=0的距离为2X2+山=5,1MN=2XV3-(5了=4. 5 4=土号：-号（第-间3分第二间2分） 【解折1设AmA(一m-m.P0.可得号-票=1，手一台=1， 两式湘浅可得如2=红业，即有号·牛-号 a 即·m=号=子 因为曲线C上的点到左焦点的距离最小值为2一√3，所以c一a=2-√3， 又a2+=c2,所以a=5,b=1,c=2, 双曲线G的方程为号-了=1，双曲线G的渐远线方程为y=上号： 设∠PCM=,则CM.CN=√2XV2cos20=2cos20=2(2cos0-1), 又s==所CGN=(m-小. 故当|PC?取得最小值时，CM,G衣取得最大值， 设P(点mo小0Cr<a经o≠经， 又Ipcr=(。)'+(ama+2r=3。+aae+4ama+4 -3+3tana+tan'q+4tn@+4-4tn@+4tana+7-4(tan.a+z)+6. 所以当ana=-乞时，PC取得授小值6， 所以C府，CGN的最大值为2×（告-1）=-导 四、解答题 15.【解析】(1)选择①：.点(A,0)是函数f(x)=sin2x十3(2cosx一1)的图象的一个对称中心， (.x)=sin2r+3(2cosr-1)=in2.x+3cos2.r=2sin(2r+号)，则2sin(2A+受)=0，即sin(2A+）=0. 由0<A<受得受<2A+受<受，则2A+子-，所以A=票 …6分 数学参考答案（雅礼版）一3 选@，2容B-升由正孩充理得2如C血B_血钠A cos B cos B cos A 由B∈(0，吾)，得imB>0,剥2nCnB=nA. cos B cos A' 2sin Ccos A=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)=sin C. 因此2 sin Cos A=inC,由C∈(0，号）得sinC>0,则cosA=, 又A∈(0，受）所以A=5.…6分 选择@，sinB生S-asmC.由正孩定理得sin Csin生9=sin Ain C. 由Ce(0受)得如C0,则mB生-snA而mB生9-血号cos会： 于是cos合-2sn分os分由Ae(0,受）得cos号≠0，国此sim分-之·合-晋 所以A=受 …6分 (2)由)得A=号，inB=sin(C+晋) 则sinB 2sin(C in Cos C sin C sin C sin C tan C 0<c<径· 在锐角△ABC中， 0<要-c<受 释号<c<受mC信1+品<. 所以密是的取值范国为1》 13分 16.【解折1)运明：设切点为A,受），Bx:,）), x=2y即y=分r的导数为y=x 所以切线M的斜率为x,切线的方程为y一号=一x, 设M1-3.则有1一3-吾=x1-. 化商可得x-21+21一6=0. 网理可得后-21x十21一6=0， 所以0x是方程x2一2x十21一6=0的两根， 所以西十x2=21,=2一6， xy=2=1=w 2 所以MN⊥x抽. …7分 (2)国为w=子+)=(+)-合w=r-4什3。 所以N(1,F-1+3). ,-在=十五=， 因为k地=立·一五 2 所以直线AB的方程为y一(-1十3)=(x一1)， 即y-3=(x-1), 所以直线AB恒过定点(1,3)。 …15分 数学参考答案（雛礼版）一4 闵 17.【解析】(1)报据统计图表中的数据，结合平均数的计算方法，可得本次质栓考试中数学成皱样本的平均数为T=80 ×0.06+90×0.24+100×0.42+110×0.2+120×0.08=100. g2=s=400×0.06+100×0.24+0×0.42+100×0.2+400×0.08=100. 则X~V(100.10), 所以P(90≤X≤120)e0.95450.682=0.8186. 2 故所求人数釣为0.8186X50000=40930.…6分 (2)依题意成绩在[75,85)之间抽取3人，成绩在[115,125]之间抽取4人，故的可能取值为0,1,2,3. P=2)=智-是P=3)=答=品 故：的分布列为 0 1 2 3 P 嘉 35 器 高 故E)=0×号+1×器+2×号+3×病-号 …15分 18.【解析】在图2中，取EF中点O,BD中点M,连揍OP,OM,以O为原点，OF.OM.OP所 在直线分别为xyx轴，建立空间直角坐标系， 设AB=1.0P=,别OM-25-0F=后： B2,25-x.0.F(看0.0.P0.00.D-2.25-x,0 故ò=（-2.25--.脉-（信-2r-25.0, (1)直线BF与PD磨直Pi.B晾=0， 一骨+8=0.解得后会减清9。 .PO-20M...AE-2ED. ∴.