11.1.1 不等式及其解集教学设计2024-2025学年人教版数学七年级下册

第十一章 不等式与不等式组 11.1 不等式 11.1.1 不等式及其解集 学科网（北京）股份有限公司 1．理解不等式的概念，理解不等式的解与解集的意义，理解它们的区别与联系.（重点） 2．会用不等式表示简单问题的数量关系.（难点） 一、新课导入 [情境导入]一辆汽车在一条规定车速应高于60 km/h，且低于100 km/h 的高速公路上行驶，如何用式子来表示汽车在该高速公路上行驶的路程 s (km)与行驶时间 x (h) 之间的关系呢？ 二、新知探究 （一）不等式的概念 [提出问题]问题1 一辆汽车在高速公路上匀速行驶，6:00时汽车距前方的A地210 km，汽车要在8:00之前驶过A地，车速应满足什么条件？ 分析：设车速是 x km/h.汽车要在8:00 之前驶过 A 地， 从时间上看，就是以x km/h的速度行驶 210 km的时间不到2 h,这个不等关系可以表示为 从路程上看，就是以x km/h的速度行驶2 h的路程要超过210 km，这个不等关系可以表示为 [交流讨论]小组之间交流讨论，式子①和式子②有什么共同的特点. 式子里含有不是“=”的符号. [概念归纳]像①②这样用符号“＜”或“＞”表示不等关系的式子，叫作不等式. 像 a + 2 ≠ a - 2 这样用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式. [针对练习]判断下列式子是不是不等式： (1) -3 ＞ 0； (2) 4x ＋ 3y ＜ 0； (3) x = 3； (4) x2 ＋ xy ＋ y2； (5) x ＋ 2 ＞ y ＋ 5. 解 ：(1)、(2) 、(5)是不等式； (3)、(4)不是不等式. （二）列不等式 [典型例题]例 用不等式表示下列不等关系： （1）a 与15的和大于27； （2）b 的一半与3的差是负数； （3）某县在乡村振兴项目的援助下，共种植1333 hm² 猕猴桃，种植面积超过全县原有猕猴桃种植面积的18倍. 解：（1）a+15 ＞ 27. （2）. （3）设这个县原有猕猴桃种植面积为x hm²，那么1333＞18x,也可以表示为18x＜1333. [针对练习]用不等式表示下列不等关系： （1）x 的 5 倍大于 -7； （2）a 与 b 的和的一半小于 -1； （3）长、宽分别为 x cm，y cm 的长方形的面积小于边长为 a cm 的正方形的面积. 解：（1）5x > -7. （2）. （3）xy ＜ a2. （三）不等式的解与解集 [提出问题]对于不等式 2x > 210 ，当 x =90,110时，不等式成立吗？ [交流讨论]小组之间交流讨论，得出结论： 当 x = 90时，180 < 210，不成立；当 x = 110时，220 >210，成立. [概念归纳]与方程的解类似，我们把使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解.例如：110 是 不等式2x＞210的解，而90不是不等式2x＞210的解. 注：代入法是检验某个值是否是不等式的解的简单、实用的方法. [课件展示]探究 （1）再取x的一些值试一试，看一看哪些是不等式2x＞210的解. （2）观察不等式2x＞210 的解，它们都满足什么条件？ 当 x＞105时，不等式 2x＞210 总成立；而当x＜105或 x=105时，不等式 2x＞210不成立.这就是说，任何一个大于105的数都是不等式 2x＞210 的解，这样的解有无数个；任何一个小于或等于105的数都不是不等式 2x＞210 的解.因此，x＞105表示了能使不等式2x＞210 成立的 x 的取值范围. [概念归纳]一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集.例如 x＞105是不等式 2x＞210 的解集.求不等式的解集的过程叫作解不等式. 想一想： 1. 不等式的解和不等式的解集是一样的吗? 2. 不等式的解与解不等式一样吗？ [归纳总结] 不等式的解与不等式的解集的区别与联系 [针对练习]下列说法正确的是( A ) A. x = 3 是 2x + 1 > 5 的解 B. x = 3 是 2x + 1 > 5 的唯一解 C. x = 3 不是 2x + 1 > 5 的解 D. x = 3 是 2x + 1 > 5 的解集 （四）在数轴上表示不等式的解集 [提出问题]问题2 如何在数轴上表示出不等式 2x＞210的解集 x＞105呢？ 先在数轴上标出表示 105的点 A；点 A 右边所有的点表示的数都大于 105，而点 A 左边所有的点表示的数都小于105.因此可以像下图那样表示不等式的解集 x > 105. 注意：在表示 105 的点上画空心圆圈，表示解集不包含这个点所对应的数. [归纳总结]解集的表示方法： 第一种：用式子 (如 x > 2)，即用最简形式的不等式 (如 x > a 或 x < a ) 来表示. 第二种：用数轴，一般标出数轴上某一范围，其中的点对应的数值都是不等式的解. 数轴表示不等式的解集的步骤：第一步：画数轴；第二步：定界点；第三步：定方向. [针对练习]利用数轴来表示下列不等式的解集. (1)x＞-1； (2)x＜. 变式：已知关于 x 的不等式的解集在数轴上表示如图，你能写出此解集吗? 解：x＜-2. [归纳总结] 用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律： 1.大于向右画，小于向左画； 2.＞，＜ 画空心圆圈. 三、课堂小结 四、课堂训练 1. 下列式子是不等式的有(　D　) ①2x＝20；②3>2；③x≠4－3；④5a＋6b; ⑤x＞2y；⑥1＞3x＋5y； ⑦；⑧＞3. A．2个　　B．3个　　 C．4个　　　D．5个 2.列不等式： (1)a与1的和是正数：____a＋1>0____； (2)a与3的和小于－3：____a＋3<－3____； (3)a与－2的差大于5：___a－(－2)>5____； (4)a的5倍小于10：____5a<10___； (5)a的三分之一大于－7：___a>－7____. 3. 下列不是不等式 5x－3 < 6 的一个解的是 (　B　) A.1 B.2 C.－1 D.－2 4.直接写出x+4＜6的解集，并在数轴上表示出来． 解：x＜2． 这个解集可以在数轴上表示为： 五、布置作业 本节课通过实例创设情境,从“等”过渡到“不等”,进而探究了不等式的概念、解与解集、在数轴上表示不等式的解集.通过本节课教学,学生对不等式有了进一步的认识,能够根据题意列出简单的不等式,并能验证不等式的解及表示不等式的解集. $$