数学（新高考Ⅰ卷02）-学易金卷：2025年高考第二次模拟考试

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年高考第二次模拟考试 高三数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________（2分） ____________________（3分） 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年高考第二次模拟考试 高三数学（新高考Ⅰ卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合．则（   ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则其共轭复数为（ ） A． B． C． D． 3．设，向量，且，则（    ） A． B． C． D． 4．数列是首项不为0的等比数列，且公比大于0，则“”是“数列递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 5．树人中学举行主题为“弘扬传统文化，传承中华美德”的演讲比赛，现随机抽选10名参赛选手，获得他们出场顺序的数据，将这组数据从小到大排序为，，，，，，，，，，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第40百分位数是(    ) A．9 B．10 C．11 D．12 6．已知椭圆的两个焦点为，设过点组平行于的直线交于点Q．若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．四面体ABCD中，，则该四面体的内切球（与四个面相切）与外接球半径长度的比值是（   ） A． B． C． D． 8．对于函数与，若存在，使，则称，是与图象的一对“隐对称点”．已知函数，，函数与的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下面命题中是假命题的有（   ） A．中，若，则 B．若，则是第一象限角或第二象限角 C．若一个扇形所在圆的半径为，其圆心角为弧度，则扇形的周长为 D．函数的最小值为 10．造型称为四叶型或幸运草型，数学上，我们把这样的曲线叫做四叶玫瑰线.已知定长线段的长度为4，它的两个端点分别在轴、轴上（均不过原点）滑动，过向线段作垂线，垂足的轨迹为四叶玫瑰线，记作曲线，则下列结论正确的是（    ） A．点在曲线上 B．曲线有且只有两条对称轴 C．曲线围成区域的面积不超过 D．当点在曲线上时， 11．已知函数的定义域为，的导函数为，，，当时，，则（   ） A．为偶函数 B．的图象关于点中心对称 C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数为 （用数字作答） 13．大衍数列来源于《乾坤谱》，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．大衍数列中，对于，数列是公差为的等差数列，且也是等差数列．已知，，则 ；的前9项和等于 ． 14．如图，在平行四边形中，已知，，，现将沿折起，得到三棱锥，且，则三棱锥外接球的表面积为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 如图，在等边三角形中，为边上一点，，点，分别是边上的动点（不包括端点），若，且设 (1)求证：不论为何值，恒成立. (2)当和的面积相等时，求的值. 16．（15分） 如图所示的几何体中，底面是菱形，，平面，，，且平面平面.   (1)在线段上是否存在点，使得四点共面？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由. (2)若，求二面角的余弦值. 17．（15分） 已知函数，曲线在处的切线方程为. (1)求函数的极值； (2)若，，求实数的取值范围. 18．（17分） 已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)设直线与双曲线、圆相切，切点分别为，与渐近线相交于.两点. （i）证明：为定值； （ii）若，求直线的方程. 19．（17分） 题目：给定一个严格单调递增正项数列，任意给定，称满足的三元子集为数列的一个集，其个数记作，出现集的概率记为. (1)已知是数列A：1，2，3，4，5，6的一个集，求j； (2)已知，，，并且都是数列的集，求数列A的通项公式； (3)已知，，，并且都是数列的集，求证：. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 班 级 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 姓 名 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 准 考 证 号 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025 年高考第二次模拟考试 高三数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________（2 分） ____________________（3 分） 14．____________________ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025年高考第二次模拟考试 高三数学（新高考Ⅰ卷）·全解全析 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合．则（   ） A． B． C． D． 1.【答案】D 【解析】由，解得：，故， 函数，故. 所以. 故选：D 2．若复数满足，则其共轭复数为（ ） A． B． C． D． 2.【答案】B 【解析】由， 可得：， 所以， 故选：B 3．设，向量，且，则（    ） A． B． C． D． 3.【答案】D 【解析】因为， 又，所以，得到， 所以，得到， 所以. 故选：D 4．数列是首项不为0的等比数列，且公比大于0，则“”是“数列递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 4.【答案】C 【解析】因为是首项不为0的等比数列，且公比大于0， 当时，取数列为：，满足条件， 但此时数列为递减数列，即充分性不成立； 当数列递增时，取数列为：，满足条件， 但此时，即必要性不成立； 综上，“”是“数列递增”的既不充分也不必要条件. 故选：C. 5．树人中学举行主题为“弘扬传统文化，传承中华美德”的演讲比赛，现随机抽选10名参赛选手，获得他们出场顺序的数据，将这组数据从小到大排序为，，，，，，，，，，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第40百分位数是(    ) A．9 B．10 C．11 D．12 5.【答案】A 【解析】由题可得极差是，该组数据的中位数是极差的， 列出等式，解得， 因为， 故该组数据的第40百分位数为从小到大第4个数据和第5个数据的平均值，即， 所以该组数据的第40百分位数是. 故选：A. 6．已知椭圆的两个焦点为，设过点组平行于的直线交于点Q．若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 6.【答案】C 【解析】由题意，，， 过点组平行于的直线方程为， 联立，可得， 则，，由，可得， 即，即， 即， 整理得， 两边同时除以，可得， 又，可得，则． 故选：C． 7．四面体ABCD中，，则该四面体的内切球（与四个面相切）与外接球半径长度的比值是（   ） A． B． C． D． 7.【答案】B 【解析】 由题意可知，底面为等边三角形，设点在底面的投影为， 则, 设外接球的球心为，则在上，设外接球的半径为， 在中，， 设，则，解得， 所以，所以， 又，则， 设内切球的半径为，四面体的表面积为， 且是全等的等腰三角形， 腰长为，底边长为，则高为， 所以， 则，即，解得， 则. 故选：B 8．对于函数与，若存在，使，则称，是与图象的一对“隐对称点”．已知函数，，函数与的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8.【答案】D 【解析】由题意函数与的图象有两个交点， 令，则， ∴当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 又恒过点，当时，， 在同一坐标系中作出函数、的图象，如图， 由图象可知，若函数与的图象有两个交点，则， 当直线为函数图象的切线时，由，可得， ∴且，即. 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下面命题中是假命题的有（   ） A．中，若，则 B．若，则是第一象限角或第二象限角 C．若一个扇形所在圆的半径为，其圆心角为弧度，则扇形的周长为 D．函数的最小值为 9.【答案】BD 【解析】对于A选项，中，若，则，所以，，A对； 对于B选项，若，则是第一象限角或第二象限角或角的终边在轴的非负半轴，B错； 对于C选项，若一个扇形所在圆的半径为，其圆心角为弧度，则扇形的周长为，C对； 对于D选项，若，则，D错. 故选：BD. 10．造型称为四叶型或幸运草型，数学上，我们把这样的曲线叫做四叶玫瑰线.已知定长线段的长度为4，它的两个端点分别在轴、轴上（均不过原点）滑动，过向线段作垂线，垂足的轨迹为四叶玫瑰线，记作曲线，则下列结论正确的是（    ） A．点在曲线上 B．曲线有且只有两条对称轴 C．曲线围成区域的面积不超过 D．当点在曲线上时， 10.【答案】ACD 【解析】 设，，， 则，，，由得①， 由得，即②， 由点在线段上，得，则③. 由①②可得，由②③可得,故， 所以曲线的方程为. 选项A：将代入曲线的方程，易知成立，故A正确. 