专题12 导数与函数的极值、最值问题（5大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第二册）

专题12 导数与函数的极值、最值问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 题型一、含参数的函数单调性 3 题型二、求函数的极值与极值点 11 题型三、极值、极值点中的参数问题 15 题型四、求函数的最值 20 题型五、最值中的参数问题 23 压轴能力测评（12题） 30 一、单调性基础问题 1．函数的单调性 函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 2．已知函数的单调性问题 ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增； ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减． 二、讨论单调区间问题 类型一：不含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)； （2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)； （3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)； （4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)； （5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)； （6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)； 类型二：含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)； （2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)； （3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根； （4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)； （5）导数图像定区间； 三、函数的极值 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 求可导函数极值的一般步骤 （1）先确定函数的定义域； （2）求导数； （3）求方程的根； （4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值. 注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号. ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点. 四、函数的最值 函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者． 一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行： （1）求在内的极值（极大值或极小值）； （2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值； ②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点； ③函数的最值必在极值点或区间端点处取得. 【题型一 含参数的函数单调性】 一、解答题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，讨论的单调性． 【答案】答案见解析 【分析】求导，分和两种情况，利用导数判断的单调性. 【详解】由题意知：函数的定义域为，且， 令，解得或2， 当时，令，解得或；令，解得； 可知在区间和上单调递减，在区间上单调递增； 当时，令，解得；令，解得或； 可知在区间和上单调递增，在区间上单调递减， 综上所述： 当时，在区间和上单调递减，在区间上单调递增； 当时，在区间和上单调递增，在区间上单调递减． 2．（24-25高二下·全国·课后作业）设函数，其中．讨论的单调性． 【答案】答案见解析 【分析】求导得导数的两个零点为或，对分类讨论即可求解. 【详解】的定义域是， 若，，函数在上单调递增， 当时，， 令，解得或， 若，则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 若，则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 3．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，. (1)当时，求函数的单调区间； (2)讨论函数的单调性； 【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为 (2)答案见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间； （2）求出函数的定义域与导函数，分、、、四种情况讨论，分别求出函数的单调区间. 【详解】（1）当时定义域为， 且， 所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 即的单调递增区间为，，单调递减区间为； （2）函数的定义域为， 又， 当时，则恒成立， 令，解得；令，解得； 故在上单调递增，在上单调递减； 当时，令，解得或， ①当，即时，令，解得或；令，解得； 故在上单调递增，在上单调递减； ②当，即时，则在定义域上恒成立， 故在上单调递增； ③当，即时，令，解得或；令，解得； 故在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当，在上单调递增，在上单调递减； 当，在上单调递增； 当，在上单调递增，在上单调递减； 4．（23-24高二下·江苏南通·期末）已知函数，，， (1)设曲线在处的切线为，若与曲线相切，求； (2)设函数，讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出曲线在处的切线方程，与联立，由解得； （2）先求的定义域，求导数，对进行分类讨论，求解即可. 【详解】（1），，且， 所以曲线在处的切线为， 则，得， 因为直线与曲线相切， 所以，得（舍），或； （2）的定义域为， ， 因为，令，得或， 当时，， 所以当和时，，则函数单调递增， 当时，，则函数单调递减增， 当时，， 所以当和时，，则函数单调递增， 当时，，则函数单调递减增， 当时，，当时取等号，函数在上单调递增， 综上所述，时，的单调增区间为，， 单调减区间为， 时，的单调增区间为，没有减区间， 时，的单调增区间为，，单调减区间为. 5．（2024高二下·全国·专题练习）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求的值； (2)若，讨论函数的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析. 【分析】（1）求导，可得结果； （2），讨论，，，根据导数正负判断单调性． 【详解】（1） ． （2）由题， 由于，的解为． ①当，即时，，则在上单调递增； ②当，即时， 在区间，上，，在区间上，， 所以在，上单调递增；在上单调递减； ③当，即时，在区间，上，， 在区间上，， 所以在，上单调递增；在上单调递减． 故当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增；在上单调递减； 当时，在，上单调递增；在上单调递减． 6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数在区间上的单调性． 【答案】(1)． (2)答案见解析 【分析】（1）由导数的几何意义可得切线的斜率，结合切点坐标由点斜式得出切线方程； （2）求导，分类讨论分析导函数的符号，得函数单调性． 【详解】（1）当时，，有， ，， 又所以曲线在点处的切点坐标为，切线斜率为， 得切线方程为． （2）函数，， 因为，所以， ①当时，对任意，均有，此时在区间上单调递增； ②当时，因为，所以，所以，此时在区间上单调递增； ③当时，令，则， 因为，，所以，在区间上单调递减， 又，所以存在唯一使得，即， 当时，单调递增，当时，单调递减． 综上所述，当时，在区间内单调递增； 当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减，其中为在上的唯一零点． 7．（23-24高二下·广东中山·阶段练习）已知函数． (1)证明曲线在处的切线过原点； (2)若，讨论的单调性； 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）求导，可得，进而可得切线方程为，进而可得恒过原点； （2），分，，三种情况讨论可得的单调性. 【详解】（1）由题设得，所以， 又因为，所以切点为，斜率， 故切线方程为，即，所以恒过原点． （2）由（1）得， ①时，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减； 令，则 ②且，即时，，在上单调递增， 时，， ，则，或，得 所以在上单调递增，在上单调递增； ，则，则， 所以在上单调递减， 综上：时，在上单调递增；在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递增； 在上单调递减． 【点睛】方法点情，利用分类讨论法是求解含参数的函数的单调区间常用的方法. 8．（23-24高二下·广东江门·期中）已知函数． (1)若，求函数的零点; (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1)唯一的零点1 (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数得函数在单调递增，又，得解； （2）先求，令，分类讨论函数的正负性，从而可得函数的单调性. 【详解】（1）若，， 则，   所以函数在单调递增，   又，故有唯一的零点1. （2）因为， 令， ①当时，，在上，，所以单调递增． ②当时， 当时，， 在上恒成立，所以单调递增．   当或时，，令， 得， 当时，注意到， 所以当时，，所以单调递增； 当时，，所以单调递减．   当时， 注意到， 所以当或时，，所以单调递增； 当时，，所以单调递减．    综上可得：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减 【题型二 求函数的极值与极值点】 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）函数的极值点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先求导函数，再数形结合得出导函数有两个零点，左右正负有变化即可得出极值点个数. 【详解】由题意得，令，得，令，在同一坐标系内作出两函数的图象，如图所示， 由图象可知，函数与的图象有两个交点，则方程有两个不同的根，故有两个不同的根，且两个根左右的单调性不同. 由极值点的定义可知，函数有两个极值点. 故选：C. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A．有极大值，无极小值 B．无极大值，有极小值 C．既有极大值，也有极小值 D．既无极大值，也无极小值 【答案】C 【分析】求出函数的定义域与导函数，即可得到函数的单调性，从而求出函数的极值点，即可判断. 【详解】定义域为，且， 由可得：，所以在单调递增； 由可得：，所以在单调递减． 所以有极大值，有极小值． 故选：C 3．（23-24高二下·江西新余·期末）若函数，则的极大值点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先分析函数的对称轴，再求导结合极大值点的定义求解即可. 【详解】由题意，， 故关于对称. 考虑在上，，则. 令， 当时，则为减函数， 设的零点为，则当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 又，故当时，，即，单调递增. 当时，，，故，单调递减. 故在上，有唯一极大值点，又关于对称，故在上，有唯一极大值点，综上的极大值点有和. 故选：B 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知是函数的极值点，表示超过的最小整数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】求出，构造函数，利用单调性与零点存在性定理得到极值点所在区间为，进而得，代入函数可得. 【详解】，的定义域为， 则， 令，则在区间内单调递增， 又， 所以存在唯一使， 当时，，即在单调递减； 当时，，即在单调递增． 所以是函数的极小值点， 由及题意得， 所以． 故选：A. 5．（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知函数，，则函数的极大值之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求，由导数判断单调性，即可得极大值点，再由等比数列求和公式即可得极大值之和. 【详解】由， 可得， 令即，可得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，取得极大值， 因为，所以，可得， 所以函数的极大值之和为 . 故选：D 6．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知函数的定义域为，则（    ） A．在的切线方程为 B．在上单调递增 C．恰有2个极值点 D．有且仅有2个极大值点 【答案】D 【分析】A选项，求导，利用导数的几何意义求出切线方程；B选项，求导，得到恒成立，得到的单调性；CD选项，令得到，画出两函数图象，数形结合得到函数的极值点情况，得到答案. 【详解】A选项，， 故，所以在的切线方程为，A错误； B选项，当时，恒成立，故在上单调递减，B错误； CD选项，显然， 当时，令，则，所以， 分别作出和在的图象， 由图可知，这两个函数的图象在区间上共有4个公共点， 且图象在这些公共点处都不相切， 其中当时，，， 当时，，， 当时，，， 故为极小值点，为极大值点，同理可得为极小值点，为极大值点， 故在区间上的极值点的个数为4，有2个极大值点，C错误，D正确． 故选：D 【点睛】方法点睛：极值点个数的判断问题，一般转化为方程根的个数，求导后若可以化为二次函数，可以利用根的判别式及韦达定理求解，若不是二次函数，则研究函数的单调性或导函数的性质，借助函数图象研究. 【题型三 极值、极值点中的参数问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）设函数，若的极小值为，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】先利用导数求出函数的单调区间，进而可求出函数的极值，即可得解. 【详解】由已知得， 当或时，，当时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，即，得. 故选：B. 2．（24-25高二下·全国·随堂练习）函数在处有极小值，则的值等于（    ） A．0 B．6 C．3 D．2 【答案】A 【分析】对求导，得到，由题知，解得，即可求解. 【详解】因为，所以， 由题知，解得， 此时， 由，得到或，由，得到， 所以的增区间为，，减区间为， 故满足题意，所以， 故选：A. 3．（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数的两个极值点分别为和2，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】B 【分析】求导得，由题得和2是的零点，即和2是的两个实数根，由韦达定理可得，从而可计算. 【详解】由， 可知， 函数的两个极值点分别为和， 和2是的零点， 故和2是的两个实数根， ，， ． . 故选：B． 4．（23-24高二下·四川眉山·期末）已知函数，有大于的极值点，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，构建，分析可知与在有交点，对求导，利用导数分析其单调性和值域，即可得结果. 【详解】因为的定义域为，且， 令，可得， 构建， 由题意可知：与在有交点， 则对任意内恒成立， 可知在内单调递增，则， 可得，即， 所以a的取值范围为. 故选：D. 5．（24-25高二上·全国·课后作业）若函数有两个极值点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，得到有两个变号的零点，二次求导，分和两种情况，得到单调性，得到，结合函数图象走势，得到，求出答案. 【详解】，因为有两个极值点，所以有两个变号的零点， 令，则， 当时，单调递增，至多有一个零点，不符合题意； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以， 又时，时，，所以要使有两个变号零点， 只需，即0，即． 故选：A 6．（23-24高二下·吉林通化·期末）已知函数在上无极值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，则，故， 因为函数在上无极值， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 当时，， 设，则， 当时，得，当时，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 从而，故， 当时，，则． 综上，． 故选：． 7．（23-24高二下·山东济南·期末）函数有两个极值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得有两个不等的正根，即有两个不等的正根，设，利用导数求出的单调区间，画出大致图象，结合图象求解即可. 【详解】由，得， 因为有两个极值点， 所以有两个不等的正根， 即有两个不等的正根， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以， 当时，，当时，， 所以的大致图象如图所示，    由图可知当时，与的图象有两个不同的交点， 所以当时，有两个极值点. 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合问题，考查利用导数解决极值点问题，考查利用导数求函数的单调区间，解题的关键是将问题转化为有两个不等的正根，然后构造函数，利用函数图象求解，考查数形结合的思想，属于较难题. 8．（23-24高二下·湖北武汉·期末）已知函数，则“有两个极值”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知有两个不等的实数解，转化为方程有两个实根，再次转化为的图象与有两个不同的交点，然后利用导数的单调区间，画出的图象，结合图象求解即可. 【详解】的定义域为，则， 因为有两个极值，所以有两个不等的实数解， 由，得， 令，， 则， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 因为，， 所以当时，，当时，， 所以的图象如图所示，    由图可知当时，的图象与的图象有两个不同的交点，即有两个极值， 因为是的真子集， 所以“有两个极值”的一个必要不充分条件是， 故选：A 【点睛】关键点点睛：此题考查函数的极值，考查导数的应用，解题的关键是将问题转化为两函数图象有两个交点，考查数形结合的思想，属于较难题. 【题型四 求函数的最值】 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A．有最大值，无最小值 B．无最大值，有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既无最大值，也无最小值 【答案】B 【分析】根据题意对函数求导得到，然后利用导数分析讨论最大值和最小值. 【详解】函数的定义域为，由题得， 当时，单调递增； 当时，单调递减． 又当时，与二次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，从而； 当时，．所以函数无最大值，有最小值，故B正确. 故选：B. 2．（24-25高二下·全国·课后作业）“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】化简不等式，得到，后根据逻辑知识概念判定即可. 【详解】等价于. 令， 令可得，， 则. 当时，，单调递减， 当时，，单调递增. 当，， 则或时，，即. 则“”是“”的充分不必要条件 故选：A. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）函数在区间的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得得，求导得，再结合导数求出函数的单调区间从而求出值域，即可求解. 【详解】由题得， 则， 当时，； 当时，， 所以在区间上单调递增，在区间和上单调递减， 又，， 所以函数在区间的值域为，故D正确. 故选：D. 4．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数6，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数解析式判断其单调性，从而不妨设，可得，由此可求得，构造函数，利用导数即可求得最值. 【详解】因为，可知函数在上单调递减，在上单调递增， 不妨设，则， 可得，则， 令，则， 令，则，令，则， 故在上单调递增，在上单调递减， 故， 故选：D 5．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）已知某正三棱柱的外接球的表面积为，则该正三棱柱的体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据球的表面积公式可得，即可根据正三棱柱的性质以及勾股定理求得高，利用体积公式可得，构造函数，求导即可求解最值. 【详解】设外接球的半径为，则，解得. 设正三棱柱的底面三角形的边长为，则该三角形的外接圆的半径为， 故三棱柱的高为， 所以该正三棱柱的体积， 由，解得， 令，则， ∴函数在上单调递增，在单调递减， 所以函数在时取得最大值，因为， 所以该正三棱柱的体积的最大值为. 故选：C 6．（23-24高二下·福建漳州·阶段练习）已知实数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简变形后可设，知其在上单调递增，若，则，对求导可得到极值点也是最值点，故可得结果. 【详解】由已知有，即，即， 因为，令，，易知在上单调递增， 因，所以，故，即. 所以，令，可得， 又因在上小于零，故y在单调递减， 在上大于零，故y在单调递增， 故当时，y取极小值也是最小值为e. 故选：A 【题型五 最值中的参数问题】 一、单选题 1．