精品解析：北京市朝阳区东北师范大学附属中学朝阳学校2024-2025学年高一上学期期中质量监测与反馈数学试卷

2024-2025学年 上学期 高一年级 期中质量监测与反馈数学学科试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 班级：高一（ ）班 姓名： 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 已知集合，，那么集合等于（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数既是偶函数，上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设为上的奇函数，且当时，，则（ ） A. 12 B. C. 13 D. 6. 已知正实数满足，则的最大值是 A. B. 2 C. D. 7. 若定义在上的奇函数在上是增函数，又，则的解集为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是偶函数，递增区间是 B. 是偶函数，递减区间是 C. 是奇函数，递减区间是 D. 是奇函数，递增区间是 9. 若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 公园内常设有如图所示的护栏，柱与柱之间是一条均匀悬链.数学中把这种两端固定的一条(粗细与质量分布)均匀、柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为(其中为非零常数,为无理数,，则以下结论正确的是（ ） A. 若，则为奇函数 B. 若，则函数的最小值为2 C. 若，则方程没有实数根 D. 若，则函数为单调递增函数 二、填空题（每小题5分，共25分） 11. 函数的定义域是__________． 12. 已知幂函数的图象不过原点，则实数m的取值为________． 13. 若函数的单调递增区间是，则实数a的值为________． 14. 设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为________. 15. 设函数的定义域为D，若对，，使得，则称函数具有性质T，给出下列四个结论： ①函数具有性质T； ②函数不具有性质T； ③函数具有性质T； ④若函数，具有性质T，则. 其中，所有正确结论的序号是___________. 三、解答题（共6小题，共85分） 16. 已知全集，集合，. （1）求； （2）求； 17. 已知为上的奇函数，当时，． （1）求的值； （2）求的解析式． （3）写出解不等式的解集． 18. 已知函数． （1）利用函数的单调性定义证明函数在上单调递增； （2）比较，的大小． 19. 已知二次函数的最小值为1，且. （1）求的解析式； （2）若在区间上不单调，求实数的取值范围； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围. 20. 设函数是定义在上的增函数，，对任意总有成立. （1）求与的值； （2）求使成立的的取值范围. 21. 对于非空数集A，若其最大元素为M，最小元素为m，则称集合A的幅值为，若集合A中只有一个元素，则. （1）若，求； （2）若，，求的最大值，并写出取最大值时的一组； （3）若集合的非空真子集两两元素个数均不相同，且，求n的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年 上学期 高一年级 期中质量监测与反馈数学学科试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 班级：高一（ ）班 姓名： 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 已知集合，，那么集合等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据并集的运算求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 2. 下列函数既是偶函数，上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知结合基本初等函数的单调性及奇偶性检验各选项即可判断． 【详解】，是奇函数，不符合题意； 在上为减函数，不符合题意； 为偶函数，在上为增函数，符合题意． 故选：D 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性结合中间量法即可得出答案. 【详解】解：是增函数，故， 而，故. 故选：A. 4. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据得到或，从而得到答案. 【详解】由，解得或. 所以“”是“”的必要而不充分条件 故选：B 【点睛】本题主要考查必要不充分条件，同时考查二次不等式的解法，属于简单题. 5. 设为上的奇函数，且当时，，则（ ） A. 12 B. C. 13 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据为上的奇函数，求出. 【详解】因为为上的奇函数，所以，， 所以. 故选：C 6. 已知正实数满足，则的最大值是 A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式直接求解即可. 【详解】因为正实数满足，所以，当且仅当，即、时等号成立，所以的最大值是. 故选：C. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属基础题. 7. 若定义在上的奇函数在上是增函数，又，则的解集为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的性质得到函数的取值情况，从而得解. 【详解】因为定义在上的奇函数在上是增函数，又， 所以在上是增函数，，， 所以当时，当时， 当时，当时， 所以的解集为或. 故选：D 8. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是偶函数，递增区间是 B. 是偶函数，递减区间是 C. 是奇函数，递减区间是 D. 是奇函数，递增区间是 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的单调性和奇偶性分别判断即可． 【详解】解：，定义域是R， 故是奇函数， 而时，，对称轴是， 故在上单调递减，在单调上递增， 根据函数的对称性，得在上单调递增，在上单调递减． 故选：C． 9. 若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分讨论解不等式，根据只有一个整数解建立不等关系求解即可. 【详解】不等式化为，即， 当时，不等式化为，得，有无数个整数解，不符合题意； 当时，由关于x的不等式只有一个整数解，可知， 不等式的解为，由题意，，解得； 当时，不等式的解为或，有无数个整数解，不符合题意． 综上，实数a的取值范围是. 故选：C 10. 公园内常设有如图所示的护栏，柱与柱之间是一条均匀悬链.数学中把这种两端固定的一条(粗细与质量分布)均匀、柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为(其中为非零常数,为无理数,，则以下结论正确的是（ ） A. 若，则为奇函数 B. 若，则函数的最小值为2 C. 若，则方程没有实数根 D. 若，则函数为单调递增函数 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的函数，结合函数的相关概念逐项分析判断即可得解. 【详解】显然函数的定义域为R， 对于A，当时，，函数是偶函数，A错误； 对于B，当，，函数，B错误； 对于C，由，得或，当时，， 当时，，因此方程没有实数根，C正确； 对于D，当时，有，而函数是减函数，也为减函数， 因此函数是减函数，D错误. 