图中点E在AD上靠近点D的三等分点处 =-号=m=号 …5分 S△ S△N (2)设平面EPF与平面BPF的央角为0. 平面PEF的法向量n=01.0).市=（后0-.亦=（后-2x-20小 P求·m=0, 设平面PBF的法向量m=(a,b,c),剥 即 B成.m=0, (后-2)a+(x-25)h=0, 取a=1,得m=(1.-》m=osma=份调- E 3 x+g+号 1 “无论点E的位夏如何变化，平面EPF与平面BPF的夹扇的余孩值为ǚ鸿源 …10分 数学参考答案（推礼版）一 (3)由题意知△ABD是边长为2的等边三角形，AE=EF=AF=2, 如图，设△PEF的外心为O,四边形BDEF外接圆的图心为O:, D 作QO⊥平面PEF,QO2⊥平面BDEF,Q=QO∩QO, 点Q即为外接球的球心，且四边形()Q)为矩形. 设d为Q到年面BDEF的距离，别d=Q0=0,O=得AE=, 3 设r为四边形BDEF的外接圆半径， 在△ABE中，BE=AB+AE-2AB·AE·cos60°=4一4A+4. 在△BDE中.2r=m2DEPr=s-以-+4 BE 3 3 设外接球半径为R.则R=r+d=过一+4-（A-号》)+0。 3 故当X=号时，外接球半径的最小值为】 15 …17分 19.【解析】(1)以a1为首项的最长递增子列是a1,as,a4,所以x1=3, 因为a2后面的项都比42小，所以=0， 以a1为首项的最长递增子列是a,a,所以x=2, 因为后面没有项，所以x=0: 因为41后面的项都北4：大，所以少=0， 以a:为首项的最长递减子列是，a或者a:,Q:,所以边=2， 因为a,后面的项都比a1大，所以为=0， 因为a后面没有项，所以业=0， 所以21x-y|=3+2+2+0=7, 即西=3y=2.2|x-y=7.… …4分 (2)对于i∈〈1,2.…，n},由于数列a1a…,an是1.2.，n的一个排列.故a,≠a+1, 若a<a:+1,则每个以a+为首项的最长递增子列都可以在前面加一个a,得到一个以a:为首项的更长的递增子列， 所以x,>x+1· 而每个以a,为首项的递减子列都不包含a+1且a,<a+:,故可将a,替换为a1,得到一个长度相同的递诚子列.所 以y,≤y41· 这意味着x一y>x1一y+1 若a,>a+1…同理有y>y·x,≤x+1,故正，一y<x1一y+1, 综上，x一y≠x+1一4，且x一y和x+1一y41不能同时为雾， 故i∈(1,2.…，n-1}.(x一y,)十(x+1一y+1)护≠0.…10分 (3)以a,为首项的递增子列的最大长度不大于以a,为首项的子列的最大长度，即x≤n一i十l, 以a,为首项的递减子列的最大长度不大于以a1为首项的子列的最大长度，即y,≤一i十1， 而0≤x,≤，0≤y,≤，所以x,一y|≤max{x,y, 所以g1x-y≤2 maxiz.≤(m-i+1)+0=a+2n-卫， 2 数学参考答案（雅礼版）一6 考虑数列a1a,…,a,(a,=i,i=1,2,3,…,n), 此时21x-y1=n+(n-1)+(n-2)+…+2+0=0+22n-D。 2 所以1x-y的最大值为m+2)n-D, 2 由(2)可知工一y和41一y+1不能同时为零，故|，一y十|+1一y+1|≥1， 当n为偶数时，设n=2k, 一方面有空1x-y=2(x-1--+一l)≥21==登： 另一方西，考虑这料一个教到a…,其中=一+1 ag=k+i,i=1,2,…,k, ∫xa-,=k-i+2,∫-1=k-i+1, 则对=1,2…k布n=-计1.=一计l 故此时名1x,一=名1-+0=21==艺： 结合以上两方面可得，当为偶数时，之1x一y的最小值为受： 当n为奇数时，设n=2m一1. 一方面有空x-y≥1x=m1一为l+。一%)≥1=m-1=”号： (a=m. 另一方面，考感这样一个数列a1…,a,其中ae=m十i,=l,2…,m-1, a2+1=m一i, =m, 为=m 则对=1,2，…，m一1有x2=m-i,,=m一计1， 人x41=m-i,y2+1=m-i, 故此时名x一=一+0=1=m一1=”会： 结合以上两方面可得，当m为奇数时，工一y的最小值为”号， 综上可得，21x-y的最大值为+2m-卫。 2 当n为偶数时，名1一的最小值为受：当n为奇数时名x-y的最小值为” 2 …17分 数学参考答案（雅礼版）一71 大联考雅礼中学 2025届高三月考试卷（五） 数 学 命题人:李斑 郝楠楠 审题人:李云皇 本试卷分第 I卷(选择题)和第 II卷(非选择题)两部分,共 8页.时量 120分钟,满分 150分. 第 I卷 一、选择题:本题共 8小题,每小题 5分,共 40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知复数 z满足:  2 i z m  (其中 i为虚数单位,m为正实数),则 z的共轭复数 z在复平面 内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.设全集  , { | 3 4}, | 2U A x x B x y x       R ,则图中阴影部分表示的集合为( ) A.  | 2x x   B.{ | 2}x x   C. | 4x x  D. | 4x x  3.已知 cos 3 1 sin      ,则 cos sin 1    的值为( ) A. 3 3 B. 3 3  C. 3 D. 3 4.已知向量  2,1 , 3  a a b ,若  2 b b a ,则 cos , a b ( ) A. 5 10  B. 10 10 C. 5 10 D. 5 5 5.已知函数      2 ln 1 , 1, 2 , 1, x x f x x x         若方程   0f x m  有 4个不相同的解,则实数m的 取值范围为( ) A.  0,1 B. 0,1 C.(0,1) D. 0,1 6.某圆锥母线长为 6 ,底面半径为 2,则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面的面积最大时, 此截面将底面圆周所分成的两段弧长之比(较短弧与较长弧之比)为( ) 2 A1:1 B.1: 2 C.1: 3 D.1: 5 7. 已知椭圆   2 2 2 2: 1 0 x yE a b a b     的左、右焦点分别为 1 2, ,F F P为椭上不与顶点重合的 任意一点, I 为 1 2PF F 的内心,O为坐标原点,记直线 ,OP OI 的斜率分别为 1 2,k k ,若 1 2 3 2 k k , 则椭圆 E的离心率为( ) A. 1 3 B. 1 2 C. 3 3 D. 2 2 8.已知 1 2 5, , ,a a a 为 1,2,3,4,5的任意一个排列.则满足:对于任意  1,2,3,4,5n ,都有 1 2 1na a a na    的排列 1 2 5, , ,a a a 有( ) A.49个 B.50个 C.31个 D.72个 二、选择题:本题共 3小题,每小题 6分,共 18分.在每小题给出的选项有多项符合题目要求,全 部选对的得 6分,部分选对的得部分分,有选得 0分. 9.已知函数      4tan 0,0f x x         的部分图象如示,则( ) A. 2  B. 3   C.函数  f x 的图象与 y轴的交点坐标为 4 30, 3        D.函数  y f x 的图象关于直线 7 12 x  对称 3 10.某机构抽样调查一批零件的尺寸 x和质量 y ,得到样本数据  ,i ix y  1,2,3, , 20i   ,并计算得该批零件尺寸和质量的平均值分别为 3和 60,方差分别为 4和 400, 且 20 1 4320i i i x y   ,则( ) (参考公式:相关系数        1 2 2 1 1 n i i i n n i i i i x x y y r x x y y            .经验回归方程  y bx a  ， 其中       1 2 1 , n i i i i n i x x y y b a y bx x x             ) A.样本数据的相关系数为 9 10 B.样本数据 y关于 x的经典解归方程为  9 33y x  C.样本数据所得经验回归直线的残差平方和为 0 D.若数据 x y、 ,均满足正态分布,则估计    5 40P x P y   11.已知函数  f x 及其导函数  f x 的定义域均为 R ,若  1 (3 ) 1f x f x x     ,且 (2 1)f x  是奇函数,令   ( )g x f x ,则下列说法正确的是( ) A.函数    1 2 2 h x x f x   是奇函数 B.   10 2 g  C.   24 1 138 i f i   D.   24 1 12 i g i   4 第 II卷 三.填空题:本题共 3小题,每小题 5分,共 15分. 12.若 na 是公比不为 1的等比数列 nS 为 na 的前 n项和,且 321 3,, aSa 成等差数列,则数列  na 的公比为_____ 13.曲线   e sinxf x x  ( e为自然对数的底数)在 0x  处的切线与圆  2 22 9x y   相交于点 ,M N ,则 MN  _____. 14.