（23-24高二下·河南·期末）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，转化为在区间恒成立，设，利用导数求得的单调性，结合，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为函数在区间上单调递减， 可得在恒成立，即恒成立， 设，则，所以， 所以在单调递减，所以. 故选：B． 2．（23-24高二上·江苏徐州·期末）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知将问题转化为在上恒成立，利用导函数求出函数的最小值即可得实数a的取值范围. 【详解】由可得， 依题意可得在上恒成立，即在上恒成立， 令，则， 显然当时，，此时在上单调递减； 当时，，此时在上单调递增； 所以在时取得最小值，即； 因此只需满足即可， 即实数a的取值范围是. 故选：B 3．（24-25高二上·全国·课后作业）若函数的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数研究函数的单调性，极值与最值结合隐零点计算即可. 【详解】易知的定义域为， 不难发现在区间内单调递增， 又当时，；当时，， 所以存在唯一使得，即， 所以当时，；当时，． 所以在区间上单调递减，在区间内单调递增， 所以的最小值为， 所以，所以，解得. 故选：B 4．（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）已知函数，若，，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，然后对导函数再次求导，通过讨论单调性以及零点来求使不等式恒成立的实数a的取值范围. 【详解】由已知，则， 令，则， 当时，，即在上单调递增， 所以， 当时，，在上单调递增， 所以，即， 当时，，当时， 所以存在使得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，不合题意， 所以则实数a的取值范围是. 故选：B. 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，易知在区间上单调递增，由在区间上有最小值，可得，即可求解. 【详解】由题意得， 易知在区间上单调递增， 若在区间上有最小值， 则，即，解得. 这时存在，使得在上单调递减，在上单调递增， 即函数在上有极小值，也是最小值， 所以的取值范围是. 故选：A. 6．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数在内有最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值点，从而得到关于的不等式组，解得即可. 【详解】函数的定义域为， ， 令可得或（舍）， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，即最小值， 又因为函数在内有最小值，故，解得， 所以的取值范围是. 故选：B 7．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）若函数的导数的最小值为0，则函数的零点为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】由，确定，由的最小值为0，得出的解析式，进一步求出函数的零点. 【详解】因为函数的导数，所以，c为常数， 设，则恒成立，在R上单调递增， 又，所以当时，即，所以在单调递减， 当时，即，所以在单调递增， 所以在处取得最小值，即，故， 所以，故， 令，解得，函数的零点为. 故选：B. 8．（24-25高二上·全国·期末）已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且关于原点对称，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原题等价于函数的图象与函数的图象有交点，即方程有解，即有解，令，利用导数法求出函数的值域，即可求得答案 【详解】函数的图象与函数的图象关于原点对称， 若函数的图象上存在点， 函数的图象上存在点，且关于原点对称， 则函数的图象与函数的图象有交点， 即方程有解，即有解， 令，则，当时，， 当时，，故当时，取最小值3， 由，，故当时，取最大值，故， 故选：A． 9．（23-24高二下·浙江·阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】假设切点坐标，根据导数几何意义可求得切线方程，代入，将问题转化为与有两个不同交点，利用导数可求得单调性和最值，由此可得结果. 【详解】设切点坐标为， ，切线斜率，在点处的切线方程为：； 切线过点，， 过点可以作曲线的两条切线， 令，则与有两个不同交点， ， 当时，，在上单调递增，不合题意； 当时，若，则；若，则； 在上单调递减，在上单调递增， ，，即， 又，. 故选：C. 10．（24-25高二上·四川眉山·期中）设函数，若函数存在两个极值点，且不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求导，然后根据导函数和极值点的关系求出及的范围，然后代入，构造函数求最值即可． 【详解】函数定义域为，， 又函数存在两个极值点， 所以方程在上有两个不相等的正实数根， 则，解得， 又 设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增加， 因为不等式恒成立， 即恒成立， 所以． 故选：A． 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）函数，则（    ） A．的极小值点为 B．的极大值点为0 C．的极小值点为0 D．的极大值点为 【答案】D 【分析】首先利用导数求出函数的单调区间，再结合极值的概念即可得答案. 【详解】， 由得，， 令，则， 当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以是的极大值点，无极小值点． 故选：D. 2．（23-24高二下·吉林通化·期末）已知函数在上无极值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，则，故， 因为函数在上无极值， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 当时，， 设，则， 当时，得，当时，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 从而，故， 当时，，则． 综上，． 故选：． 3．（23-24高二下·河南漯河·阶段练习）在半径为的球中作一个圆柱，当圆柱的体积最大时，圆柱的底面圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据球的轴截面，结合勾股定理可得，，进而结合圆柱的体积公式可得，进而结合导数求解即可. 【详解】如图所示为轴截面，球的半径为， 设球心为，圆柱的高为，底面圆的半径为， 则，即，， 则圆柱的体积为， 则，令，得； 令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值，此时. 故选：C. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）若存在正实数x，使得不等式成立（e是自然对数的底数），则实数a的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同构法将题给不等式转化为，再构造函数，并利用导数求得其最大值，进而求得的最大值． 【详解】当时，． 设，则对恒成立， 则在上单调递增， 则． 设，则． 当时，； 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则当时，取得最大值，故，因此实数a的最大值为． 故选：C． 5．（23-24高二下·四川眉山·期末）已知函数，有大于的极值点，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，构建，分析可知与在有交点，对求导，利用导数分析其单调性和值域，即可得结果. 【详解】因为的定义域为，且， 令，可得， 构建， 由题意可知：与在有交点， 则对任意内恒成立， 可知在内单调递增，则， 可得，即， 所以a的取值范围为. 故选：D. 6．（2024高二上·全国·专题练习）若函数和的图象上恰好有两对关于x轴对称的点，则函数和为“对偶函数”．已知，是“对偶函数”，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得有两个不等的实数根，从而可得有两个不相等的实数解，利用导数与单调性、极值的关系即可求解. 【详解】因为，是“对偶函数”， 所以函数与的图象上恰好有两对关于x轴对称的点， 所以，即有两个不相等的实数解， 则有两个不相等的实数解． 令，则， 所以当时，,当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，且，． 又，所以，a的取值范围为, 故选：A. 7．（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知函数（）有三个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知与有三个不同交点，对求导，利用导数分析其单调性和极值，结合图象即可得结果. 【详解】令，可得， 构建， 若函数有三个不同零点，即与有三个不同交点， 因为， 令，解得；令，解得或； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，极大值， 且当趋近于，趋近于；当趋近于，趋近于0， 可得图象，如图所示：    由函数图象可得. 故选：A. 8．（23-24高二上·云南昆明·期末）有两个零点，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，，分和两中情况讨论，分析函数的单调性和最值，根据题意可知函数的最小值小于零即可，解不等式即可求出结果. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 当，即时，，所以函数在上单调递减， 所以函数至多有1个零点，不合题意； 当，即时，令，得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以 因为函数有两个零点， 所以， 即， 令，则，得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以且， 所以且，解得且. 所以的取值范围为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用导数求得，再进行整体同构得，再设新函数即可求出范围. 9．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得函数的定义域为，分，和，三种情况讨论，利用导数求得函数的单调性与最值，进而得到实数的取值范围. 【详解】由函数，可得其定义域为， ①当时，，显然不成立； ②当时，， 由于，则，令，则， 令，则，所以，所以； ③当时，当时，，由，可得， 令，则， 令，则，当，即时，，所以； 当，即时，， 所以，解得，与矛盾； 当时，，可得， 所以单调递减，所以， 所以，即，所以． 综合①②③可知，的取值范围是． 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 二、多选题 10．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数的极大值点和极小值点分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由题可得是方程的两根，再结合二次函数的性质即可得解. 【详解】， 由题可得是方程的两根， 又， 则由二次函数的性质可知且，， 即，所以，A错误，B，C正确； 无法判断与1的大小关系，D错误． 故选：BC. 11．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．有两个极值点 C．的最大值为 D．在上有且仅有一个零点 【答案】AD 【分析】求导，构造函数，利用导数确定其单调性，进而结合零点存在性定理可得在上单调递增，在上单调递减，即可判断AB，根据即可判断C，根据的单调性，结合即可判定D. 【详解】由题得，，令，即， 令，，则， 令，则，则在上单调递增，在上单调递减， 又时，，，， 故在区间内存在唯一，使，此时， 故在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以在上单调递减，A正确； 因为在内单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，故只有一个极值点，B错误； 因为，，故的最大值为，C错误； 因为，又在上单调递增，在上单调递减， 又，故在上有且仅有一个零点，且零点为1，D正确． 故选：AD 【点睛】方法点睛：利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性，在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键. 12．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，则（    ） A．当时，在上单调递增 B．当时，在上没有零点 C．当时，无极值点 D．当时，恒成立 【答案】AD 【分析】当时，求导确定的符号，则可判断在上的单调性，即可判断A；当时，判断函数的单调性，求得结合零点存在定理即可判断B；当时，求导得单调性从而可得极值点，即可判断C；结合C项结论，求函数最值从而验证不等式是否恒成立，即可判断D. 【详解】由题得函数的定义域为， 对于A：当时，，则在上单调递增，A正确； 对于B：当时，，由A项可知在上单调递增， 又，，， 由零点存在定理得在上有一个零点，B错误； 对于C：因为， 当时，令，解得， 则当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以是函数的极大值点，C错误； 对于D：由C项可得，在单调递增，在单调递减， 所以，故恒成立，D正确． 另解当时，，要证明，只需证明， 令，，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 故，，即恒成立，D正确． 故选：AD. 三、填空题 13．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数在处取得极小值，则 ． 【答案】 【分析】对求导，根据题意建立方程组，即可求出结果. 【详解】因为，所以， 由题有，解得， 此时， 当或时，，当时，， 所以时函数的极小值点， 故满足题意，所以， 故答案为：. 14．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数在区间上单调递减.则实数a的最大值为 ． 【答案】 【分析】转化为导数恒成立，然后参变分离，利用导数求函数的值域即可得解. 【详解】由，得， 因为函数在区间上单调递减， 所以，即在区间上恒成立， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，所以，所以的最大值为. 故答案为：. 15．