平面向量章末检测-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

平面向量章末检测 满分150分，考试用时120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，则（   ） A．12 B． C．8 D． 2．如图，在中，点分别在边上，且，点为中点，则（    ）    A． B． C． D． 3．已知向量，则向量在向量上的投影为（    ） A． B．2 C． D． 4．在锐角中，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 5．我们定义：“”为向量与向量的“外积”，若向量与向量的夹角为，它的长度规定，现已知：在中，若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．在锐角中，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．设的内角的对边分别为，且，若角的内角平分线，则的最小值为（ ） A． B． C． D．8 8．如图，在中，为线段上一点，且，为线段的中点，过点的直线分别交直线、于、两点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知平面向量，满足，，则（   ） A．，一定可以作为一组基底 B．为定值 C．当时，向量在上的投影向量为 D．若向量，的夹角为钝角，则m的取值范围为 10．已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．若，可以作为基底，则 B．若，则 C．若，则 D．若与的夹角为，则或9 11．对于任意两个平面向量和，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．是的必要不充分条件 C． D．若向量在方向上的投影向量为，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．如图所示，四边形内接于圆，，则四边形的面积为 ． 13．在中，点满足为线段的中点，过点作一条直线与边分别交于点两点.设，当与的面积比为时，则的值为 . 14．如图，、是某水域的两直线型岸边，，是的角平分线，且．某养殖户准备经过点安装一直线型隔离网（、分别在、上），围成△养殖区．若、都不超过，则隔离网长度的取值范围是 ． 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点． (1)若，求实数x，y的值； (2)若，求实数的值； (3)如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值． 16.（本小题15分） 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. (1)求角B； (2)若，求的值； (3)若，求b的值. 17.（本小题15分） 在直角坐标平面内，对于向量，记．设，，为直角坐标平面内的向量，． (1)若，求； (2)设，若，求的最大值； (3)若，，求证：． 18.（本小题17分） 在中，角A，B，C对应边为，，，满足 (1)求的大小； (2)（i）已知，若在AC上，且，求BD的最大值； （ii）延长BC至点，使得.若求的大小. 19.（本小题17分） 如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； (3)如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 平面向量章末检测解析版 满分150分，考试用时120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，则（   ） A．12 B． C．8 D． 【答案】B 【详解】易知，即， 又可得； 所以. 故选：B 2．如图，在中，点分别在边上，且，点为中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由点为中点得：，因为，所以， 因为， 所以. 故选：C 3．已知向量，则向量在向量上的投影为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】， 所以向量在向量上的投影为. 故选：C. 4．在锐角中，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在锐角中，，因为，，， 所以，，解得， 所以，， 而， 所以 可得， 所以由正弦定理可知： ， 因为，所以， 所以，即. 故选：A. 5．我们定义：“”为向量与向量的“外积”，若向量与向量的夹角为，它的长度规定，现已知：在中，若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设分别为的中点，连接， 则，则∽，故, 则，故， 又因为，即， 当时，四边形面积最大，最大值为， 故的面积的最大值为， 且，所以的最大值为. 故选：D. 6．在锐角中，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由余弦定理可知：， 在锐角三角形中又有， 即 故答案为：C． 7．设的内角的对边分别为，且，若角的内角平分线，则的最小值为（ ） A． B． C． D．8 【答案】D 【详解】因为在中，，所以，则 又角的内角平分线，则， 又， 则， 即， 化简得：，即，当且仅当时，等号成立， 因此，当且仅当时，等号成立. 故选：D. 8．如图，在中，为线段上一点，且，为线段的中点，过点的直线分别交直线、于、两点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则，所以，， 因为为的中点，则， 因为、、三点共线，设，则， 所以，， 因为，，则，， 所以，， 因为、不共线，所以，，所以，， 所以，，即， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知平面向量，满足，，则（   ） A．，一定可以作为一组基底 B．