立体几何中球的切接（第二课时）课时作业——2025届高三数学一轮复习

2025年高考一轮复习（球的切接第二课时作业） 球的切接第二课时作业 一、矩形模型 1、已知三棱锥A-BCD中，，，则此几何体外接球的表面积为 【解析】如图，O为CD的中点， 根据题意，和都是直角三角形，且 是三棱锥外接球的球心，且外接球的半径 所以外接球的表面积为：. 2、把边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则三棱锥的外接球的球心到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由图所示，易知三棱锥D-ABC的外接球球心为AC的中点O， 易得OB=OC=OD=1，且OC⊥OB，DO⊥面OBC， 计算可得BC=CD=BD=， 设球心到平面的距离为， 则.故选：A 二、斗笠模型 3、正四面体内接于一个半径为R的球，则该正四面体的棱长与这个球的半径的比值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设正四面体的棱长为2a， 正四面体的外接球心为O，的内心为M， 则平面ABC，由平面ABC，则， 由， 则.故选：C 4、在三棱锥中，侧棱，，，则此三棱锥外接球的表面积为_______． 【答案】 【解析】因为， 所以点在底面的射影为的外心， 所以球心在直线上， 设三棱锥外接球的半径为， 因为，所以，， 由可得，，解得， 故此三棱锥外接球的表面积为． 故答案为：． 三、汉堡模型 5、已知直三棱柱中，底面边长分别为、、3，高，则该三棱柱的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不妨设，由余弦定理可得， 且，则， 所以的外接圆半径， 可得该三棱柱的外接球的半径， 所以该三棱柱的外接球的表面积为. 故选：B. 6.直三棱柱的各个顶点都在同一个球面上，若则此球的表面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，棱柱底面三角形中，底面外接圆半径， 又为直三棱柱且， 所以其外接球半径，故球体表面积为． 故选：A 7.已知三棱柱的侧棱垂直于底面，且，，，，若该三棱柱的各顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦定理求，结合正弦定理求解外接圆半径，再根据三棱柱的外接球球半径与三棱柱的高以及外接圆半径的关系得出结果. 【详解】如图所示，在中，，，， 由余弦定理可得，所以， 由正弦定理可得外接圆半径， 设此圆圆心为，球心为，在中，，易得球半径， 故此球的表面积为． 故选：A． 四、圆锥、圆柱、圆台型 8.在半径为5的球体内部放置一个圆锥，则该圆锥体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，当圆锥体积最大时，此时圆锥内接于球，且球心在圆锥的高上，求出球心到圆锥底而的距离，然后表示出圆锥的体积，求导即可得到其最值. 【详解】由题知，如图，当圆锥体积最大时，此时圆锥内接于球，球心在圆锥的高上， 设圆锥的底面半径为r，高为，则， 所以该圆锥的体积， 则．当时，，当时，． 故当时，V取得最大值，且最大值为． 故选：A. 9.如图，半径为4的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的表面积之差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图. 设圆柱底面半径为，球的半径与圆柱底面夹角为，则，， 圆柱的高， 圆柱的侧面积为， 当且仅当时，，圆柱的侧面积最大，为， 球的表面积与圆柱的表面积之差为. 故选：D． 10.已知圆台的内切球半径为2，圆台的体积为28π，则圆台外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆台的上、下底面半径分别为，，易知内切球的轴截面与圆台的轴截面内切， 所以，解得， 又圆台的体积为， 所以，． 设圆台外接球的半径为R，易知圆台的轴截面与外接球的轴截面内接，外接球球心O在线段上，（提示：当O在的延长线上时，设，则，所以，无解，所以O在线段上）, 如图，连接OC，OB， 则，， 设，则， 所以，得， 故， 所以该圆台外接球的表面积为， 故选：D． 五、内切球 11.如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，O为AC，BD的交点，平面，，则四棱锥的内切球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为四边形为菱形，，所以是正三角形，则，． 因为平面，，平面，所以，． 设，则，． 在中，由余弦定理可得，解得， 所以，，． 因为O为的中点，所以．因为，，所以． 同理可证，，所以． 设四棱锥的内切球的半径为r， 则， 所以， 所以四棱锥的内切球的表面积， 故选：C． 12.一个正四面体的棱长为，若该正四面体的表面积为，其内切球的表面积为，则 ． 【答案】 【详解】如图，正四面体棱长为，记为的中心， 则为正四面体的高， 连接并延长，交于点，则，为中点， 正四面体的表面积． 设正四面体内切球的半径，， 则正四面体的体积，即， 则其内切球半径为正四面体高的， 由已知，， 所以， 所以， 因此内切球的表面积， 则． 故答案为：.    1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高考一轮复习（球的切接第二课时作业） 球的切接第二课时作业 一、矩形模型 1、已知三棱锥A-BCD中，，，则此几何体外接球的表面积为 2、把边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则三棱锥的外接球的球心到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 二、斗笠模型 3、正四面体内接于一个半径为R的球，则该正四面体的棱长与这个球的半径的比值为（ ） A． B． C． D． 4、在三棱锥中，侧棱，，，则此三棱锥外接球的表面积为_______． 三、汉堡模型 5、已知直三棱柱中，底面边长分别为、、3，高，则该三棱柱的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 6.直三棱柱的各个顶点都在同一个球面上，若则此球的表面积为（       ） A． B． C． D． 7.已知三棱柱的侧棱垂直于底面，且，，，，若该三棱柱的各顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于（    ）． A． B． C． D． 四、圆锥、圆柱、圆台型 8.在半径为5的球体内部放置一个圆锥，则该圆锥体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 9.如图，半径为4的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的表面积之差为（    ） A． B． C． D． 10.已知圆台的内切球半径为2，圆台的体积为28π，则圆台外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 五、内切球 11.如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，O为AC，BD的交点，平面，，则四棱锥的内切球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 12.一个正四面体的棱长为，若该正四面体的表面积为，其内切球的表面积为，则 ．    1 学科网（北京）股份有限公司 $$