1.2.1 平方差公式-【绿卡初中创新题】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步课件(湘教版2024)

第1章 整式的乘法 1.2.1 平方差公式 1.2 乘法公式 学习目标 1.能根据特殊形式的多项式相乘，推导出平方差公式，了解公式的几何背景，并能进行简单的计算； 2.掌握平方差公式的结构特征，理解公式中字母的含义，并能正确的运用公式.（重、难点） 新课导入 说一说 多项式 x+y 与 x-y 相乘，其积为多少？ ( x+y )( x-y )=x2-xy+yx-y2= . 设a，b都是正数，且a>b.将平方差公式中的x用a代入，y用b代入，可得( a+b )( a-b )= a2-b2. ( x+y )( x-y )=x2-y2. x2-y2 由此可得到平方差公式： 即多项式 x+y 与 x-y 的乘积，等于多项式 x2-y2. 如图1.2-1（1），将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，则剩余部分的面积为 . a b （1） a b a-b （2） 图1.2-1 由此可得( a+b )( a-b )=a2-b2. ( a+b )( a-b )= a2-b2的几何背景是： 将剩余部分沿虚线剪开后，拼成一个如图1.2-1（2）所示的长方形.则这个长方形的长为 ，宽为 ，于是，面积为 . a+b a-b ( a+b )( a-b ) a2-b2 【例1】计算： （1）( 2x+1 )( 2x-1 )； （2）( x+2y )( x-2y ). 分析 （1）（2）中两个多项式的乘法都满足平方差公式的特征，因而可利用该公式进行计算. 解 （1）将平方差公式中的x用2x代替，y用1代替，可得 ( x + 2y )( x - 2y )=x2 - ( 2y )2=x2-4y2. ( 2x + 1 )( 2x - 1 ) =( 2x )2 - 12 =4x2-1. （2）将平方差公式中的y用2y代替，可得 与不用平方差公式相比，哪种方法更简便？ 解 【例2】运用平方差公式计算： . 将平方差公式中的x用-2x代替，y用 y代替，可得 【例3】运用平方差公式计算：( 4a+b )( -b+4a ). 解 ( 4a+b )( -b+4a )=( 4a+b )( 4a-b ) =( 4a )2-b2 =16a2-b2. 由平方差公式得 将括号内的式子转化为平方差公式的形式. 【例4】计算：1 002×998. 解 由于1 002×998=（1 000+2）×（1 000-2），于是由平方差公式得 ( 1 000+2)×( 1 000-2)=1 0002-22 =10 000 000-4 =999 996. 运用平方差公式可以简化一些运算. 因此1 002×998=999 996. 练习 1.判断（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）(x-2)(x+2)=x2-2 ( ) （2）(-2x-1)(2x-1)=4x2-1 ( ) （3）(1+2x)(1−2x)=1−4x2 ( ) （4）(3m+2n)(3m−2n)=9m2−4n2 ( ) （5）(x-2)(-x+2)=x2-4 ( ) （6）(2a2+b2)(2a2−b2)=2a4−b4 ( ) × × √ √ × × 2.运用平方差公式计算： （1）(3a+b)(3a-b)； （2）(−4k+3)(−4k−3) （3）(-1+5a)(-1-5a); （4）(x+1)(x-1)-(x+2)(x-2). 解（1）(3a+b)(3a-b) =(3a)2-b2 =9a2-b2. （2）(−4k+3)(−4k−3) =(-4k)2-32 =16k2-9. （3）(-1+5a)(-1-5a) =(-1)2-(5a)2 =1-25a2. （4）(x+1)(x-1)-(x+2)(x-2) =x2-12 -(x2-22) =x2-1-x2+4 =3. 解（1）105×95 =(100+5)×(100-5) =1002-52 =9975. 3.用公式计算. （1）105×95； （2）100.2 × 99.8. （2）100.2×99.8 =(100+0.2)×(100-0.2) =1002-(0.2)2 =10000-0.04 =9999.96. 课堂小结 平方差公式 紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用. 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意 内容 符号表示：(x+y)(x-y)=x2-y2 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 绿卡图书—走向成功的通行证 $$