1.2.3 运用乘法公式进行计算-【绿卡初中创新题】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步课件(湘教版2024)

第1章 整式的乘法 1.2.3 运用乘法公式进行计算和推理 1.2 乘法公式 学习目标 能运用乘法公式进行计算.（重、难点） 新课导入 做一做 运用乘法公式计算：( x+1 )( x2+1 )( x-1 ). 由于多项式的乘法满足交换律和结合律，结合平方差公式，可得 ( x+1 )( x2+1 )( x-1 )=［( x+1 )( x-1 )］( x2+1 ) =( x2-1 )( x2+1 ) =x4-1. 【例7】运用乘法公式计算： （1）( a+b+c )2； （2）( a-b+c )( a+b-c ). (a+b+c)2=(a+b)2+2·(a+b)·c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2. 因此(a-b+c)(a+b-c)=[a-(b-c)][a+(b-c)] =a2-(b-c)2 =a2-(b2-2bc+c2) =a2-b2+2bc-c2. 解 （1）将完全平方公式1中的x用a+b代入，y用c代入，可得 分析 虽然(1)(2)都是三项多项式的乘法，但可将其变形，使其满足乘法公式的特征. （2）由于(a-b+c)(a+b-c)=[a-(b-c)][a+(b-c)]，于是可运用平方差公式. 【例8】运用乘法公式计算： （1）( a+b )2+( a-b )2； （2）( a+b )2-( a-b )2. 解 （1）( a+b )2+( a-b )2 =a2+2ab+b2+a2-2ab+b2 =2a2+2b2. （2）( a+b )2-( a-b )2 =[( a+b )+( a-b )][( a+b )-( a-b )] =2a·2b =4ab. 还有其他方法吗？ （2）( a+b )2-( a-b )2 =a2+2ab+b2-(a2-2ab+b2) =a2+2ab+b2-a2+2ab-b2 =4ab. 【例9】运用乘法公式计算：(x+y)3. 解 (x+y)3=(x+y)(x+y)2 =(x+y)(x2+2xy+y2) =x3+2x2y+xy2+yx2+2xy2+y3 =x3+3x2y+3xy2+y3. 思考 先填空：(1)15=100×1× +25; (2)25=100×2× +25; (3)35=100×3× +25. 由此猜测：十位数字是a、个位数字是5的两位数可以表示为 ，它的平方可表示为100× × + . 2 3 4 10a+5 (a+1) a 25 十位数字是a、个位数字是5的两位数是10a+5.由完全平方公式1得 (10a+5)2=(10a)2+2·10a·5+52=100a2+100a+25. 又100a(a+1)+25=100a2+100a+25, 于是(10a+5)2=100a(a+1)+25. 因此十位数字是a、个位数字是5的两位数的平方，等于其十位数字a与a+1的积的100倍，再加上25.例如，852=100×8×9+25=7225. 练习 1.计算(2x-3y+1)(2x+3y-1)的结果是（ ） A. 4x2 -12xy+9y2-1 B. 4x2 -9y2-6y-1 C. 4x2 +9y2-1 D. 4x2 -9y2+6y-1 解析： (2x-3y+1)(2x+3y-1) =[2x-(3y-1)][2x+(3y-1)] =(2x )2 -(3y-1)2 =4x2 -(9y2-6y+1) =4x2 -9y2+6y-1. D 2.计算(x-1)(x+1)(x2+1)-(x4+1)的值是（ ） A. -2x2 B. 0 C. -2 D. -1 解析： (x-1)(x+1)(x2+1)-(x4+1) =(x2-1)(x2+1)-(x4+1) =x4-1 -x4-1 =-2. C 3.计算： （1）(2x+3)2(2x-3)2; （2）(x+y-4)(x+y+4); （3）(a+3b)2-2(a+3b)(a-3b)+(a-3b)2. 解 (1)(2x+3)2(2x-3)2 =[(2x+3)(2x-3)]2 =(4x2-9)2 =16x4-72x2+81. (2)(x+y-4)(x+y+4) =(x+y)2-42 =x2+2xy+y2-16. (3)(a+3b)2-2(a+3b)(a-3b)+(a-3b)2 =[(a+3b)-(a-3b)]2 =(6b)2 =36b2. 4.先化简再求值：(2a-1)2-2(a+1)(a-1)-a(a-2)，其中a2=2a-1. 解：(2a-1)2-2(a+1)(a-1)-a(a-2) =4a2-4a+1-2(a2-1)-(a2-2a) =4a2-4a+1-2a2+2-a2+2a =a2-2a+3. 因为a2=2a-1， 所以原式的值为2a-1-2a+3=2. 5.先化简再求值：2b2+(a+b)(a-b)-(a-b)2，其中a=-3，b= . 解： 2b2+(a+b)(a-b)-(a-b)2 =2b2+a2-b2-(a2-2ab+b2) =2b2+a2-b2-a2+2ab-b2 =2ab 因为a=-3，b= ， 所以原式的值为2×(-3)× =-3. 6.一个正方形的边长为m+n，现将一边长增加a，并将它的邻边长减少a，得到一个长方形，求这个长方形的面积. 解：长方形的长为m+n+a，宽为m+n-a， 所以长方形的面积为 (m+n+a)(m+n-a)=(m+n)2-a2=m2-2mn+n2-a2. 课堂小结 运用乘法公式进行计算的步骤： 3.灵活应用公式进行求值计算. 2.有的需要结合其它运算法则. 1.先观察式子的特点，选取适当的乘法公式； 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 绿卡图书—走向成功的通行证 $$