故选：C 二、填空题（每小题5分，共25分） 11. 函数的定义域是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据开偶数次方根号里的数大于等于零和对数的真数大于零即可得解. 【详解】由， 得，解得， 所以函数的定义域是. 故答案为：. 12. 已知幂函数的图象不过原点，则实数m的取值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义和性质分析求解. 【详解】因为为幂函数，则，解得或， 若，则不过原点，符合题意； 若，则过原点，不合题意； 综上所述：实数m的取值为. 故答案为：. 13. 若函数的单调递增区间是，则实数a的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的单调性即可求解. 【详解】函数的单调递增区间是， 由题意得，解得． 故答案为： 14. 设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为________. 【答案】(－1，0)∪(0，1) 【解析】 【分析】首先根据奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，得到f(－1)＝0，且在(－∞，0)上也是增函数，从而将不等式转化为或，进而求得结果. 【详解】因为f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，f(1)＝0， 所以f(－1)＝－f(1)＝0，且在(－∞，0)上也是增函数. 因为＝2·<0， 即或 解得x∈(－1，0)∪(0，1). 故答案为：(－1，0)∪(0，1). 【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有函数奇偶性与单调性的应用，属于简单题目. 15. 设函数的定义域为D，若对，，使得，则称函数具有性质T，给出下列四个结论： ①函数具有性质T； ②函数不具有性质T； ③函数具有性质T； ④若函数，具有性质T，则. 其中，所有正确结论的序号是___________. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据“性质”的定义对四个结论逐一分析，从而确定正确答案. 【详解】①，函数的定义域为， 对，，要使，，且， 只需，由于，所以具有性质，①正确. ②，对于函数，由于时，，所以不存在， 使，所以函数不具有性质，②正确. ③，对于函数，时，，而， 所以不存在，使，所以函数不具有性质，③错误. ④，若函数，具有性质， 则对于，，使， 即，，所以，则，所以④正确. 综上所述，正确的结论为①②④. 故答案为：①②④ 三、解答题（共6小题，共85分） 16. 已知全集，集合，. （1）求； （2）求； 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式求集合，再应用交运算求集合； （2）应用集合的并补运算求集合. 【小问1详解】 由或，， 所以或； 【小问2详解】 由（1）知，故. 17. 已知为上的奇函数，当时，． （1）求的值； （2）求的解析式． （3）写出解不等式的解集． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质可求得的值； （2）设，则，利用奇函数的性质可得出函数在时的解析式，再由设可得出函数的解析式； （3）分、两种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集. 【小问1详解】 解：因为函数为上的奇函数，当时，， 则. 【小问2详解】 解：因为函数为上的奇函数， 当时，，则， 又因为满足，故. 【小问3详解】 当时，，可得，解得或， 此时，或； 当时，，可得，解得或， 此时，. 综上所述，原不等式的解集为. 18. 已知函数． （1）利用函数的单调性定义证明函数在上单调递增； （2）比较，的大小． 【答案】（1） 函数，任取， ， 由，，，，即， 所以函数在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）由定义法证明函数的单调性； （2）通过单调性比较函数值的大小. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，则，当且仅当，即时等号成立， ， 由，有，则，， 函数在上单调递增，所以. 19. 已知二次函数的最小值为1，且. （1）求的解析式； （2）若在区间上不单调，求实数的取值范围； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意设出二次函数的顶点式，再由得，从而得解； （2）由题意得，解之即可得解； （3）将问题转化为在区间上恒成立，从而分类讨论二次函数的最小值即可得解. 【小问1详解】 根据题意，二次函数满足，可得函数的对称轴为， 又函数的最小值为，可设， 又因为，可得，解得， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 由函数，其对称轴为， 要使得函数在区间上不单调， 则满足，解得， 故实数的取值范围为. 【小问3详解】 由函数， 若在上，恒成立， 则在上恒成立， 即在上恒成立， 设，则开口向上，对称轴为， 又在上恒成立，即， 当，即时，在上单调递增， 则，解得，则； 当，即时， ，解得，则； 当，即时，在上单调递减， ，解得（舍去）； 综上，实数的取值范围为． 20. 设函数是定义在上的增函数，，对任意总有成立. （1）求与的值； （2）求使成立的的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法计算可得； （2）依题意可将不等式化为，结合函数的单调性及定义域将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【小问1详解】 因为对任意的总有成立， 令，可得，则， 又，令，则. 【小问2详解】 因为，， 所以不等式即， 又函数是定义在上的增函数， 所以，解得， 即的取值范围为. 21. 对于非空数集A，若其最大元素为M，最小元素为m，则称集合A的幅值为，若集合A中只有一个元素，则. （1）若，求； （2）若，，求的最大值，并写出取最大值时的一组； （3）若集合的非空真子集两两元素个数均不相同，且，求n的最大值. 【答案】（1） （2）的最大值为， （3）n的最大值为11 【解析】 【分析】（1）根据新定义即可求出； （2）由，且要使得取到最大，则只需中元素不同且7,8,9分布在3个集合中，4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分布在3个集合中这样差值才会最大，总体才会有最大值. （3）要n的值最大，则集合的幅值最小，且是集合的两两元素个数均不相同的非空真子集，故对集合中元素分析列出方程解出即可. 【小问1详解】 由集合知，， 所以. 【小问2详解】 因为，， 由此可知集合中各有3个元素，且完全不相同， 根据定义要让取到最大值， 则只需中元素不同且7,8,9分布在3个集合中， 4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分布在3个集合中 这样差值才会最大，总体才会有最大值，所以的最大值为， 所以有一组满足题意， 【小问3详解】 要n的值最大，则集合的幅值要尽量最小，故幅值最小从0开始，接下来为， 因为是集合的两两元素个数均不相同的非空真子集， 不妨设是集合中只有一个元素的非空真子集，此时，例如, 则是集合中有两个元素的非空真子集，且，例如， 同理是集合中有三个元素的非空真子集，且，例如， 是集合中有个元素的非空真子集，且，例如， 所以， 解得或（舍去）， 所以n的最大值为11. 【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $