专题13 导数中的恒成立和有解问题（2大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第二册）

专题13 导数中的恒成立和有解问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、恒成立问题 2 题型二、有解问题 4 压轴能力测评（12题） 6 一、恒成立和有解问题思路一览 设函数的值域为或，或或中之一种，则 ①若恒成立（即无解），则； ②若恒成立（即无解），则； ③若有解（即存在使得成立），则； ④若有解（即存在使得成立），则； ⑤若有解（即无解），则； ⑥若无解（即有解），则． 【说明】（1）一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法． （2）取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！（即端点值的取舍） 二、分离参数的方法 ①常规法分离参数：如； ②倒数法分离参数：如； 【当的值有可能取到，而的值一定不为0时，可用倒数法分离参数．】 ③讨论法分离参数：如: ④整体法分离参数：如； ⑤不完全分离参数法：如； ⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数． 【注意】 （1）分离参数后，问题容易解决，就用分离参数法（大多数题可以使用此方法）． 但如果难以分离参数或分离参数后，问题反而变得更复杂，则不分离参数，此时就用含参转化法． （2）恒成立命题对自变量的范围有时有一部分或端点是必然成立的，应该考虑先去掉这一部分或端点，再分离参数求解．【否则往往分离不了参数或以至于答案出问题．】 三、其他恒成立类型一 ①在上是增函数，则恒成立．(等号不能漏掉)． ②在 上是减函数，则恒成立．(等号不能漏掉)． ③在上是单调函数，则分上述两种情形讨论；(常用方法) 四、其他恒成立类型二 ①，使得方程成立． ②，使得方程成． 五、其他恒成立类型三 ①，； ②，； ③，； ④，． 【题型一 恒成立问题】 一、单选题 1．（23-24高二下·广西钦州·期末）已知函数，，是的导函数，且，则a的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·北京西城·期末）如果在区间上是单调函数，那么实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知函数若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·吉林通化·期末）已知函数在上无极值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·青海西宁·期中）已知函数，，若对任意两个不相等正数，，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2024高二·全国·专题练习）已知偶函数在区间单调递减，当时，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2024高二上·全国·专题练习）已知关于x的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二下·重庆·期末）若对任意的恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·上海·期中），均有成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二下·江西抚州·期末）已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二下·河南·期中）已知函数，若当时，恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B．1 C． D． 13．（23-24高二下·江西萍乡·期中）对于任意实数，不等式恒成立，则集合的一个子集为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知函数，若，则实数的最大值为（     ） A．1 B． C． D． 15．（23-24高二下·湖北·期中）已知函数对定义域内任意，都有 ，则正实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型二 有解问题】 一、单选题 1．（23-24高二下·广东广州·阶段练习）已知函数，若存在，使得成立，则实数m的最小值是（    ） A． B． C． D．4 2．（2024高二·全国·专题练习）函数，若存在，使有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数a的范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）已知，，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·广东·期末）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知，设函数，若存在，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·福建漳州·期末）若关于的不等式有唯一的整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·浙江宁波·期末）若存在正实数，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二下·新疆·期中）已知，存在唯一的整数，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·福建泉州·期中）已知函数，若不等式的解集中有且仅有一个整数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·福建福州·期末）已知关于的不等式解集中恰有3个不同的正整数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二下·湖北武汉·期末）设函数，若存在实数，使得，则的最小值为（    ） A． B．2 C．1 D． 一、单选题 1．（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）当时，恒成立，则整数的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·甘肃·阶段练习）已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）设函数，若对于都有成立，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（23-24高二下·四川凉山·期末）若在上有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）若对任意的，且，都有，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·浙江杭州·阶段练习）若关于的不等式的解集中恰有个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·河南平顶山·阶段练习）不等式对于任意的，恒成立，则a的最大值为（    ） A． B．1 C．e D． 9．（23-24高二下·浙江·期中）已知，，关于的不等式无实数解，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·贵州铜仁·期末）已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（23-24高二下·山东菏泽·期中）设函数．能说明“对于任意的，都有成立”为真命题的一个实数a的值可以是 ． 12．（2024高二上·全国·专题练习）已知，，若存在，，使得成立，则实数a的取值范围是 . 13．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数，（，是自然对数的底）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是 . 14．（23-24高二下·吉林长春·期末）若存在，使成立，则的取值范围是 ． 15．（23-24高二下·江苏常州·期中）若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是 ． 16．（24-25高二上·全国·课后作业）若，则 ． 17．（24-25高二上·江西宜春·阶段练习）对于函数和，及区间D，b使得对任意恒成立，则称在区间D上优于，若在区间上优于，则实数a的取值范围是 ． 18．（23-24高二下·江苏扬州·期中）已知，则在点处切线方程为 ；若，其中，且对于一切都有，则的最小值是 ． 19．（23-24高二下·四川乐山·期末）已知函数且，，若有解，则a的取值范围是 ． 20．（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 导数中的恒成立和有解问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、恒成立问题 2 题型二、有解问题 13 压轴能力测评（12题） 22 一、恒成立和有解问题思路一览 设函数的值域为或，或或中之一种，则 ①若恒成立（即无解），则； ②若恒成立（即无解），则； ③若有解（即存在使得成立），则； ④若有解（即存在使得成立），则； ⑤若有解（即无解），则； ⑥若无解（即有解），则． 【说明】（1）一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法． （2）取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！（即端点值的取舍） 二、分离参数的方法 ①常规法分离参数：如； ②倒数法分离参数：如； 【当的值有可能取到，而的值一定不为0时，可用倒数法分离参数．】 ③讨论法分离参数：如: ④整体法分离参数：如； ⑤不完全分离参数法：如； ⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数． 【注意】 （1）分离参数后，问题容易解决，就用分离参数法（大多数题可以使用此方法）． 但如果难以分离参数或分离参数后，问题反而变得更复杂，则不分离参数，此时就用含参转化法． （2）恒成立命题对自变量的范围有时有一部分或端点是必然成立的，应该考虑先去掉这一部分或端点，再分离参数求解．【否则往往分离不了参数或以至于答案出问题．】 三、其他恒成立类型一 ①在上是增函数，则恒成立．(等号不能漏掉)． ②在 上是减函数，则恒成立．(等号不能漏掉)． ③在上是单调函数，则分上述两种情形讨论；(常用方法) 四、其他恒成立类型二 ①，使得方程成立． ②，使得方程成． 五、其他恒成立类型三 ①，； ②，； ③，； ④，． 【题型一 恒成立问题】 一、单选题 1．（23-24高二下·广西钦州·期末）已知函数，，是的导函数，且，则a的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得，后结合函数单调性可得答案. 【详解】由题意得，则． 注意到在上单调递增，在上单调递减. 则，所以,即a的最小值为. 故选：B 2．（23-24高二下·北京西城·期末）如果在区间上是单调函数，那么实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求导函数，再根据单调性得出导函数恒为正或者恒为负求参即可. 【详解】由已知， 因为是单调函数, 所以恒成立或恒成立， 所以恒成立或恒成立， 所以或, 所以或. 故选：A. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用导数求出函数的最小值，由，即可求出的取值范围. 