选项B：用替换，曲线的方程不变，所以曲线关于轴对称；用替换，曲线的方程不变，所以曲线关于轴对称；与互换，曲线的方程不变，所以曲线关于直线对称；用替换，替换，曲线的方程不变，所以曲线关于直线对称.所以曲线有四条对称轴，故B错误. 选项C：因为，所以，所以曲线围成区域的面积不超过，故C正确. 选项D：由，得, 当且仅当时取等号，所以当点在曲线上时，，故D正确. 故选：ACD 11．已知函数的定义域为，的导函数为，，，当时，，则（   ） A．为偶函数 B．的图象关于点中心对称 C． D． 11.【答案】AB 【解析】对于A，由，得， 由，得，所以， 则，所以， 则，所以的一个周期为4， 由与， 得，即，所以为偶函数，故A正确； 由，得，所以的图象关于点中心对称， 又，所以的图象关于中心对称，故B正确； 因为当时，，所以当时，， 因为，所以的图象关于直线对称， 所以当时，，所以在上单调递减， 所以，故C不正确； 因为，又， 所以，又，， 所以，故D不正确. 故选：AB. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数为 （用数字作答） 12.【答案】 【解析】的展开式的通项式 当时，, 当时，, 的展开式中含的系数为. 故答案为：. 13．大衍数列来源于《乾坤谱》，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．大衍数列中，对于，数列是公差为的等差数列，且也是等差数列．已知，，则 ；的前9项和等于 ． 13.【答案】 12 140 【解析】设等差数列的公差为，依题意，成等差数列，公差， 由成公差为的等差数列，得， 由成公差为的等差数列，得， 而，即，解得，； ，由成公差为的等差数列，得， 所以的前9项和 . 故答案为：12；140 14．如图，在平行四边形中，已知，，，现将沿折起，得到三棱锥，且，则三棱锥外接球的表面积为 ． 14.【答案】/ 【解析】 如图，过作，且，过作，且， 连接，，，根据题意可知，， 因为，，， 所以，， 所以，，，所以， 是平面内的两条相交直线，所以平面， 所以三棱柱为直三棱柱． 则三棱锥与直三棱柱的外接球相同． 在中，，，∴． 在中，，， ，所以． 设的外接圆半径为，由正弦定理得， 故的外接圆半径， 设三棱柱的外接球半径为，由勾股定理， 则三棱锥外接球的表面积． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 如图，在等边三角形中，为边上一点，，点，分别是边上的动点（不包括端点），若，且设 (1)求证：不论为何值，恒成立. (2)当和的面积相等时，求的值. 【解析】（1）在中，， 又，所以， 在中，所以， 在中，由正弦定理得，即， 在中，由正弦定理得，即， 所以，即不论为何值，恒成立； （2）因为， ， 又，，由（1）可得， 所以， 即， 整理得，所以. 16．（15分） 如图所示的几何体中，底面是菱形，，平面，，，且平面平面.    (1)在线段上是否存在点，使得四点共面？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由. (2)若，求二面角的余弦值. 【解析】（1）线段上存在点，且为的中点，使得四点共面.证明如下： 连接.∵四边形是菱形，. 又平面，平面，. 又，平面，平面. 连接.∵为的中点，，. 又平面平面，平面平面，平面，平面. ，（垂直于同一个平面的两条直线互相平行）， ∴在线段上存在点，且为的中点，使得四点共面. （2）取的中点，连接，设交于点，连接，， 则，且. 平面，平面. 又，∴以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.    ∵底面是菱形，，，. ，. 由（1）知，∴四边形是矩形，， ∴，，，， ，，. 设平面的法向量为， 则，即， 取，则. 设平面的法向量为， 所以，即， 取，则. ， 由图易知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为. 解法二：设二面角的大小为，由平面平面，可得二面角的大小为，则. 连接，设与的交点为，过点作于点，连接，由（1）知平面，则，又，所以平面，所以， 则为二面角的平面角. 易知，，，所以， 所以， 所以二面角的余弦值为. 17．（15分） 已知函数，曲线在处的切线方程为. (1)求函数的极值； (2)若，，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为，所以，依题意，即， 所以，定义域为，则， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极小值，无极大值； （2）因为，恒成立， 当时，，，所以， 所以对恒成立， 令，则当时，恒成立， 因为， 设， 当，即时，，所以， 即在上单调递减，所以，符合题意； 当，即时，，， 所以，由零点存在性定理可知存在，使得， 又二次函数开口向下，对称轴为， 则当时，，即， 所以在上单调递增，即存在，使得， 这与当时，恒成立矛盾，故舍去； 综上可得， 所以实数的取值范围为. 18．