精品解析：湖南省湘潭市2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024年下学期九年级期末考试数学试题卷 时量：120分钟 满分：120分 考生注意： 本试卷分试题卷和答题卡两部分，全卷共三道大题，26道小题．请考生将解答过程全部填（涂）写在答题卡上，写在试题卷上无效，考试结束后，将试题卷和答题卡一并上交． 一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 2. 一元二次方程的二次项系数和常数项分别是（　　） A. ， B. 2，3 C. ， D. ，3 3. 反比例函数的图象位于（　　） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限 4. 某班有30名男同学、20名女同学，学校想了解该班学生的身体素质，随机抽取10名同学进行测试分析，应抽取男同学（　　） A. 4名 B. 6名 C. 8名 D. 10名 5. 用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（　　） A. B. C. D. 6. 在中，，，，则（　　） A. B. C. D. 7. 如图，已知，，，线段的长为（　　） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 8. 密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积y（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度p与体积y是反比例函数关系，它的图象如图所示．则下列说法正确的是（ ） A. 函数解析式为 B. 容器内气体密度随着气体的体积v的增大而增大 C. 当时， D. 当时， 9. 如图，是的中位线，点F在上，．连接并延长，与的延长线相交于点M．若，则线段的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图，点将一条线段分割成长、短两条线段、，若较短线段与较长线段的长度之比等于较长线段的长度与全长之比，这种分割称为黄金分割，这个点叫做线段的黄金分割点．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走米（的长为米）时恰好站在舞台的黄金分割点上，则满足的方程是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分．） 11. 已知点在反比例函数的图象上，则的值是________． 12. 在和中，，若，，，则的周长是___． 13. 从某地某一个月中随机抽取5天的中午，记录这5天12时的气温（单位：），结果如下：22，32，25，13，18，可估计该地这一个月中午12时的平均气温为___________． 14. 已知方程的一个根是，则的值是___． 15. 如图是传送带和水平地面所成斜坡的示意图．若该传送带把某物体从地面传送到离地面10米高的地方，该物体所经过的路程恰好是20米，那么传送带和地面所成斜坡的坡度i为___（答案写成的形式）． 16. 如图，在中，，点是边上的动点（点不与点重合），当______度时，． 17. 在平面直角坐标系中，有两点A（1，2），B（3，1），以原点O为位似中心，将△OAB放大为原来的3倍，得到，则点A的对应点的坐标是_______． 18. 如图，中，，顶点，分别在反比例函数与的图象上，则的正切值为___． 三．解答题（本大题8个小题，共66分．19、20题各6分；21、22题各8分；23、24题各9分；25、26题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 近年来，随着我国数字技术的持续创新，全民的阅读方式也在经历着深刻的变化．某市2022年数字阅读市场规模为400万元，2024年数字阅读市场规模为576万元，求该市数字阅读市场规模的年平均增长率为多少？ 21. 如图，在中，是角平分线，点是边上一点，且满足． （1）求证：． （2）若，，求的长． 22. 露营爱好者在露营时为遮阳和防雨会借助垂直于地面的树干搭建一种“天幕”（如图1），其截面示意图是轴对称图形（如图2），对称轴是垂直于地面的支撑杆，用绳子拉直后系在树干上的点处，使得，，在一条直线上，通过调节点的高度可控制“天幕”的开合，若米，于点．（参考数据：，，） （1）天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度；（结果保留一位小数） （2）下雨时收拢“天幕”，由减小到，求点下降的高度．（结果保留一位小数） 23. 勤劳是中华民族的传统美德，学校要求学生们在家帮助父母做一些力所能及的家务．在学期初，小丽同学随机调查了九年级部分同学暑假在家做家务的总时间，设被调查的每位同学暑假在家做家务的总时间为小时，将做家务的总时间分为五个类别：，，，，．并将调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图． 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查所抽取的样本容量为________；并根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图． （2）扇形统计图中_______，类别所对应的扇形圆心角的度数是_______度． （3）若该校九年级共有800名学生，根据抽样调查的结果，试估计该校九年级有多少名学生暑假在家做家务的总时间不低于20小时? 24. 如图，反比例函数和一次函数的图象相交于点和点，且点的横坐标为1，点的纵坐标为，过点作轴于点，的面积为1． （1）求反比例函数和一次函数的表达式． （2）若一次函数的图象与轴相交于点，求的度数． （3）当时，的取值范围为_______． 25. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，那么称这样的方程为“二倍根方程”．例如，方程的两个根是1和2，则这个方程就是“二倍根方程”． （1）下列方程是“二倍根方程”的有_______；（填序号即可） ①；②；③． （2）如果关于的方程是“二倍根方程”，求的值； （3）如果点在反比例函数的图象上，那么关于的方程是“二倍根方程”吗？请说明理由． （4）如果关于的一元二次方程是“二倍根方程”，试探究、、应满足的数量关系． 26. 