（2024高二上·全国·专题练习）已知方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用函数图象与方程的根的关系，将方程有三个不同的实数根转化为函数与的图象有三个不同的交点，利用导数与单调性的关系讨论的单调性和极值，数形结合即可求解. 【详解】方程有三个不同的实数根， 即函数与的图象有三个不同的交点． 令，则． 由，得或， 所以当或时，， 当时，， 所以函数在，上单调递减，在上单调递增， 所以函数的极小值为，极大值为， 且当时，；当时，；当时，， 如图，作出函数的大致图象，由图可知， 当时，函数与的图象有三个不同的交点，即方程有三个不同的实数根． 故答案为：. 16．（24-25高二上·全国·课后作业）若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】求导，由在区间上有零点，且在零点两侧导数值异号.列出不等式求解即可. 【详解】因为函数在区间上有极值点，所以在区间上有零点，且在零点两侧导数值异号. ①当在区间上只有一个符合题意的零点时， 或或 解得. ②当在区间上有两个不同的零点时， 解得. 综上，实数的取值范围是. 17．（2024高二下·全国·专题练习）已知函数（其中为自然对数的底数）存在极大值，且极大值不小于1，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先利用导数求极大值，再利用极大值不小于1列不等式组即可求解. 【详解】由已知可得，函数的定义域为． ①当时，在内恒成立， 所以在内单调递增，此时函数无极值． ②当时，，由可得． 当时，，所以在内单调递增； 当时，，所以在内单调递减， 于是函数在处取得极大值． 由已知，，即，， 因为函数在内单调递增，所以，即，又， 所以，于是的取值范围为． 综上所述，的取值范围为． 故答案为：． 18．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）若函数在区间无零点但有2个极值点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意在区间无解，在区间有2两个不同解，然后参变分离，转换成图像交点问题即可. 【详解】由题意在区间无解， 即在区间无解，设，则， 所以当时，，在单调递减， 当当时，，在单调递增， 所以，显然当趋于无穷大时，趋于无穷大，所以； 又函数在区间有2个极值点， 所以在区间有2两个不同解， 即在区间有2两个不同解， 设，则， 所以当时，，在单调递减， 当当时，，在单调递增， 所以，显然当趋于无穷大和0时，都趋于无穷大， 所以，所以，所以实数的取值范围是. 故选：B. 【点晴】方法点睛：对于方程有解问题，常常参变分离，通过构造函数，求得函数的最值，从而求得参数的变化范围. 19．（24-25高二上·江西·期中）已知函数，若存在实数，，且，使得，则的最大值为 . 【答案】 【分析】先由题设数形结合得和，再构造函数，利用导数求出其最大值即可得解. 【详解】由题，当时，；当时，； 故作出的图象如图所示： 因为存在实数，，且，使得， 所以直线与图象有三个交点， 所以，且，， 所以， 设，则恒成立， 所以函数在单调递增，所以函数， 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是数形结合得到和，从而将问题转化成求函数的最大值，简化了问题的难度. 四、解答题 20．（23-24高二下·广东·阶段练习）已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)求的单调区间； 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解； （2）求导可得，分类讨论当、时函数的单调性，进而求解. 【详解】（1）由得， 则，所以， 故函数在处的切线方程为：， 即. （2），则， 若，则恒成立，即在上单调递增； 若，则， 所以时，时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 所以函数单调减区间为，单调递增区间为. 综上，当时，单调增区间为，无单调减区间； 当时，单调减区间为，单调递增区间为. 21．（23-24高二下·全国·课后作业）已知函数 讨论的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】求出函数的导数，再分类讨论求出函数的单调区间即得. 【详解】函数，求导得， 当时，，，单调递减，，，单调递增； 当时，当或时，，单调递增，当时，，单调递减， 当时，，函数在R上单调递增； 当时，当或时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以当时，函数的递减区间为，递增区间为； 当时，函数的递增区间为，，递减区间为； 当时，函数的递增区间为； 当时，函数的递增区间为，，递减区间为. 22．（2024高二·上海·专题练习）已知函数． (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； 【答案】(1). (2)答案见解析 【分析】（1）依据题意求出切点，再利用导数的几何意义求出斜率，再得出切线方程即可. （2）利用导数含参讨论单调性即可. 【详解】（1）当时， ，所以. 得，点处的切线斜率为， 所以函数的图像在点处的切线方程为：. （2）由得， 当时，恒成立，则在R上单调递减； 当时，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增. 综上所述， 当时， 在R上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 23．（23-24高二下·安徽芜湖·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）只需分别求出即可得解； （2）求导得，根据导数与单调性的关系对进行分类讨论即可得解. 【详解】（1）当时，，， ，， 故曲线在点处的切线方程为． （2），其定义域为， 则． ①当，即时，令，得，令，得， 故的单调递减区间为，单调递增区间为． ②当，即时，由，得，． （ⅰ）当，即时， 令，可得或；令，可得， 故的单调递增区间为和，单调递减区间为． （ⅱ）当，即时，， 故的单调递增区间为，无单调递减区间． （ⅲ）当，即时， 令，可得或；令，可得， 故的单调递增区间为和，单调递减区间为． 综上，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． 24．（23-24高二下·河南郑州·期中）（1）已知函数，若在区间上存在减区间，求a的取值范围； （2）已知函数，讨论函数的单调性． 【答案】（1） ；（2）答案见解析 ． 【分析】（1）函数在区间上存在减区间，则在上存在有解区间，进而可得出答案； （2）求导，再根据分类讨论，由导函数的符号即可求出函数的单调区间. 【详解】（1），若函数在区间上存在减区间， 则在上存在有解区间， 即，使得成立， 记，，， 易得，故， 解得，则a的取值范围为； （2）解：因为， ，， 当时，令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，令，得或，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，得或，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增 综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 25．（2024·山东青岛·一模）已知函数． (1)若，曲线在点处的切线斜率为1，求该切线的方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求导，根据可得，即可利用点斜式求解， （2）求导，结合分类讨论求解导函数的正负，结合二次方程根的情况，即可求解. 【详解】（1）当时，，解得 又因为，所以切线方程为：，即 （2）的定义域为， 当时，得恒成立，在单调递增 当时，令， （i）当即时， 恒成立，在单调递增 （ii）当即时， 由得，或， 由得， 所以在，单调递增， 在单调递减 综上：当时，在单调递增； 当时，在，单调递增； 在单调递减 26．（23-24高二下·山西长治·阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，. 【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. (2)证明见解析 【分析】（1）求导，分类讨论导函数的正负即可求解单调性， （2）由（1）可得，即可将问题转化为，构造函数，求导确定函数单调性，即可利用最值求解. 【详解】（1）的定义域为， 当时，在上恒成立，所以在上单调递减， 当时，令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）证明：由（1）知，当时，. 要证明成立，只要证明， 即证. 令，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 故当时，. 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 导数与函数的极值、最值问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 题型一、含参数的函数单调性 3 题型二、求函数的极值与极值点 4 题型三、极值、极值点中的参数问题 5 题型四、求函数的最值 6 题型五、最值中的参数问题 6 压轴能力测评（12题） 8 一、单调性基础问题 1．函数的单调性 函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 2．已知函数的单调性问题 ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增； ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减． 二、讨论单调区间问题 类型一：不含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)； （2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)； （3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)； （4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)； （5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)； （6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)； 类型二：含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)； （2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)； （3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根； （4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)； （5）导数图像定区间； 三、函数的极值 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 求可导函数极值的一般步骤 （1）先确定函数的定义域； （2）求导数； （3）求方程的根； （4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值. 注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号. ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点. 四、函数的最值 函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者． 一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行： （1）求在内的极值（极大值或极小值）； （2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值； ②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点； ③函数的最值必在极值点或区间端点处取得. 【题型一 含参数的函数单调性】 一、解答题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，讨论的单调性． 2．（24-25高二下·全国·课后作业）设函数，其中．讨论的单调性． 3．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，. (1)当时，求函数的单调区间； (2)讨论函数的单调性； 4．（23-24高二下·江苏南通·期末）已知函数，，， (1)设曲线在处的切线为，若与曲线相切，求； (2)设函数，讨论的单调性． 5．（2024高二下·全国·专题练习）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求的值； (2)若，讨论函数的单调性； 6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数在区间上的单调性． 7．（23-24高二下·广东中山·阶段练习）已知函数． (1)证明曲线在处的切线过原点； (2)若，讨论的单调性； 8．（23-24高二下·广东江门·期中）已知函数． (1)若，求函数的零点; (2)讨论函数的单调性. 【题型二 求函数的极值与极值点】 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）函数的极值点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A．有极大值，无极小值 B．无极大值，有极小值 C．既有极大值，也有极小值 D．既无极大值，也无极小值 3．（23-24高二下·江西新余·期末）若函数，则的极大值点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知是函数的极值点，表示超过的最小整数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知函数，，则函数的极大值之和为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知函数的定义域为，则（    ） A．在的切线方程为 B．在上单调递增 C．恰有2个极值点 D．有且仅有2个极大值点 【题型三 极值、极值点中的参数问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）设函数，若的极小值为，则（    ） A． B． C． D．2 2．（24-25高二下·全国·随堂练习）函数在处有极小值，则的值等于（    ） A．0 B．6 C．3 D．2 3．（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数的两个极值点分别为和2，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 4．（23-24高二下·四川眉山·期末）已知函数，有大于的极值点，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）若函数有两个极值点，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·吉林通化·期末）已知函数在上无极值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·山东济南·期末）函数有两个极值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·湖北武汉·期末）已知函数，则“有两个极值”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【题型四 求函数的最值】 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A．有最大值，无最小值 B．无最大值，有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既无最大值，也无最小值 2．（24-25高二下·全国·课后作业）“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．（24-25高二上·全国·课后作业）函数在区间的值域为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数6，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）已知某正三棱柱的外接球的表面积为，则该正三棱柱的体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·福建漳州·阶段练习）已知实数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型五 最值中的参数问题】 一、单选题 1．（23-24高二下·河南·期末）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江苏徐州·期末）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）若函数的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）已知函数，若，，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数在内有最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）若函数的导数的最小值为0，则函数的零点为（    ） A．0 B． C． D． 8．（24-25高二上·全国·期末）已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且关于原点对称，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（23-24高二下·浙江·阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·四川眉山·期中）设函数，若函数存在两个极值点，且不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）函数，则（    ） A．的极小值点为 B．的极大值点为0 C．的极小值点为0 D．的极大值点为 2．（23-24高二下·吉林通化·期末）已知函数在上无极值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·河南漯河·阶段练习）在半径为的球中作一个圆柱，当圆柱的体积最大时，圆柱的底面圆的半径为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）若存在正实数x，使得不等式成立（e是自然对数的底数），则实数a的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·四川眉山·期末）已知函数，有大于的极值点，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2024高二上·全国·专题练习）若函数和的图象上恰好有两对关于x轴对称的点，则函数和为“对偶函数”．已知，是“对偶函数”，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知函数（）有三个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·云南昆明·期末）有两个零点，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数的极大值点和极小值点分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 11．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．有两个极值点 C．的最大值为 D．在上有且仅有一个零点 12．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，则（    ） A．当时，在上单调递增 B．当时，在上没有零点 C．当时，无极值点 D．当时，恒成立 三、填空题 13．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数在处取得极小值，则 ． 14．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数在区间上单调递减.则实数a的最大值为 ． 15．（2024高二上·全国·专题练习）已知方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是 ． 16．（24-25高二上·全国·课后作业）若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是 . 17．（2024高二下·全国·专题练习）已知函数（其中为自然对数的底数）存在极大值，且极大值不小于1，则的取值范围为 ． 18．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）若函数在区间无零点但有2个极值点，则实数的取值范围是 ． 19．（24-25高二上·江西·期中）已知函数，若存在实数，，且，使得，则的最大值为 . 四、解答题 20．（23-24高二下·广东·阶段练习）已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)求的单调区间； 21．（23-24高二下·全国·课后作业）已知函数 讨论的单调性. 22．（2024高二·上海·专题练习）已知函数． (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； 23．（23-24高二下·安徽芜湖·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间． 24．（23-24高二下·河南郑州·期中）（1）已知函数，若在区间上存在减区间，求a的取值范围； （2）已知函数，讨论函数的单调性． 25．（2024·山东青岛·一模）已知函数． (1)若，曲线在点处的切线斜率为1，求该切线的方程； (2)讨论的单调性． 26．（23-24高二下·山西长治·阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$