【详解】设，则恒成立，， ， 所以，当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ，解得， 即实数的取值范围为. 故选：B. 4．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知函数若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分段讨论不等式，利用导数研究函数的最值即可得出参数范围. 【详解】当时，. 当时，恒成立等价于恒成立，因为当时，，所以. 当时，恒成立等价于恒成立. 记，则在区间上为增函数， 并且零点为，单调递减， 单调递增， 因此，所以. 综上，. 故选：A. 5．（23-24高二下·吉林通化·期末）已知函数在上无极值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，则，故， 因为函数在上无极值， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 当时，， 设，则， 当时，得，当时，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 从而，故， 当时，，则． 综上，． 故选：． 6．（23-24高二下·青海西宁·期中）已知函数，，若对任意两个不相等正数，，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知不等式的形式构造新函数，利用新函数的单调性，结合导数的性质进行求解即可. 【详解】不妨设，由，得， 令，所以在区间上单调递减， 所以在上恒成立， 即，所以， 即的取值范围是. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键由变形为，然后通过构造新，利用导数的性质进行求解. 7．（2024高二·全国·专题练习）已知偶函数在区间单调递减，当时，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，可得在上单调递增，由此脱去不等式中，分离参数构造函数，利用导数求出最值即可得解. 【详解】由函数为偶函数，且在单调递减，得在上单调递增， 当时，， 令，，求导得，在上单调递增， 则，因此；令，，， 函数在上单调递减，则，因此， 所以的取值范围是. 故选：C 8．（2024高二上·全国·专题练习）已知关于x的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】转化为，令，由，利用函数的单调性求解. 【详解】解：原不等式等价于， 设，则. 又，所以在上单调递增， 则，即. 设，，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以，所以. 故选：A. 9．（23-24高二下·重庆·期末）若对任意的恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知变形为，然后构造函数，将问题转化为在上恒成立，转化为的最大值问题，利用导数求解可得. 【详解】因为，所以，则可化为， 整理得， 因为，所以， 令，则函数在上单调递减， 则在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，则在上恒成立， 则在上单调递减， 所以，故， 所以得最小值为. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题解题关键在于对进行合理变形，通过构造函数，将问题转化为在上恒成立，然后可解. 10．（23-24高二下·上海·期中），均有成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不妨设，则不等式等价于，令，， 则在区间上单调递减，从而得到对于恒成立，参变分离可得对于恒成立，求出即可得解. 【详解】不妨设， 则， 由可得， 所以，即， 所以， 令，， 则， 因为， 所以在区间上单调递减， 所以对于恒成立， 所以对于恒成立，可得对于恒成立， 所以，因为在区间上单调递减， 所以， 所以，即的取值范围为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键是将问题转化为，即在区间上单调递减，从而得到对于恒成立. 11．（23-24高二下·江西抚州·期末）已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先把转化为，设函数，分析函数的单调性，问题转化为，再设，转化为求恒成立，利用导数求函数的最小值，利用最小值大于或等于0，可求的取值范围. 【详解】由， 两边同时加，得：. 设，则，所以在上单调递增. 所以. 设，，则， 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 由. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的取值范围，解题的关键在于通过指对同构思想将问题为函数单调性问题，结合参变量分离法转化为函数最值问题来求解. 12．（23-24高二下·河南·期中）已知函数，若当时，恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】对不等式作等价变形，构造函数，确定它们的零点，可得，再验证存在即可. 【详解】依题意，，， 设函数，， 函数在上单调递增，，则当时，； 令，则，若恒成立，则，否则， 下面验证时存在满足题意， 不妨令，则，在处的导数值为，取，此时， 设函数，要证恒成立，只需证恒成立， ，当时，， 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，所以的最大值为e. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是等价变形不等式，构造函数，利用函数零点大小关系求解. 13．（23-24高二下·江西萍乡·期中）对于任意实数，不等式恒成立，则集合的一个子集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，构造函数，则有，结合的单调性可得，再根据对数的基本运算求解即可． 【详解】因为不等式恒成立， 所以， ， 令，则， 所以在上单调递增，所以有， 所以，即， ，所以，解得， 又因为，所以， 所以只有D选项满足要求． 故选：D． 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 14．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知函数，若，则实数的最大值为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】整理可得，换元令，构建，可知对任意恒成立，利用导数判断的单调性和最值，结合恒成立问题分析求解. 【详解】设，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，且当趋近于0或时，趋近于， 所以在内的值域为. 因为的定义域为， 若，整理可得， 令，设，则， 可知对任意恒成立， 若，则对任意恒成立， 可知在内单调递增，则，符合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则， 设，则对任意恒成立， 可知在内单调递减，且， 则不等式的解集为，即； 综上所述：，所以实数的最大值为. 故选：D. 【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题 1.分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． 2.函数思想法 第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 15．（23-24高二下·湖北·期中）已知函数对定义域内任意，都有 ，则正实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过分析得出在上恒成立，变形成同构不等式求参问题，构造函数，对进行分类讨论，得出只需讨论当时，即可，进一步构造函数求出它的最大值即可. 【详解】因为，所以. 令函数，则在上单调递减， 所以在上恒成立，所以， 即. 令函数，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，，当时，，且由题干可知，即， 所以当时，恒成立，此时可以是任意实数， 当时，恒成立， 等价于，当时，， 所以当时，，即当时，. 令函数，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值，所以； 综上所述，正实数m的取值范围为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：关键是逐步分析得出只需当时，恒成立，即可构造函数顺利得解. 【题型二 有解问题】 一、单选题 1．（23-24高二下·广东广州·阶段练习）已知函数，若存在，使得成立，则实数m的最小值是（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】分离参数，利用导函数求函数的最值即可. 【详解】由能成立， 问题转化为， 令， 由；由， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴，则， 故m的最小值为4． 故选：D. 2．（2024高二·全国·专题练习）函数，若存在，使有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用导数求最值，进而得的取值范围. 【详解】若存在，使得有解，即． 设，，则． 令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以． 故的取值范围为． 故选：A 3．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数a的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数求的取值范围，利用二次函数的性质求的取值范围，依题意有，解不等式得实数a的范围. 【详解】函数，因为，，所以， 故在上单调递增，所以. 又，所以在上也是单调递增，所以. 因为对任意的，总存在，使成立，等价于， 所以，解得，故实数a的范围是. 故选：D. 4．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）已知，，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用导数分别求得函数和的单调性及最小值和，结合，即可求解. 【详解】由函数，可得 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，当时，函数取得最小值，最小值为， 又由函数在上单调递增，所以函数， 因为函数，，使得成立， 可得，解得，即实数的取值范围为. 故选：C. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 5．（23-24高二下·广东·期末）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意转化为导函数有解，参变分离有解，设，则实数，求导计算可得解； 【详解】函数的定义域为, 求导得，函数存在单调递减区间， 所以有解，即有解， 设，则实数， 则，令，得， 当时，在上递增； 当时，在上递减； 所以函数有最大值， 因此. 故选：D. 6．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知，设函数，若存在，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，的最小值为，然后分是否大于1，讨论在时的最小值，由此分别列出不等式即可求解. 