已知双曲线   2 2 1 12 2: 1 0, 0 , x yC a b F a b     为左焦点,曲线 1C 上的点到左焦点的距离最小 值为 2 3 ,点 1 2,A A 在 1C 上,且关于原点O对称, P是 1C 上一点,直线 1PA 和 2PA 满足 1 2 1 3PA PA k k  ,则双曲线 1C 的渐近线方程为 ；过点 P作圆   2 2 : 2 2C x y   的 两条切线 ,PM PN ,切点分别为 ,M N ,则 2 2C M C N   的最大值为 . 5 四、解答题:本题共 5小题,共 77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时成写出文字说明、证 明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 13分) 从①点(A,0)是函数    2sin2 3 2cos 1f x x x   的图象的一个对称中心: ②  2 sin sin cos cos c b B b A B A   ;③ sin 2 B Ccsin a C  这三个条件中选一个补充到下面的横线并作 答. 问题: 在锐角 ABC 中,内角 , ,A B C所对的边分别为 , ,a b c ,且 . (1)求 A ; (2)求 2sin sin B C 的取值范围; 注:若选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 6 16.(本小题满分 15分) 在平面直角坐标系 xOy中,M 为直线 3y x  上的动点,过点M 作抛物线 2: 2C x y 的两条 切线MA ,MB ,切点分别为 A , B , N 为 AB的中点. (1)证明:MN x 轴； (2)直线 AB是否恒过定点?若是,求出这个定点的坐标；若不是,请说明理由. 7 17.(本小题满分 15分)18.在某市举行的一次质检考试中,为了调查考试试题的有效性以及试卷 的区分度,该市教研室随机抽取了参加本次质检考试的 100名学生的数学考试成绩,并将其统计 如下表所示. 成绩 X  75,85  85,95 [95,105)  105,115  115,125 人数 Y 6 24 42 20 8 (1)已知本次质检考试中的数学成绩  2,X N   ,其中  近似为样本的平均数, 2 近似为样 本方差 2s ,若该市有 5万考生,试估计数学成绩介于 90~120分的人数；(以各组区间的中点值代 表该组的取值) (2)现按分层抽样的方法从成绩在[75,85)以及[115,125]之间的学生中随机抽取 7人,再从这 7 人中随机抽取 3人进行试卷分析,记被抽取的 3人中成绩在  75,85 之间的人数为 ,求 的分 布列以及期即  E  . 参考数据:若  2,X N   ,则   0.6827, ( 2P X P            2 ) 0.9545, 3 3 0.9973X P X              . 8 17.(本小题满分 17分) 如图,菱形 ABCD中 120ABC   ,动点 ,E F分别在边 ,AD AB上(不含端点),且存在实数 使 EF BD ,沿 EF 将 AEF 向上折起得其 PEF ,使得平面 PEF 平面 BCDEF ,如图 2 所示. (1)若 BF PD ,设三棱锥 P BCD 和四棱锥 P BDEF 的体积分别为 1 2,V V ,求 1 2 V V ; (2)当点 E的位置变化时,平面 EPF与平面 BPF的夹角的余弦值是否为定值,若是,求出该余 弦值；若不是,说明理由；若 2AB  ,求四棱锥 P BDEF 的外接球半径的最小值. 9 19(本小题满分 17分) 给定正整数 2n  ,设数列 1 2, , , na a a 是1,2, , n 的一个排列,对 i  1,2, , , in x 表示以 ia 为首项的递增子列的最大长度(数列的项数叫做数列的长度), iy 表示以 ia 为首项的递减子列的 最大长度.我们规定:当 ia 后面的项没有比 ia 大时, 0ix  ,当 ia 后面的项没有比 ia 小时, 0iy  . 例如数列: 1 2 33, 2, 1, 3n a a a    ,则 1 12, 2x y  , 2 2 3 32, 0, 0, 0.x y x y    (1)若 1 2 3 44, 1, 4, 2, 3n a a a a     ,求 1 2,x y 和 1 n i i i x y   ; (2)求证:      2 21 11,2, , 1 , 0i i i ii n x y x y        ; (3)求 1 n i i i x y   的最值.