为定值 C．当时，向量在上的投影向量为 D．若向量，的夹角为钝角，则m的取值范围为 【答案】BC 【详解】由，，得，， 对于A，由，得，解得，此时，不可以作为一组基底，A错误； 对于B，，故为定值2，B正确； 对于C，当时，，， 向量在上的投影向量为，C正确； 对于D，若向量，的夹角为钝角，则，且与不反向共线， 所以，且，解得，D错误. 故选：BC. 10．已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．若，可以作为基底，则 B．若，则 C．若，则 D．若与的夹角为，则或9 【答案】ACD 【详解】对于A，若，可以作为基底，则与不共线， 当与共线时，，，故，可以作为基底时，，故A正确； 对于B，，， ，解得或，故B错误； 对于C，若，则，，故C正确； 对于D，，，或，故D正确. 故选：ACD 11．对于任意两个平面向量和，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．是的必要不充分条件 C． D．若向量在方向上的投影向量为，则 【答案】BCD 【详解】A. 和可能为相反向量，选项A错误. B. 当时，，但. 当或时，，此时， 当且时，由得， 即，故，，， 所以由可得， 所以是的必要不充分条件，选项B正确. C.，由得，选项C正确. D.向量在方向上的投影向量为， 把代入上式，选项D正确. 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．如图所示，四边形内接于圆，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【详解】 在延长线上取点，使，取AB中点， 又因为，所以， 由，可得，所以直线MN过圆心， 在中，，，所以，， 所以梯形高为，， 所以梯形面积为． 故答案为：. 13．在中，点满足为线段的中点，过点作一条直线与边分别交于点两点.设，当与的面积比为时，则的值为 . 【答案】3 【详解】因为，所以，得. 又是的中点，，， 所以. 因为三点共线，所以，且， 所以， 即. 故答案为： 14．如图，、是某水域的两直线型岸边，，是的角平分线，且．某养殖户准备经过点安装一直线型隔离网（、分别在、上），围成△养殖区．若、都不超过，则隔离网长度的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设，，，由题意可得，且， 因为，即， 可得，由题意可知，，， 所以，，由，解得， 所以，， 令，因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，，则， 由余弦定理可得 ，故， 因此，的长的取值范围是. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点． (1)若，求实数x，y的值； (2)若，求实数的值； (3)如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为所以， 所以, 所以. （2）由题意可知：， ， 又因为三点共线，所以存在实数使得, ， 所以，解得：， 所以. （3）易知， 由（2）知， 又因为三点共线,所以，又， 所以：， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 16.（本小题15分） 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. (1)求角B； (2)若，求的值； (3)若，求b的值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1），由正弦定理得，， ， 即， ，， 又，. （2）由已知得， ， ， . （3）由正弦定理，得， 由（1）知，结合，， ，由余弦定理得，，. 17.（本小题15分） 在直角坐标平面内，对于向量，记．设，，为直角坐标平面内的向量，． (1)若，求； (2)设，若，求的最大值； (3)若，，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由题可得， 所以； （2）设，则 因为，当时取等， 因为，当时取等， 等价于且， 得，的最大值为，当且时取得； （3）由，， ， 可设，， 因， ， 则， ， 设，则以为周期， 当时，，由余弦函数单调性可得： ， ，则此时； 当时，，由正弦函数单调性可得： ， ，则此时； 当时，，由正弦函数单调性可得： ， ，则此时； 当时，，由函数单调性可得： ， ，则此时. 综上所述，当时， 因为以为周期，所以当时，， 得， 所以． 18.（本小题17分） 在中，角A，B，C对应边为，，，满足 (1)求的大小； (2)（i）已知，若在AC上，且，求BD的最大值； （ii）延长BC至点，使得.若求的大小. 【答案】(1) (2)（i）的最大值为；（ii）或 【详解】（1）在中，，所以． 因为，所以， 即 化简得． 因为，所以，． 因为，所以． （2） （i）由三角形面积公式可得，即， 在中由余弦定理可得，即， 所以，所以的最大值为， 此时，当且仅当时取等号； （ii）设，，则． 由（1）知，又，所以在中，． 在中，由正弦定理得，即①． 在中，由正弦定理得，即②． ①÷②，得，即，所以． 因为，，所以或，故或． 19.（本小题17分） 如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； (3)如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意可知，、的夹角为， 由平面向量数量积的定义可得， 因为，则，. 则，所以. （2）由，，得，， 且， 所以，， ，则， ， 因为与的夹角为，则，解得. （3）依题意设、， 且，，， 因为为的中点，则， 因为为中点，同理可得， 所以，， 由题意可知，，， 则， 在中依据余弦定理得，所以， 代入上式得，. 在中，由正弦定理， 设，则，且， 所以，，， ， 为锐角，且， 因为，则， 故当时，取最大值， 则 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$