【详解】当时，易知的最小值为， 当时，，令，解得， 若，则在上单调递增，且时，， 所以只需，解得或， 又，所以， 若，则在上单调递减，在上单调递增， 成立，所以符合题意， 综上，的取值范围是. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：涉及到含参分段函数的最值时，一般讨论时尽量做到有序讨论，这样可以不充不漏，从而即可顺利得解. 7．（23-24高二下·福建漳州·期末）若关于的不等式有唯一的整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】转化为有唯一的整数解，构造函数，利用导数讨论单调性，作出函数图象即可得解. 【详解】不等式有唯一的整数解，等价于有唯一的整数解， 记，则， 当时，；当时，. 所以，在上单调递增，在上单调递减， 所以，当时，取得极大值， 因为，所以，所以，即， 作出函数的图象如图：    因为不等式有唯一的整数解，所以，即. 故选：B 8．（23-24高二上·浙江宁波·期末）若存在正实数，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简题目所给等式，分离常数，通过构造函数法，结合导数来求得的取值范围. 【详解】依题意存在正实数x，y，使得等式成立， ， 当时，，不符合题意，所以 令，，， 构造函数，， 其中对数函数在上递增，反比例函数在上递增， 所以在上递增，且， 所以在区间，，单调递减；在区间，，单调递增. 所以的最小值为. 要使有解， 则，①， 当时，①成立；当时，. 所以的取值范围是. 故选：B. 9．（23-24高二下·新疆·期中）已知，存在唯一的整数，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，依题意函数在直线下方的图象有且只有一个点的横坐标为整数，利用导数说明函数的单调性，画出的图象，由过定点，再数形结合即可求出参数的取值范围. 【详解】设，， 由题意可知函数在直线下方的图象有且只有一个点的横坐标为整数， 因为，所以， 由，解得，由，解得， 则在上单调递增，在上单调递减； 又，，，即过点，， 且当时，当时； 如图，作出的大致图象如下所示： 因为直线过定点，且当时， 所以，即，故， 即的取值范围是． 故选：D 10．（23-24高二下·福建泉州·期中）已知函数，若不等式的解集中有且仅有一个整数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数求出函数的单调区间及极值，作出函数的大致图象，由仅有一个整数解，得只有一个整数解，再结合图象即可得解. 【详解】， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又当时，，当时，且， 作出的函数图象如图所示：    由仅有一个整数解， 得只有一个整数解， 设，由图象可知： 当时，在上恒成立，不符合题意， 当时，若只有1个整数解，则此整数解必为1， 所以，即，解得． 故选：D． 11．（23-24高二上·福建福州·期末）已知关于的不等式解集中恰有3个不同的正整数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得的解集中恰有3个不同的正整数解，设 ，，作出两函数的图象，结合图象分，分别求解即可. 【详解】因为，所以. 设，，则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 又因为是过点的直线，如图所示：    由此可得当时，的解集中有若干个不同的正整数解，不满足题意； 当时，要使不等式的解集中恰有3个不同的正整数解，    当过点时，取最小值， 因为，此时， 当过点时，取最大值， 因为，此时， 所以的取值范围为. 故选：D. 12．（23-24高二下·湖北武汉·期末）设函数，若存在实数，使得，则的最小值为（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】变形得到，故，二次求导得到在R上单调递增，从而得到，故，构造，求导得到其单调性，确定最值，得到答案. 【详解】， 存在实数，使得，即， ， 令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，也是最小值， ， 故在R上单调递增， 所以， 故， 令，，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故， 所以，当且仅当，时，等号成立. 故选：C 【点睛】关键点点睛：变形得到，故，结合在R上单调递增，得到，进而将二元问题转化为单元问题进行求解. 一、单选题 1．（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）当时，恒成立，则整数的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】由题意在上恒成立，构造函数求得，由此即可得解. 【详解】由题意得，在上恒成立， 设，所以， 因为，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在单调递减，， 所以整数，则整数的最小值为5． 故选：B． 2．（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出函数和的图象，利用导数的几何意义，即可求解. 【详解】设函数，则直线恒过点， 如图，画出和的图象，两个函数图象都过点， 当直线与相切时，，即，    如图可知，若，成立，则. 故选：D 3．（23-24高二下·甘肃·阶段练习）已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意的值域包含于的值域，再分别求导分析函数的单调性与最值，进而根据值域区间端点满足的不等式列式求解即可. 