1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系课后练习-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

作业练习 课程基本信息 学科 高中数学 年级 高二 学期 秋季 课题 1.4.1空间中点、直线和平面的向量表示与用空间向量研究空间中直线、平面的平行问题 作业练习 一、单选题 1．已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是（　　） A． B． C． D． 2．若直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则（　　） A．l∥α或l⊂α B．l⊥α C．l⊂α D．l与α斜交 3．有以下命题： ①一个平面的单位法向量是唯一的 ②一条直线的方向向量和一个平面的法向量平行，则这条直线和这个平面平行 ③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交 ④若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条直线的方向向量，则直线和平面垂直 其中真命题的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果，，．给出下列结论，其中正确的是（　　） A． B．AP⊥AD C．AP⊥AB D．是平面ABCD的一个法向量 5．已知平面内的两个向量，且．若为平面的法向量，则的值分别为（　　） A． B． C．1，2 D． 6．下列四个命题中，正确命题的个数是（　　） ①若是空间的一个基底，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得； ②若两条不同直线l，m的方向向量分别是，，则l∥m； ③若是空间的一个基底，且，则A，B，C，D四点共面； ④若两个不同平面α，β的法向量分别是，且，，则α∥β． A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 7．已知空间中三点，，，则（　　） A．与是共线向量 B．直线的一个方向向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是 8．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M,P,Q分别为AB,CD,BC的中点．下列结论正确的是（　　） A．A1M∥D1P B．A1M∥B1Q C．A1M∥平面DCC1D1 D．A1M∥平面D1PQB1 三、填空题 9．已知平面α经过点O（0，0，0），且＝（1，2，－3）是α的一个法向量，M（x，y，z）是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是________________． 10.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=,AF=1，点M在EF上，且AM∥平面BDE，以C为原点，建立空间直角坐标系，则点M的坐标为　　 ． 四、解答题 11．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E,F分别为AB,SC的中点．求证：EF∥平面SAD． 12．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=BC=AD=1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由． 13．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，E为PD的中点，点F在PC上，且． （1）求证：平面PAD； （2）若平面AEF与线段PB交于点G，求的值． 答案：1-6:BAABAD 7.BCD 8.ACD 9. x＋2y－3z＝0.解：由题意得⊥，， 则， 所以x，y，z满足的关系式是x＋2y－3z＝0. 故答案为：x＋2y－3z＝0. 10. 11. 证明:如图,以D为原点,DA,DC,DS所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系. 设AB=a,SD=b,则E,F, 所以=. 由题意可知,CD⊥平面SAD,故=(0,a,0)为平面SAD的一个法向量. 因为=0,EF⊄平面SAD, 所以EF∥平面SAD. 12. 解:存在一点E,使CE∥平面PAB,此时E为PD的中点.理由如下: 如图,以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则由题意可知,P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0),平面PAB的一个法向量为n=(0,1,0),所以=(-1,-1,1),=(0,2,-1). 设=λ(0≤λ≤1),则=(-1,2λ-1,1-λ). 若CE∥平面PAB,则·n=0,即2λ-1=0,所以λ=,此时E为PD的中点. 故在棱PD上存在一点E,使CE∥平面PAB,此时E为PD的中点. 13. 解：证明:平面ABCD,面ABCD,, ,,平面PAD. 解：平面ABCD,,, ,,E为PD的中点,点F在PC上,且． 过A作,交BC于M, 以A为原点,AM,AD,AP所在直线为轴,建立空间直角坐标系, 则由题中等量关系有下列坐标: A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2), F(),E(0,1,1),M(2,0,0),B(2,-1,0), 1，，, 设平面AEF的法向量, 则,取，得 设,, 则,解得,,, ， 平面AEF与线段PB交于点G, ， 解得,故的值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$