综合与实践 问题背景：在数学活动课上，老师带领同学们进行三角形旋转的探究，已知和均为等边三角形，是和的中点，将绕点顺时针旋转． 猜想证明： （1）如图①，在旋转的过程中，当点，点在线段上，且点在的内部时，试猜想线段与线段的数量关系，并加以证明； （2）如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在边上时，连接，试说明（1）的结论是否依然成立，若成立请加以证明；若不成立请说明理由； （3）如图③，若，，连接，设所在直线与所在直线交于点M，在旋转的过程中，当点，，在同一直线上时，在，两点中的其中一点恰好是另一点与点构成的线段的中点，请直接写出此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下学期九年级期末考试数学试题卷 时量：120分钟 满分：120分 考生注意： 本试卷分试题卷和答题卡两部分，全卷共三道大题，26道小题．请考生将解答过程全部填（涂）写在答题卡上，写在试题卷上无效，考试结束后，将试题卷和答题卡一并上交． 一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．利用设k法进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， 故选：C． 2. 一元二次方程的二次项系数和常数项分别是（　　） A. ， B. 2，3 C. ， D. ，3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，先把一元二次方程化为一般式，根据．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．据此求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程整理得， ∴二次项系数和常数项分别为2，3． 故选：B． 3. 反比例函数的图象位于（　　） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质．根据反比例函数的性质：当，双曲线的两支分别位于第二、四象限． 【详解】解：反比例函数中，， 根据反比例函数的性质，该函数的图象位于第二、四象限． 故选：D． 4. 某班有30名男同学、20名女同学，学校想了解该班学生的身体素质，随机抽取10名同学进行测试分析，应抽取男同学（　　） A. 4名 B. 6名 C. 8名 D. 10名 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查样本估计总体，熟练掌握样本估计总体是解题的关键．根据样本进行估计即可． 【详解】解：， 故选B． 5. 用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握配方法成为解题的关键． 运用配方法对一元二次方程进行变形即可解答． 【详解】解： ， 故选：B． 6. 在中，，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，余弦值的计算，掌握余弦的计算方法是解题的关键． 根据题意运用勾股定理可得，由即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， 故选：A ． 7. 如图，已知，，，线段的长为（　　） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，求出，即可求解． 【详解】解：∵, ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 8. 密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积y（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度p与体积y是反比例函数关系，它的图象如图所示．则下列说法正确的是（ ） A. 函数解析式为 B. 容器内气体密度随着气体的体积v的增大而增大 C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据题意确定反比例函数的解析式，难度不大．利用待定系数法确定反比例函数的解析式，再逐一判定即可． 【详解】解：设， 将代入得， 解得， ，故A选项错误，不符合题意； 容器内气体密度随着气体的体积v的增大而减小，故B选项说法错误，不符合题意； 将代入得，解得：， 当时，，故C选项正确，符合题意； 将代入得，解得，故D选项错误，不符合题意． 故选：C． 9. 如图，是的中位线，点F在上，．连接并延长，与的延长线相交于点M．若，则线段的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理及三角形相似的判定与性质，根据是的中位线得到，，从而得到，即可得到，结合，，即可得到答案； 【详解】解：∵是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 10. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图，点将一条线段分割成长、短两条线段、，若较短线段与较长线段的长度之比等于较长线段的长度与全长之比，这种分割称为黄金分割，这个点叫做线段的黄金分割点．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走米（的长为米）时恰好站在舞台的黄金分割点上，则满足的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解题的关键．根据题意得到，则即可求出答案． 【详解】解：由题意可知，点是的黄金分割点，且， ，故， ， 故， 故选A． 二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分．） 11. 已知点在反比例函数的图象上，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入反比例函数的解析式，计算即可得出答案． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 在和中，，若，，，则的周长是___． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查了比的性质，利用比的性质求出，，，即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴，，， ∴的周长是， 故答案为：． 