【详解】，，令，解得， 令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增， 又，所以的值域为. 当时，，所以在上单调递增， 又，所以的值域为， 又，使得，所以，解得， 即实数的取值范围是． 故选：B． 4．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）设函数，若对于都有成立，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】思路一：直接求得函数单调区间、表示出最小值，进而可列出不等式组求解； 思路二：分类讨论并分离参数，进一步换元，通过构造函数，求导得函数最值即可求解. 【详解】法一：直接求导法 ，令得， 时，单调递增；时，单调递减； 时，单调递增； 故或，只需， 法二：分离参数法 ， 令， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 时，；时，， 所以． 当时，恒成立，所以, 综上可知若对于都有成立，则， 故选：C. 【点睛】思路点睛：法一：直接求导法，此法的好处是省去了分类讨论的步骤，法二：分离参数法，此法的好处是可以直接构造新的函数，只需求新的函数最值即可. 5．（23-24高二下·四川凉山·期末）若在上有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由变形为，令，从而利用的单调性可得在上有解，参变分离后可得，令，求导后利用单调性即可求解. 【详解】因为，所以， 令，则， 因为在R上都是增函数，所以在R上是增函数， 所以在上有解，即， 令，则 所以当时，，在上单调递增， 所以. 故选：B 【点睛】方法点睛：函数存在性和恒成立问题，构造新函数并利用新函数的性质是解答此类问题的关键，并注意把握下述结论： ①存在解；恒成立； ②存在解；恒成立； ③存在解；恒成立； ④存在解；恒成立 6．（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）若对任意的，且，都有，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将变形为，构造函数，可判断在上单调递减，进而利用导数求出的递减区间，列出不等式，即可得答案. 【详解】由题意知，且， 故，即， 故，令，则在上单调递减， 又， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 故，则， 即的最小值是， 故选：B 7．（23-24高二下·浙江杭州·阶段练习）若关于的不等式的解集中恰有个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将不等式转化为，构建，利用导数判断其单调性和最值，根据题意利用数形结合，列式求解即可. 【详解】因为，且，可得， 构建，则， 令，解得；令，解得； 则在上单调递增，在上单调递减，可得， 且， 由题意可得，解得， 所以的取值范围是. 故选：C.    8．（23-24高二下·河南平顶山·阶段练习）不等式对于任意的，恒成立，则a的最大值为（    ） A． B．1 C．e D． 【答案】B 【分析】由题意将原问题等价转换为对于任意的，恒成立，从而构造函数，利用导数求得的最小值是1即可得解. 【详解】由题意对于任意的，恒成立， 令，从而, 令，则， 这意味着在定义域内关于单调递增， 注意到与符号相同，且， 所以当时，，即，单调递减， 当时，，即，单调递增， 所以， 所以a的最大值为1. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：关键是在得到之后，还要继续构造函数来判断的符号，由此即可顺利得解. 9．（23-24高二下·浙江·期中）已知，，关于的不等式无实数解，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分析可得在定义域内恒成立，求导，利用导数判断单调性和最值结合恒成立问题可得，进而利用二次函数求的最大值. 【详解】构建，由题意可得在定义域内恒成立， 可得的定义域为，且， 因为，， 令，解得；令，解得； 则在上单调递增，在上单调递减； 所以， 令，则， 构建，则， 令，解得；令，解得； 则在上单调递增，在上单调递减， 所以， 若，则，即， 所以， 当时，取到最小值. 故选：A. 【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题 1.分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． 2.函数思想法 第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 10．（23-24高二下·贵州铜仁·期末）已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意转化为，同构得到，通过构造得到原题意即存在，使得，再构造，研究最值即可求解. 【详解】， 即， 即， 构造，则在上单调递增， 因为，所以， 即存在，使得， 记， ，令，则， 所以在单调递减，在单调递增，， 因为，， 所以， 所以，所以， 所以 所以实数的取值范围是. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题考查函数同构问题和存在性问题.关键点在于将原式进行变形转化，转化为，构造，得到，进而得到自变量的关系，再通过构造函数研究最值即可.本题考查了转化与化归能力、数学运算能力，属于中档题. 二、填空题 11．（23-24高二下·山东菏泽·期中）设函数．能说明“对于任意的，都有成立”为真命题的一个实数a的值可以是 ． 【答案】1（答案不唯一，只要满足即可） 【分析】先得到在上单调递增，故恒成立，即，由于，求出. 【详解】对于任意的，都有成立，故在上单调递增， 恒成立，即，由于， 故只需即可. 故答案为：1（答案不唯一，只要满足即可） 12．（2024高二上·全国·专题练习）已知，，若存在，，使得成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意转化为，转化为利用导数求的最大值，并求二次函数的最大值. 【详解】因为， 所以. 当时，，单调递减； 时，，单调递增， 所以. ，时，， 若存在，， 使得成立，只需即可， 所以的取值范围为 故答案为： 13．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数，（，是自然对数的底）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意有在上有解，利用导数研究右侧单调性求值域，即可得参数范围. 【详解】由题意，对于，上存在点关于轴对称的点在上， 所以，存在点在上，故， 即在上有解， 令且，则， 所以时，即在上递减，值域为， 时，即在上递增，值域为， 所以，即. 故答案为： 14．（23-24高二下·吉林长春·期末）若存在，使成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得以，令，利用导数判断出函数在上的单调性即可得答案. 【详解】由，可得， 因为，所以，所以， 令， 则， 所以函数在上单调递增， 又因为，所以，所以， 所以的取值范围为. 故答案为：. 15．（23-24高二下·江苏常州·期中）若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】题设中的不等式等价于，令，结合导数可得该函数的单调性，结合可得的解，从而可求实数的取值范围. 【详解】由有意义可知，. 由，得. 令，即有. 因为，所以，令， 问题转化为存在，使得. 因为，令，即，解得； 令，即，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 又，所以当时，. 因为存在，使得成立，所以只需且，解得. 故选：. 16．（24-25高二上·全国·课后作业）若，则 ． 【答案】/ 【分析】先利用特法法可得，再证明当时不等式恒成立即可. 【详解】取，则， 设，则， 当时，，当时，， 故在上为增函数，在上为减函数，故， 当且仅当时等号成立，故即. 此时原不等式即为 即，即， 令，则， 故在上为减函数，故，故， 令，则，所以函数在区间内单调递减， 所以即恒成立， 综上所述，． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决本题的核心在于，通过对不等式的变形，同构函数，即可再利导数得到函数单调性，脱去“”是解题的关键. 17．（24-25高二上·江西宜春·阶段练习）对于函数和，及区间D，b使得对任意恒成立，则称在区间D上优于，若在区间上优于，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得符合条件的直线应为在的公切线，据此计算验证即可． 【详解】因为，且， 若在区间上优于， 可知符合条件的直线应为在的公切线， 则，可得， 则切线方程为， 令在上恒成立， 令，求导可得， 令， 当，，在上单调递增， 当，，在上单调递增， 所以，即在上恒成立， 所以实数a的取值范围是． 故答案为：． 18．（23-24高二下·江苏扬州·期中）已知，则在点处切线方程为 ；若，其中，且对于一切都有，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义易得切线方程；对于恒成立问题，通过等价转化为在上恒成立，借助于函数图象与分析相结合，得出要想使最大，则应使为函数的切线，即使的零点不超过的零点，计算即得的最小值. 【详解】函数的定义域为，则，则切线斜率为， 故在点处的切线方程为； 因对于一切都有，即对一切都有恒成立， 对于直线，其在轴上的截距为，要使最小，须使最大即可. 设是函数的切线，由于，因此应使在的上方， 则在轴上的截距大，因此要想使最大，则应使为函数的切线. 作出函数的图象如图.(由，当时，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减，当时，，当时，) 其中，是函数的零点. 由图知，当直线的横截距大于后，直线与函数恒相交，不会相切， 故须使，故得，即的最小值是. 故答案为： 19．（23-24高二下·四川乐山·期末）已知函数且，，若有解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，由条件可得，构造函数，再由其单调性化简可得，即可转化为，再由导数求得其最值，即可得到结果. 【详解】由可得， 由，则， 所以，即， 设，且，所以函数在上单调递增， 又，结合，可得，即， 所以，即， 令，则， 且，令，解得， 当时，，则函数单调递减， 当时，，则函数单调递增， 所以时，有极小值，即最小值，且 所以，即， 所以a的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：关键在于合理构造函数，结合函数的单调性化简，再由导数求得函数的最值，从而求解. 20．（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】就、分类讨论，前者再就分类后结合导数的符号讨论单调性后可得相应范围，后者结合常见的函数不等式可得恒成立，故可得参数的取值范围. 【详解】当时， ， 设，则 因为，故均为上的增函数， 故在上为增函数， 若即，则在上恒成立， 故在上为增函数，故恒成立， 故为上为增函数，故恒成立， 故符合， 若即，此时，而， 故存在，使得， 且，即在上为减函数， 故，即在上为减函数， 故，与题设矛盾， 当时，设，则， 故在上为增函数，故即， 设，则， 在上为增函数，故即， 而，故， 即即，故也成立， 综上，， 故答案为：. 【点睛】思路点睛：不等式的恒成立，注意验证区间的端点处的函数值，如果函数值为零，则往往需要讨论导数（或二阶导数）在端点处的函数值的符号，从而得到分类讨论的标准. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$