（17分） 已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)设直线与双曲线、圆相切，切点分别为，与渐近线相交于.两点. （i）证明：为定值； （ii）若，求直线的方程. 【解析】（1）由， 解得，故双曲线的标准方程为． （2）（i）①当与轴垂直时，，解得． ②当与轴不垂直时，设． 设与联立可得：， 且有，故， 且． 将与联立可得：． ， 而，故． 综上所述，． （ii）由与圆相切可知：． 设直线为，与联立解得． 由（1）可知，则． 而． 消去可得：， 故． 19．（17分） 题目：给定一个严格单调递增正项数列，任意给定，称满足的三元子集为数列的一个集，其个数记作，出现集的概率记为. (1)已知是数列A：1，2，3，4，5，6的一个集，求j； (2)已知，，，并且都是数列的集，求数列A的通项公式； (3)已知，，，并且都是数列的集，求证：. 【解析】（1）根据集的定义，已知是数列的一个集，，，，，，未知. 由，即.解得， 所以. （2）因为都是数列的集. 根据集的定义，，即，这表明数列是等差数列. 已知，. 设等差数列的公差为. 根据等差数列通项公式，则. 把，，代入得. 移项得，解得. 所以数列的通项公式为. （3）首先求，因为都是数列的集. 根据集的定义. 设，则，那么. 由于，，，则. 又因为，所以，则. 根据等比数列求和公式，所以. 对于，三元子集的个数， 这里，则，而满足-集的三元子集个数， 因为都是集，所以. 概率. 因为，即. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第二次模拟考试 高三数学（新高考Ⅰ卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合．则（   ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则其共轭复数为（ ） A． B． C． D． 3．设，向量，且，则（    ） A． B． C． D． 4．数列是首项不为0的等比数列，且公比大于0，则“”是“数列递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 5．树人中学举行主题为“弘扬传统文化，传承中华美德”的演讲比赛，现随机抽选10名参赛选手，获得他们出场顺序的数据，将这组数据从小到大排序为，，，，，，，，，，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第40百分位数是(    ) A．9 B．10 C．11 D．12 6．已知椭圆的两个焦点为，设过点组平行于的直线交于点Q．若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．四面体ABCD中，，则该四面体的内切球（与四个面相切）与外接球半径长度的比值是（   ） A． B． C． D． 8．对于函数与，若存在，使，则称，是与图象的一对“隐对称点”．已知函数，，函数与的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下面命题中是假命题的有（   ） A．中，若，则 B．若，则是第一象限角或第二象限角 C．若一个扇形所在圆的半径为，其圆心角为弧度，则扇形的周长为 D．函数的最小值为 10．造型称为四叶型或幸运草型，数学上，我们把这样的曲线叫做四叶玫瑰线.已知定长线段的长度为4，它的两个端点分别在轴、轴上（均不过原点）滑动，过向线段作垂线，垂足的轨迹为四叶玫瑰线，记作曲线，则下列结论正确的是（    ） A．点在曲线上 B．曲线有且只有两条对称轴 C．曲线围成区域的面积不超过 D．当点在曲线上时， 11．已知函数的定义域为，的导函数为，，，当时，，则（   ） A．为偶函数 B．的图象关于点中心对称 C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数为 （用数字作答） 13．大衍数列来源于《乾坤谱》，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．大衍数列中，对于，数列是公差为的等差数列，且也是等差数列．已知，，则 ；的前9项和等于 ． 14．如图，在平行四边形中，已知，，，现将沿折起，得到三棱锥，且，则三棱锥外接球的表面积为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 如图，在等边三角形中，为边上一点，，点，分别是边上的动点（不包括端点），若，且设 (1)求证：不论为何值，恒成立. (2)当和的面积相等时，求的值. 16．（15分） 如图所示的几何体中，底面是菱形，，平面，，，且平面平面.   (1)在线段上是否存在点，使得四点共面？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由. (2)若，求二面角的余弦值. 17．（15分） 已知函数，曲线在处的切线方程为. (1)求函数的极值； (2)若，，求实数的取值范围. 