13. 从某地某一个月中随机抽取5天的中午，记录这5天12时的气温（单位：），结果如下：22，32，25，13，18，可估计该地这一个月中午12时的平均气温为___________． 【答案】 【解析】 【分析】求出5天中午12时的平均气温，即可估计该地这一个月中午12时的平均气温． 【详解】解：∵， ∴可估计该地这一个月中午12时的平均气温为， 故答案： 【点睛】此题考查了用样本估计总体，准确计算5天中午12时的平均气温是解题的关键． 14. 已知方程的一个根是，则的值是___． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的意义，将根代入方程求解是解题关键．将代入方程求解，即可解题． 【详解】解：方程的一个根是， ， 解得， 故答案为：． 15. 如图是传送带和水平地面所成斜坡的示意图．若该传送带把某物体从地面传送到离地面10米高的地方，该物体所经过的路程恰好是20米，那么传送带和地面所成斜坡的坡度i为___（答案写成的形式）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，明确坡度的定义．根据题意作出合适的辅助线，由坡度的定义可知，坡度等于坡角对边与邻边的比值，根据题目中的数据可以得到坡度，本题得以解决． 【详解】解：如图，根据题意知米，米， 则米， ∴斜坡的坡度， 故答案为： 16. 如图，在中，，点是边上的动点（点不与点重合），当______度时，． 【答案】70 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定，得出是解题关键．根据题意得出，进而由，，得出答案． 【详解】解：，， ， 时， ，， ． 故答案为：70． 17. 在平面直角坐标系中，有两点A（1，2），B（3，1），以原点O为位似中心，将△OAB放大为原来的3倍，得到，则点A的对应点的坐标是_______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据位似图形的定义，以原点O为位似中心，将原三角形放大3倍，则对应点坐标也变为原来的3倍． 【详解】解：以原点O为位似中心，将△OAB放大为原来的3倍， 则点A的横纵坐标都变为原来的3倍，对应的点或． 故答案是：或． 【点睛】本题考查位似图形，解题的关键是掌握位似图形的定义． 18. 如图，中，，顶点，分别在反比例函数与的图象上，则的正切值为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，反比例函数几何意义，正切的定义，解题的关键在于理解相似三角形面积比等于相似比的平方．过点作轴于点，过点作轴于点，证明，再根据相似三角形性质，反比例函数几何意义结合正切的定义求解，即可解题． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， 顶点，分别在反比例函数与的图象上， ，， ， 故答案为：． 三．解答题（本大题8个小题，共66分．19、20题各6分；21、22题各8分；23、24题各9分；25、26题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数的运算，零指数幂以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 20. 近年来，随着我国数字技术的持续创新，全民的阅读方式也在经历着深刻的变化．某市2022年数字阅读市场规模为400万元，2024年数字阅读市场规模为576万元，求该市数字阅读市场规模的年平均增长率为多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程与增长率，理解数量关系，正确列式求解是关键．设年平均增长率为，由此列一元二次方程求解，结合实际情况得到结论． 【详解】解：设年平均增长率为， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去） ， 答：该市数字阅读市场规模的年平均增长率为． 21. 如图，在中，是角平分线，点是边上一点，且满足． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：平分， ， 又， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． （1）由角平分线的定义可得，结合即可得证； （2）由相似三角形的性质可得，代入计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ， ，， ， 故． 22. 露营爱好者在露营时为遮阳和防雨会借助垂直于地面的树干搭建一种“天幕”（如图1），其截面示意图是轴对称图形（如图2），对称轴是垂直于地面的支撑杆，用绳子拉直后系在树干上的点处，使得，，在一条直线上，通过调节点的高度可控制“天幕”的开合，若米，于点．（参考数据：，，） （1）天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度；（结果保留一位小数） （2）下雨时收拢“天幕”，由减小到，求点下降的高度．（结果保留一位小数） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，掌握锐角三角形的值的计算方法是解题的关键． （1）根据题意可得，，在中，，由即可求解； （2）在中，，如图所示：旋转到，则米，过点作交于点，则，在中，，由，即可求解． 【小问1详解】 解：，且， 平分，， ， ， 在中，， 米， （米），则（米）， 故遮阳宽度约为7.7米； 【小问2详解】 解：∵在中，， （米）， 当从变为， 如图所示：旋转到，则米， 过点作交于点，则， 在中，， 米， ， （米）， 点下降到点的距离为1.0米． 23. 勤劳是中华民族的传统美德，学校要求学生们在家帮助父母做一些力所能及的家务．在学期初，小丽同学随机调查了九年级部分同学暑假在家做家务的总时间，设被调查的每位同学暑假在家做家务的总时间为小时，将做家务的总时间分为五个类别：，，，，．并将调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图． 