1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题教学设计-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

课程基本信息

学科

数学

年级

高中二年级

学期

秋季

课题

用空间向量研究空间角问题

教学目标

1.能用向量方法得到两条直线所成的角、直线和平面所成的角、两个平面的夹角的向量表达式，解决立体几何中有关角度的度量问题。

教学重点：利用向量的数量积研究两条直线所成的角、直线和平面所成的角、两个平面的夹角。

教学难点：根据问题的条件选择合适的直角坐标系，即基底。

教学过程

导入问题：与距离一样，角度是立体几何中的另一类度量问题。本质上，角度是对两个方向的差的量度，向量是有方向的量，所以利用向量研究角度问题有其独特的优势。本节我们用空间向量研究夹角问题，你认为可以按怎样的顺序展开研究。

 师生活动：学生独立思考、小组交流后，通过全班讨论达成对研究路径的共识，即：直线与直线所成的角→直线与平面所成的角→平面与平面所成的角。

设计意图：明确研究路径，为具体研究提供思路。

1.典型例题，求解直线与直线所成的角

问题1  如图4，在棱长为1的正四面体（四个角都是正三角形）ABCD中，M、N分别为BC，AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值。

 用向量方法求解几何问题时，首先要用向量表示问题中的几何元素，对于本问题，如何用向量表示异面直线AM与CN？它们所成的角可以用向量之间的夹角表示吗？

 追问1：这个问题的已知条件是什么？根据以往的经验，你打算通过什么途径将这个立体几何问题转化为向量问题？

 师生活动：首先，教师分析题目的条件：已知正四面体的棱长和棱与棱之间的夹角，AM和CN是中线，其模长可求，与其他棱的夹角也是确定的，这些条件有

利于向量基底的选取。接着在学生回答问题的基础上，教师补充后形成共识：求异面直线AM和CN的夹角时，主要用基底向量表示出它们的方向即可，这样，异面直线AM和CN的夹角，可以转化为求向量和的夹角。为此，选择为基底并表示向量，。

在此基础上，将此问题推广到一半，学生思考后作答，教师对学生的回答给予补充，梳理出将几何问题转化为向量问题的途径；

途径1：通过建立一个基底，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面等元素，从而把立体几何问题转化为向量问题；

途径2：通过建立空间直角坐标系，用坐标表示问题中涉及的点、直线、平面等元素，从而把立体几何问题转化为向量问题。实际上，空间直角坐标系也是基底，是“特殊”的基底。

追问2：请你通过向量运算，求出向量，夹角的余弦值，进而求出直线AM和CN夹角的余弦值。

师生活动：学生利用向量的数量积求出向量，夹角的余弦值，从而解决问题。

追问3：回顾问题1的求解过程，你能归纳出利用向量求空间直线与直线所成的角的一般方法吗？

师生活动：教师引导学生梳理，得出：将直线与直线所成的角转化为直线的方向向量的夹角，进而利用向量的数量积求解，也就是说，若异面直线l1和l2所成的角为，其方向向量分别是u，v，则

在此基础上，教师板书下面的过程，让学生进一步认识用向量方法解决几何问题的基本步骤：

几何问题→向量问题→向量运算→几何解释。

设计意图：通过用向量方法求解一个空间直线与直线所成角的具体问题，归纳得出用向量方法求解直线与直线所成角的角度的一般方法。

2.类比研究，求解直线与平面、平面与平面所成的角

问题2：你能用向量方法求问题1中直线AB和平面BCD所成的角吗？一般地，