18．（17分） 已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)设直线与双曲线、圆相切，切点分别为，与渐近线相交于.两点. （i）证明：为定值； （ii）若，求直线的方程. 19．（17分） 题目：给定一个严格单调递增正项数列，任意给定，称满足的三元子集为数列的一个集，其个数记作，出现集的概率记为. (1)已知是数列A：1，2，3，4，5，6的一个集，求j； (2)已知，，，并且都是数列的集，求数列A的通项公式； (3)已知，，，并且都是数列的集，求证：. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第二次模拟考试 高三数学（新高考Ⅰ卷）·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D B D C A C B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD ACD AB 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．12 140 14．/ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【解析】（1）在中，， 又，所以， 在中，所以，（3分） 在中，由正弦定理得，即， 在中，由正弦定理得，即， 所以，即不论为何值，恒成立；（6分） （2）因为， ， 又，，由（1）可得，（9分） 所以， 即， 整理得，所以.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）线段上存在点，且为的中点，使得四点共面.证明如下： 连接.∵四边形是菱形，. 又平面，平面，. 又，平面，平面. 连接.∵为的中点，，. 又平面平面，平面平面，平面，平面. ，（垂直于同一个平面的两条直线互相平行）， ∴在线段上存在点，且为的中点，使得四点共面.（5分） （2）取的中点，连接，设交于点，连接，， 则，且. 平面，平面. 又，∴以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.   （8分） ∵底面是菱形，，，. ，. 由（1）知，∴四边形是矩形，， ∴，，，， ，，.（10分） 设平面的法向量为， 则，即， 取，则.（12分） 设平面的法向量为， 所以，即， 取，则.（14分） ， 由图易知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.（15分） 解法二：设二面角的大小为，由平面平面，可得二面角的大小为，则.（8分） 连接，设与的交点为，过点作于点，连接，由（1）知平面，则，又，所以平面，所以， 则为二面角的平面角.（10分） 易知，，，所以， 所以， 所以二面角的余弦值为.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）因为，所以，依题意，即， 所以，定义域为，则， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极小值，无极大值；（5分） （2）因为，恒成立， 当时，，，所以， 所以对恒成立，（7分） 令，则当时，恒成立， 因为，（9分） 设， 当，即时，，所以， 即在上单调递减，所以，符合题意；（11分） 当，即时，，， 所以，由零点存在性定理可知存在，使得，（12分） 又二次函数开口向下，对称轴为， 则当时，，即， 所以在上单调递增，即存在，使得， 这与当时，恒成立矛盾，故舍去；（14分） 综上可得， 所以实数的取值范围为.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）由， 解得，故双曲线的标准方程为．（4分） （2）（i）①当与轴垂直时，，解得． （6分） ②当与轴不垂直时，设． 设与联立可得：， 且有，故，（8分） 且．（9分） 将与联立可得：． ， （11分） 而，故． 综上所述，．（12分） （ii）由与圆相切可知：． 设直线为，与联立解得． 由（1）可知，则． 而．（15分） 消去可得：， 故．（17分） 19．（17分） 【解析】（1）根据集的定义，已知是数列的一个集，，，，，，未知. 由，即.解得， 所以.（3分） （2）因为都是数列的集. 根据集的定义，，即，这表明数列是等差数列. 已知，. 设等差数列的公差为. 根据等差数列通项公式，则. 把，，代入得. 移项得，解得. 所以数列的通项公式为.（8分） （3）首先求，因为都是数列的集. 根据集的定义.（9分） 设，则，那么. 由于，，，则. 又因为，所以，则. 根据等比数列求和公式，所以.（12分） 对于，三元子集的个数， 这里，则，而满足-集的三元子集个数， 因为都是集，所以.（14分） 概率. 因为，即.（17分） 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$