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查所抽取的样本容量为________；并根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图． （2）扇形统计图中_______，类别所对应的扇形圆心角的度数是_______度． （3）若该校九年级共有800名学生，根据抽样调查的结果，试估计该校九年级有多少名学生暑假在家做家务的总时间不低于20小时? 【答案】（1）50， 补全条形统计图如图： ； （2）32，57.6 （3）448名 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）用类的人数除以所占百分比即可求出本次抽样调查所抽取的样本容量，求出类的人数，再补全条形统计图即可； （2）用类的人数除以总人数即可得出的值，用乘以类所占的百分比即可得解； （3）由样本估计总体的方法计算即可得解． 【小问1详解】 解：本次抽样调查所抽取的样本容量为（人）， 类的人数是（人） 【小问2详解】 解：， 故， 类别所对应的扇形圆心角的度数是： 【小问3详解】 解：（人） 答：估计该校九年级有448名学生暑假在家做家务的总时间不低于20小时． 24. 如图，反比例函数和一次函数的图象相交于点和点，且点的横坐标为1，点的纵坐标为，过点作轴于点，的面积为1． （1）求反比例函数和一次函数的表达式． （2）若一次函数的图象与轴相交于点，求的度数． （3）当时，的取值范围为_______． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握几何图形面积、待定系数法求解析，函数与几何图形、坐标的综合，根据交点求不等式的解集的方法是解题的关键． （1）设，由的面积为1，得到，解出反比例函数解析式为，可得到，运用待定系数法把点，代入一次函数解析式即可求解； （2）根据一次函数与坐标轴的交点可得，则有，在中，即可求解； （3）由图象的性质，根据交点求不等式的解集即可． 【小问1详解】 解：设， ∵的面积为1， ， ， ， 将代入中，得， ， 将代入中，得， ， 将，分别代入中， 得， 解得， ； 【小问2详解】 解：在中，令，则， ， 轴于点，且， 在中，； 【小问3详解】 解：∵点，， ∴当或时，． 25. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，那么称这样的方程为“二倍根方程”．例如，方程的两个根是1和2，则这个方程就是“二倍根方程”． （1）下列方程是“二倍根方程”的有_______；（填序号即可） ①；②；③． （2）如果关于的方程是“二倍根方程”，求的值； （3）如果点在反比例函数的图象上，那么关于的方程是“二倍根方程”吗？请说明理由． （4）如果关于的一元二次方程是“二倍根方程”，试探究、、应满足的数量关系． 【答案】（1）① （2） （3） 解：是“二倍根方程”，理由如下： 点在反比例函数的图象上， ， 方程化为方程， 整理得， 解得，， 方程是“二倍根方程”； （4） 解： 根据“二倍根方程”的概念设一元二次方程的两个根为和， 由根与系数的关系可得：，， 消去可得. ，，之间的关系是． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）分别解各个方程，结合“二倍根方程”的定义判断即可得解； （2）依题意可设关于的方程的两个根为，，由一元二次方程根与系数的关系可知，，求解即可； （3）由题意可得，方程变形为，求出方程的两个根，结合“二倍根方程”的定义判断即可； （4）根据“二倍根方程”的概念设一元二次方程的两个根为和，由根与系数的关系可得：，，求解即可． 【小问1详解】 解：解可得：，， ∵， ∴①是“二倍根方程”； 解可得：，， ∵， ∴②不是“二倍根方程”； 解可得，， ∵， ∴③不是“二倍根方程”； 【小问2详解】 解：依题意可设关于的方程的两个根为，， 由一元二次方程根与系数的关系可知：，， ，； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 26. 综合与实践 问题背景：在数学活动课上，老师带领同学们进行三角形旋转的探究，已知和均为等边三角形，是和的中点，将绕点顺时针旋转． 猜想证明： （1）如图①，在旋转的过程中，当点，点在线段上，且点在的内部时，试猜想线段与线段的数量关系，并加以证明； （2）如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在边上时，连接，试说明（1）的结论是否依然成立，若成立请加以证明；若不成立请说明理由； （3）如图③，若，，连接，设所在直线与所在直线交于点M，在旋转的过程中，当点，，在同一直线上时，在，两点中的其中一点恰好是另一点与点构成的线段的中点，请直接写出此时的长． 【答案】（1） 解：， 理由：连接， ∵和均为等边三角形，是和的中点， ∴，，即， ∴点在同一直线上， ∴， ∴， ∴， 同理，， ； （2） 解：， 证明如下：连接， ∵均是等边三角形， ∴， ∵点O为的中点， ∴， ∴， ∵由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）连接，根据等边三角形的性质得到点在同一直线上，则利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理得，，即可求证； （2）连接，证明，则，即； （3）如图①，当点在同一直线上，连接，先证明 ，继而得到，则，则，可得，故，即可求解；如图②，当点O为中点时，，在中，由勾股定理得，则，而此时三点共线，故点B和点E重合，由点M是直线与直线的交点，得到三点重合，故此时的长为的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：情况一， 如图①，当点在同一直线上，连接， ∵点O为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点M为的中点，点O为中点， ∴， ∴， 即， 解得：； 情况二：∵为等边三角形， ∴， ∵点O为中点，， ∴，， 如图②，当点O为中点时，， ∵等边边长为， ∴在中，， ∴， ∵此时三点共线， ∴点B和点E重合， 又∵点M是直线与直线的交点， ∴三点重合， ∴此时的长为的长， 即， 综上所述，此时的长为或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识点，正确添加辅助线，熟练掌握知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $