第二章 直线和圆的方程小结教案 -2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高二 学期 秋季 课题 直线和圆的方程小结 教学目标 1.通过本节课对直线和圆的方程相关知识的整合和应用，能发现知识内部的联系，发展逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养。 2.经历知识再建构的过程，体会数形结合、化归等数学思想，形成单元复习观，积累单元复习经验。 3.本节课教学是为了帮助学生系统了解研究解析几何的思维过程，掌握用坐标法解决几何问题的基本流程，提高学生运用所学知识分析问题、解决问题的能力。在单元教学高观点引领、思想性驾驭、结构化关联的基本要求指引下，依托直线与方程单元复习这一载体，以数学文化育人、理性思维育人、实践应用育人，努力实现数学学科育人的目标。 教学重点： 1.复习对直线和圆的方程相关知识的整合和应用，让学生能发现知识内部的联系， 在复习过程中让学生体会到数形结合、转化化归等数学思想。 教学难点： 1.在求圆的方程时计算量大，如何结合图形的几何性质从而简化计算、解决问题。 2.培养学生将几何问题代数化、代数问题几何化的转化划归的思想。 教学过程 环节一 回顾复习 知识重构 环节二 实践应用 形数融通 1.求下列各圆的方程： (1)圆心在直线上，且经过原点和点； (2)圆心在直线上，经过点，且与直线相切. 解：(1)法一：设圆心为，半径为， 则该圆的标准方程为， 由题有 ，解得， 所以圆的标准方程为. 法二：由圆的垂径定理知，圆心必在弦的中垂线上， 线段的中点坐标为，直线的斜率为， 所以线段中垂线方程为，即， 由题知圆心在直线上，所以圆心为两直线的交点， 由，解得圆心为， 则， 所以圆的标准方程为. 解：(2)法一：设圆心为，半径为， 则该圆的标准方程为， 由题有 ，解得， 所以该圆的标准方程为. 法二：因为点在直线上， 所以该圆圆心在经过点且与直线垂直的直线上， 这条直线方程为. 由已知，所求圆的圆心在直线上，由， 解得圆心坐标为，半径为， 所以该圆的标准方程为. 小结：利用待定系数法求圆的方程的一般步骤为： 第一步：选择圆的方程的某一形式； 第二步：根据条件列出关于或的方程（组）； 第三步：解出或，得到标准方程或一般方程. 注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量.例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆的垂径定理；两圆相交时，连心线垂直公共弦；两圆相切时，连心线过切点等． 2.已知圆经过直线及圆的交点，且圆的圆心到直线的距离为，求圆的方程． 解：法一：设圆的方程为，即， 联立两圆方程得 , 则两点坐标为该方程组的解，再由两点式写出的直线方程， 结合点到直线的距离为列方程，解出.计算量很大！ 法二：设圆的方程为，即， 两圆方程相减，得直线的方程为, ∴点到直线的距离为 ， 解得，故所求圆的方程是. ∴圆的方程为或. 思考1：经过直线与圆的交点的圆方程是什么？ 答：. 思考2：过圆与圆 的交点的圆方程是什么？ 答： 或. 小结：(1)为经过直线与圆的交点的圆系方程. (2)为经过圆与圆交点的圆系方程（不包含圆）； 3.已知点及圆： (1)若直线过点，且被圆截得的线段长为，求的方程； (2)一条直线过点且与圆相交于两点，求弦的中点的轨迹方程. 解：(1)如图所示，， 设是线段的中点，则，且， ∴在 Δ中，由勾股定理得， 当的斜率存在时设为，则的方程为， 即， ∴点到直线的距离为，解得， 此时直线的方程为； 当的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为. 综上，直线的方程为或. (2)设弦的中点为，由圆的垂径定理知 ， ∴，即 ， 化简得所求轨迹方程为，经检验该方程符合题意 . 不要忘记最后一步检验！ 4.已知一个圆的圆心坐标为且与圆相交于两点，若点到直线的距离为，求这个圆的方程. 解：设圆的方程为，即， 两圆方程相减，得直线的方程为, ∴点到直线的距离为 ， 解得，故所求圆的方程是. 小结:已知圆和圆， 若将圆的方程相减，将得到一个二元一次方程，即一条直线方程： (1)若圆相交，则该直线为两圆公共弦所在直线；（课后证明） (2)若圆相切，则该直线为经过两圆切点的公切线；（课后证明） (3)若圆外离或内含，则该直线垂直于两圆的圆心连线.（课后证明） 5.设点在圆上，求的最小值. 解:的几何意义是圆上的点与定点之间的距离， ∵圆心与定点的距离是，圆的半径为， ∴的最小值是. 课后探究：(1)已知圆及点，设点为圆的一动点，试探究的取值范围. (2)已知圆及圆内一定点，则过点的弦长最大值为多少？ 最小值呢？ (3)已知圆和，设点为圆上的一个动点，则点到直线的距离最大为多少？最小值呢？ 6.已知实数满足，求代数式的取值范围. 解：将化为， 该方程表示的图形为半圆弧， 如图所示，的几何意义为点与半圆弧上任意一点连线的斜率， 由图可知 . ∵，∴， ∵直线斜率存在，设其为， ∴直线的方程为，即， ∵直线与半圆相切，∴， 解得或(舍去)．∴ ， ∴ . 课后探究：已知实数满足方程，则： 的最大值为多少？最小值呢？ 的取值范围为多少？ 的最大值为多少？最小值呢？ 7.若曲线与曲线有三个不同的交点，求实数的值. 解：由曲线， 所以曲线是以点，1为半径的圆； 曲线则表示两条直线，即直线与直线， ∵与圆有两个交点， ∴ 直线与圆相切， ∴圆心到直线的距离. 环节三 反思升华 提升素养 学科网（北京）股份有限公司 $$