专练07 幂函数、指数函数及对数函数-2025年寒假高一数学核心考点专练（人教A版2019必修第一册）

专题08 幂函数、指数函数及对数函数 一、核心知识 （一）指数幂与对数的运算 1.若，且，则①；② 2.分数指数幂：（1）；（2）注意：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3.指数幂的运算： （1）；（2）；（3）． 3.对数与对数运算 （1）对数式与指数式的转换：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且a≠1)； 特别的：①loga1＝0，②logaa＝1，③alogaN＝N，④ logaaN＝N (a>0，且a≠1). （2）运算法则：若a>0，且a≠1，M>0，N>0，则 ①loga(M·N)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R) （3）换底公式： logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0) （4）常用结论：logab＝； logambn＝logab； logab·logbc·logcd＝logad. （二） 幂函数及其性质 1.幂函数的定义： 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． （1）幂函数的特征：xα的系数是1；xα的底数x是自变量；xα的指数α为常数． （2）幂函数的图象：同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象(如图)． 2.幂函数的性质 （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； （2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； （3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； （4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． （三）指数函数及其性质 1.指数函数的概念：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 2.指数函数的图象与性质 图象 图像特征 在轴的上方，过定点 当逐渐增大时，图象逐渐上升 当逐渐增大时，图象逐渐下降 性质 定义域 值域 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 范围 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 3.指数函数的底数对图象的影响 函数的图象 如图所示：观察图象，我们有如下结论： (1)底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”. 当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快； 当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快. (2)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”. 在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低； 在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”； （四） 对数函数及其性质 1.对数函数：函数（，且）叫做对数函数，定义域为． 其中，以10为底的函数叫常用对数函数；以无理数e为底的函数叫做自然对数函数. 2.对数函数的图象与性质 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0) 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数 3．对数函数图象的常用结论 （1）函数y＝logax与的图象x轴对称； （2）对数函数的图象与底数大小的关系 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b. 由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． （五）函数图象变换 1.函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”） ① ② ③ ④ 注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面. 2.函数图象的对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； 3.函数图象的翻折变换（绝对值变换） ①的图象的图象； （口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方） ②的图象的图象. （口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数） 二、热门考点 考点一：指数幂及对数的运算 经典基础题： 1．计算： ． 【答案】2 【详解】，故答案为：2. 2．计算的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】.故选：C. 3．若与互为相反数，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】与互为相反数，则，即，则.故选：D. 4．若，，则用，表示（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由对数运算性质可得，故选：D. 5．方程的解为 . 【答案】或 【详解】或，因此或. 6．方程的解为 . 【答案】 【详解】由,得,即,而,,,; 7．方程的解为 . 【答案】 【详解】因为,解得.所以原方程的解为. 8．若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】D 【详解】由，得，解得，由，得，解得，所以.故选D 强化训练： 1．计算（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】.故选：C. 2．计算（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】.故选：C. 3．计算（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【详解】因为，所以.故选：B 4．计算（ ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】C 【详解】，故选：C． 5．化简的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】=.故选：D 6．已知，，用a，b表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，. 故选：C. 7．若，则（    ） A． B．12 C．48 D．144 【答案】D 【详解】由.故选：D. 8．若实数，满足，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，，由换底公式得：，. 所以.故选：A 9．不等式的解集为 . 【答案】 【详解】因为，所以原不等式的解集为. 10.不等式的解集为 . 【答案】 【详解】因为或，所以不等式的解集为. 11.方程的解为 . 【答案】 【详解】 原方程可化为:,即, 所以,即,解得,即,所以. 12. 不等式的解集为 . 【答案】 【详解】由得， ∴，∴，故为所求. 考点二：指数幂与对数的应用 经典基础题： 1．汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．若汽车紧急刹车后滑行的距离与刹车时的速度满足关系，某种型号的汽车以的速度行驶时，紧急刹车后滑行的距离为20m．若一辆该型号的汽车以的速度行驶时，突然紧急刹车，则汽车急刹车后的“刹车距离”为（    ） A．20m B．40m C．45m D．60m 【答案】C 【详解】因为汽车紧急刹车后滑行的距离与刹车时的速度满足关系，又，所以，解得，即．当时，解得．故选：C 2．科学家研究发现，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，里氏9.0级地震释放的能量是7.0级地震所释放能量的 倍. 【答案】1000 【详解】由题意，所以，所以，即里氏9.0级地震释放的能量是7.0级地震所释放能量的1000倍.故答案为：1000. 3．三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一.考古学家在测定遗址年代的过程中，利用“生物死亡后体内碳14含量按确定的比率衰减”这一规律，建立了样本中碳14含量随时间（单位：年）变化的数学模型：表示碳14的初始量）.2020年考古学家对三星堆古遗址某文物样本进行碳14年代学检测，检测出碳14的含量约为初始量的，据此推测三星堆古遗址存在的时期距今大约是（    ）（参考数据：） A．2796年 B．3152年 C．3952年 D．4480年 【答案】B 【详解】设三星堆古遗址存在的时期距今大约是x年，则，即， 所以，解得，所以推测三星堆古遗址存在的时期距今大约是年.故选：B 4．把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是，空气的温度是，则后该物体的温度可由公式求得.若将温度分别为和的两块物体放入温度是的空气中冷却，要使得两块物体的温度之差不超过，则至少要经过（取：）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的物块经过后的温度，的物块经过后的温度.要使得两块物体的温度之差不超过，则，即，解得.故选：A. 5．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：驾驶人血液中的酒精含量大于（或等于）毫克/毫升，小于毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于饮酒驾车；含量大于（或等于）毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于醉酒驾车．假设某驾驶员一天晚上点钟喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到毫克/毫升．如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量以每小时的速度减少，则他次日上午最早（    ）点（结果取整数）开车才不构成酒驾．（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】假设经过小时后，驾驶员开车才不构成酒驾，则，即，，则，，次日上午最早点，该驾驶员开车才不构成酒驾.故选：D. 强化训练： 1．2024年1月5日，第40届中国·哈尔滨国际冰雪节，在哈尔滨冰雪大世界园区开幕，现场流光溢彩，游客如湖，充满热情与活力．该园区为了倡导绿色可循环的理念，配备了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物数量）与时间的关系为（为最初污染物数量）．如果前2个小时消除了20%的污染物，那么前6个小时消除了污染物的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意有， 可得，当时，，因此，前6个小时消除了污染物的.故选B． 2．火箭是能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具.1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的理想速度公式：.表示气体相对于火箭的喷射速度，表示火箭的初始质量（火箭壳与推进剂的总质量），表示推进剂用完后火箭的质量，目前液氢液氧推进剂能达到的发动机的喷射速度约为.理想情况下，对于初始质量为24吨的单级火箭，速度要达到，则需装载的推进剂的吨数约为（   ）（参考数据，） A．22.1 B．22.3 C．22.5 D．22.7 【答案】C 【详解】由题意，，， ，，，，代入值可得：，，需装载的推进剂的吨数约为.故选：C 3．牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间分钟后的温度满足，称为半衰期，其中是环境温度．若℃，现有一杯℃的热水降至℃大约用时1分钟，那么水温从℃降至45℃，大约还需要（   ） （参考数据：） A．11分钟 B．10分钟 C．9分钟 D．8分钟 【答案】B 【详解】有题意℃，因为一杯℃的热水降至℃大约用时1分钟，所以，即；设水温从℃降至45℃，需要的时间为分钟，所以，即，所以，所以，所以水温从℃降至45℃，大约还需要10分钟.故选：B. 4．已知某物种年后的种群数量近似满足函数模型：（，当时表示2023年初的种群数量）.自2023年初起，经过年后，当该物种的种群数量不足2023年初的时，的最小值为（参考数据：）（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】D 【详解】由题意可知2023年初的种群数量为时的函数值，故令，即，则，，由于，故n的最小值为19，故选：D 5．当强度为的声音对应的等级为分贝时，有（其中为常数），某挖掘机的声音约为分贝，普通室内谈话的声音约为分贝，则该挖掘机的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设该挖掘机的声音强度为，普通室内谈话的声音强度为，由题意知， 所以，即，所以，故选：B. 6．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（    ）（参考数据：） A．72 B．73 C．74 D．75 【答案】B 【详解】由题，，所以，又由题当时，，即， 所以，令即即，解得，故，所以学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为73.故选：B. 7． “环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的次数至少为参考数据：，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】过滤第一次污染物的含量减少，则为； 过滤第两次污染物的含量减少，则为； 过滤第三次污染物的含量减少，则为； 过滤第n次污染物的含量减少，则为； 要求废气中该污染物的含量不能超过，则，即， 两边取以10为底的对数可得，即，所以， 因为，所以，所以，又，所以， 故排放前需要过滤的次数至少为次．故选：A． 考点三：幂指对函数的概念及求值（求参） 经典基础题： 1．下列函数既是幂函数又是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，由幂函数的定义知是幂函数，由题意可知的定义域为,，所以是奇函数，符合题意；故A正确； 对于B，由幂函数的定义知是幂函数，由题意可知的定义域为,，所以是偶函数，不符合题意；故B错误； 对于C，由幂函数的定义知不是幂函数，不符合题意；故C错误； 对于D，由幂函数的定义知不是幂函数，不符合题意；故D错误； 故选：A. 2．已知函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【详解】函数，则，所以.故选：C 3.已知幂函数满足，则 . 【答案】 【详解】因为函数为幂函数，则，解得或，又因为，所以，故答案为：. 4.已知指数函数，则的值为 . 【答案】27 【详解】因为为指数式，则，解得或，又因为且，可得，即，所以.故答案为：27. 5．函数且过定点，则 . 【答案】 【详解】对于函数且，令，解得，所以， 所以恒过点，即，所以.故答案为： 强化训练： 1．下列函数为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，函数，函数在上单调递减，在定义域R上不单调，A不是；对于B，函数在R上单调递增，B是；对于C，函数在上单调递减，在定义域R上不单调，C不是；对于D，函数在上单调递减，D不是.故选：B 2．已知幂函数的图象经过点，则 ． 【答案】 【详解】因为幂函数的图象经过点，所以，则，所以，则，故答案为：. 3.已知幂函数的图象经过原点，则（    ） A．－1 B．1 C．3 D．2 【答案】C 【详解】解：令，解得或.当时，的图象不经过原点. 当时，的图象经过原点.故选：C 4.函数是指数函数，则a的取值范围是 【答案】 【详解】解：函数是指数函数，且，，由解得或，.所以a的取值范围为：. 5． （且）的图象恒过定点，幂函数过点，则为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】，令，得，，则（且）恒过定点，设，则，即，即，，故选：D. 考点四：指对型复合函数的定义域与值域 经典基础题： 1．下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数，定义域和值域都为R，所以的定义域和值域与相同，故A正确；的定义域为，故B错误；的值域为，故C错误；的定义域为，故D错误；故选：A 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，，即，所以或.故选：C. 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由.所以函数的定义域为.故选：B 4．已知实数x满足不等式，则函数最大值是 ． 【答案】 【详解】由，解得，，当时，取得最大值.故答案为：. 5.已知函数，的最小值是 . 【答案】2 【详解】根据题意得到，，解得，即，则的定义域是．由于函数.化简得到，由于，则，当且仅当，即时取最值． 所以，则的最小值是2．故答案为：2 6．已知函数的最大值为2，则 ． 【答案】6 【详解】因为函数由与复合而成，而在定义域上单调递增，所以当取最大值时，函数取得最大值， 由二次函数的性质易知当时，，此时，所以，解得．故答案为： 7.已知，则的值域是 ． 【答案】 【详解】因为，所以的定义域满足，解得，因为在上单调递增，所以令，又，则， 易知在上单调递增，则当时，；当时，，所以的值域为.故答案为：. 强化训练： 1．函数的定义域是 . 【答案】 【详解】由题意得，解得，故定义域为. 2．函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】由题意可得，则，即且，所以函数的定义域为．故答案为： 3．已知函数，则的定义域为 ． 【答案】 【详解】由题意得，，解得，令，则，故的定义域为.故答案为： 4．已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，设幂函数为，则，故，则，所以的定义域为，故满足，解得.故选：B. 5．函数的值域为 . 【答案】 【详解】由题意函数定义域为，而，不妨设，所以，所以函数的值域为.故答案为：. 6.函数的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为，令，则，则，因为，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 7.若函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在上单调递增，又，，故，令，而函数在上单调递增，则，所以函数的值域为.故选：D. 8.函数在区间上的最小值为 . 【答案】 【详解】，因为，所以，故，故，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：. 考点五：指对型复合函数的单调性与奇偶性问题 经典基础题： 1．下列函数中，既是奇函数，又在是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，是偶函数，不满足条件．对于B，，函数是奇函数，由于均在单调递增，故在单调递增，符合条件，对于C,，则是奇函数，在单调递增,且为正，函数在单调递减，不满足条件．对于D，，函数是奇函数，当时，，，，此时，不是增函数，不满足条件．故选：B． 2.函数的单调递增区间为 ． 【答案】 【详解】由，解得或，所以的定义域为. 函数在上单调递增，的开口向上，对称轴为，根据复合函数单调性同增异减可知的单调递增区间是.故答案为： 3.函数的单调递增区间是 【答案】 【详解】函数的定义域为R，令，则函数在上单调递增，在上单调递减，而函数在定义域上单调递减，因此函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的单调递增区间是.故答案为： 4．已知定义在上的函数，其中是奇函数且在上单调递减，的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】定义在上的函数，因为是奇函数，也是奇函数，所以是奇函数.由.因为是增函数，所以是减函数.又因为是减函数，所以在上单调递减.因为，所以，解得.故选：B. 5.已知幂函数为偶函数，则实数的值为 . 【答案】 【详解】为幂函数，，解得：或；当时，为偶函数，满足题意；当时，为奇函数，不合题意；综上所述：.故答案为：. 6.已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则，∵，∴在上单调递减，由复合函数的单调性可知，在单调递减，∴，则，∴.故选：D 7.设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知，显然在上单调递增，在上单调递减，因为在区间上单调递增，结合复合函数的单调性可知，且，所以. 8．已知且，若函数与在上的单调性相同，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知在上只能是单调递增，所以在上单调递增，所以得.又单调递增，所以.综上得.故选：C 9．已知是R上的增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是R上的增函数，所以，解得，故选A. 强化训练： 1.函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，解得或，由， 则其在上单调递减，在上单调递增，又为单调递增函数，故的单调递减区间.故选：B. 2.（多选）已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．定义域为R B．值域为 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】ABD 【详解】对于A，函数的定义域为R，故A正确；对于B，因为，所以，故函数的值域为，故B正确；对于CD，因为在R上是减函数，在上是减函数，在上是增函数，所以函数在上单调递减，C错误，D正确.故选：ABD. 3．（多选）已知幂函数，则下列说法正确的有（    ） A．或2 B．一定为奇函数 C．一定为增函数 D．必过点 【答案】ACD 【详解】根据幂函数的定义，可得或2，故A正确；当时，为非奇非偶函数，故B错误；或2时，或，都是增函数，故C正确；幂函数均经过点，故D正确.故选：ACD 4.幂函数在单调递减，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为幂函数在上单调递减，所以，得.故答案为： 5.已知函数 在上单调递增，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为在定义域内单调递增，由题意可得：在上单调递增，且，则，解得，所以实数的取值范围为. 6．已知函数在上是增函数，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，在上是增函数；当时，由函数在定义域内单调递增，则函数在上单调递增且大于0恒成立，有解得.综上，的取值范围是.故答案为： 7．若函数在区间上是减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则函数由函数和复合而成，而是减函数，则在上是增函数，从而，所以，由当时，恒成立，所以当时，，解得，综上，的取值范围为.故选：. 8．若不等式对任意的恒成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，即，则对任意恒成立，所以在上恒成立，只需，对于，其在上单调递增，则，所以.故选：C 9．若函数在上单调递减，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意可知，且，所以在上单调递减，因为函数在上单调递减，由复合函数单调性可知，，又由对数型函数定义域可知，，即，综上可知，.故答案为：. 10．已知函数是上的单调递增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知是上的单调递增函数，则，解得．故选：B. 考点六：指对型复合函数的图象识别 经典基础题： 1.已知幂函数的图象过点，则函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】设幂函数的解析式为由幂函数的图象过点，解得 ，其定义域为，且是增函数，当时，其图象在直线的上方，故 C满足题意.故选：C 2．在同一个坐标系中，函数，，的图象可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【详解】因为在同一坐标系中，所以函数，的单调性一定相反，且图象均不过原点，故排除AD；在BC选项中，过原点的图象为幂函数的图象，且由图象可知，所以单调递减，单调递增，故排除B，所以C正确.故选：C. 3．（多选）已知且，，则函数.与的图象可能是（   ） A． B． C．D． 【答案】BD 【详解】因且，，则中必有一个大于1，一个小于1且大于零.当时，有，则B项符合，当时，有，则D项符合.故选：BD. 4．已知（且且），则函数与的图象可能是（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】B 【详解】由，即为，即有；当时，，函数在上为增函数，在为增函数，选项B满足；当时，，函数在上为减函数，在为减函数，四个图象均不满足，在同一坐标系中的图象只能是B． 5．函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数f（x）定义域为，所以函数f（x）是奇函数，排除BC；当x＞0时，，排除D．故选：A 6.（多选）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.数形结合百般好，割裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用两数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式琢磨函数图象的特征，如函数（且）的图像的大致形状可能是（    ） A．     B．   C．  D．   【答案】BD 【详解】当时，函数在上单调递减，当时，在上递增，， 当时，在上递减，，A不满足，D符合题意； 当时，函数在上单调递增，当时，在上递减，， 当时，在上递增，，C不满足，B符合题意. 故选：BD 7.（多选）函数 且的图象可能为（    ） A．B．C．D． 【答案】BC 【详解】当时，，显然当时，函数单调递增，当时，函数单调递减， 函数图象的渐近线为，而，故A，B不符合；对于C，D，因为渐近线为，故，故时，，故选项C符合，D不符合；当时，，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，函数图象的渐近线为，而，故B符合，A，C，D不符合；故选：BC. 强化训练： 1．在同一坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A． B．C． D． 【答案】A 【详解】解：由于中的底数，所以为减函数，所以排除BC，由于中的底数，所以为增函数，所以排除D，故选：A. 2．已知，在同一坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【详解】由题意若，则指数函数单调递增，并过定点，函数单调递减，并过定点，而函数与函数关于轴对称，所以单调递增，并过定点，对比选项可知，只有B选项符合题意.故选：B. 3．当时，在同一坐标系中，函数与的图像是（    ） A． B．  C．   D．   【答案】D 【详解】当时，，函数为单调递减的指数函数，函数为单调递减的对数函数，观察选项可得D符合.故选：D. 4．已知且，函数与的图象是（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】A 【详解】对函数得，故函数的图象应该在轴的左侧，排除BC选项；对D：由的图象看，函数单调递减，所以，但从的图象看：，所以有矛盾，D选项错误；对A：当时，与的图象都吻合，故A正确.故选：A 5．已知，则，且与，且的图象可能为（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【详解】因为，所以，，若，则，排除C，若，则，排除AB.故选：D 6．已知，函数与函数的图象可能是（    ） A． B．  C．  D．   【答案】C 【详解】则，从而，当时，函数与函数在定义域内都是单调递增；当时，函数与函数在定义域内都是单调递减； 函数与函数在定义域内单调性相同.故选：C. 7.函数的大致图象是（   ） A．  B．  C． D．   【答案】B 【详解】，所以，排除AC，且，排除D.故选：B 8．若函数，且的图象过点，则函数的大致图象是（    ） A．  B．C． D．   【答案】B 【详解】由于函数，且的图象过点，故，则，该函数为偶函数，图象关于y轴对称，且上单调递减，在上单调递增，只有B中图象符合该函数图象特点，故选：B 9.函数的部分图象大致为（ ） A．B．C．D． 【答案】A 【详解】定义域为，且，则原函数为奇函数.排除B.再取特殊值，且为正数.排除D.当时，，越大函数值越接近1，排除C.故选：A. 10.函数的大致图象是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【详解】由知：，，偶函数，AC错，，B错，故选：D 考点七：指对幂比较大小 经典基础题： 1.（多选）下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A选项，对于指数函数，因为，指数函数单调递减.又因为，，即.所以，A选项正确. 对于B选项,对于，是单调递减函数，.在单调递增，,所以，B选项错误. 对于C选项,，.是单调递增函数，.所以，C选项正确. 对于D选项,，.是单调递增函数，，则，其倒数关系为.所以，D选项错误.故选：AC. 2．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，，且，所以，所以.故选：A. 3．已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，，∴．故选：D 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为在上为增函数，所以又在R上为增函数， 所以，故.故选：C. 5．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，而，所以.故选：D 6．已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设， ，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是定义在上的偶函数，且在上是增函数，所以在上是减函数，又因为，所以，选B. 7．已知正数a，b，c满足，则a，b，c大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记，则a，b，c分别为函数的图象与图象交点的横坐标，由图可知，.故选：B 强化训练： 1.已知，，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，，单调递减，，所以，即.故选：D 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题，因为，且在上是增函数，所以，即.故选：C. 3．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在上递减，且，所以，即，所以，因为在，且，所以，即，所以.故选：D 4．设，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，，所以，故选：A 5．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上递增，且，所以，即，所以，因为在上递减，且，所以，即，因为在上递增，且，所以，即，所以.故选：B 6．设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，又，， 所以a，b，c的大小关系是.故选：D 7．设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，即，所以，因为， 所以，即，所以，同时，所以， 而，所以．故选：D． 8．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，所以在上单调递增，又，所以，即.故选：D 9．已知定义在上的函数为偶函数，且在区间上是增函数，记，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数为的偶函数，且在上是增函数，则该函数在上为减函数，且有，则，，，因为，，，即，由于函数在为减函数，所以，可得.故选：C． 10．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，根据为上的单调减函数，则在上单调递减，且，，所以函数在上存在唯一的零点，故； 又因为，所以，所以，即，所以，所以，即，所以;因为，所以，所以，即，所以，综上可得：.故选：A. 考点八：解答题 经典基础题： 1．计算下列各式的值． (1)；(2)且 【详解】（1）原式； （2）原式. 2．已知函数. (1)证明：若，则; (2)求的值. 【详解】（1）证明：. 若，则.故. （2）由（1）可知. 又因为，所以. 3．已知函数（且）．（1）求关于的不等式的解集；（2）若函数在区间上的最大值和最小值之和为，求实数的值． 【详解】（1）不等式可化为， ①当时，不等式可化为，解得， 此时不等式的解集为； ②当时，不等式可化为，解得， 此时不等式的解集为. （2）,因为函数单调，且，， 所以，解得． 4．已知是定义在上的偶函数，且时，. (1)求函数在上的解析式，并判断其单调性（无需证明）； (2)若，求实数的取值范围. 【详解】（1）设，则，所以， 又因为是定义在上的偶函数，所以， 则函数在上的解析式为， 函数在上单调递减，在上单调递增； （2）由（1）可知：，所以不等式可化为，结合函数的单调性可知：， 解得：，所以实数的取值范围为. 5．已知是定义域为的奇函数.(1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并利用函数单调性的定义证明； (3)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）是R上的奇函数，，对任意，即， 即，对任意恒成立，，即. （2）为R上的增函数，证明如下：任取，，且， ， ，，，即， 所以函数为R上的增函数. （3）不等式在R上恒成立， ， 又为R上的增函数，在R上恒成立， 即，令，， 上式等价于对恒成立， 即，令，只需即可， 又，开口向下，对称轴为，，， .所以实数的取值范围为. 6．专家研究高一学生上课注意力集中的情况，发现注意力指数与听课时间（单位：）之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象（其对称轴为）的一部分，当时，曲线是函数图象的一部分．专家认为，当注意力指数大于或等于80时定义为听课效果最佳． (1)试求的函数关系式． (2)若不是听课效果最佳，建议老师多提问，增加学生活动环节．请问应在哪一个时间段建议老师多提问，增加学生活动环节？并说明理由． 【详解】（1）当时，设，将代入得，，解得， 故，将代入得，解得， 故，综上， （2）时，令，解得， 时，，解得， 故和这两个时间段建议老师多提问，增加学生活动环节. 强化训练： 1．计算下列各式的值： (1); (2) 【详解】（1）原式. （2）原式. 2．计算：（1）;（2） 【详解】（1） （2） 3．计算以下式子的值： (1)； (2). 【详解】（1）； （2）. 4．已知函数（且）在区间上的最大值是2．(1)求的值；(2)若函数的定义域为，求关于的不等式的解集． 【详解】（1）已知函数（且）在区间上的最大值是2． 时，在区间上单调递减，时，在区间上单调递增， 则有或，解得或. （2）函数的定义域为，则恒成立， 有，由（1）可知，，即，得，解得，即不等式的解集为. 5．已知函数，（其中且）．(1)若函数定义域为R ，求实数的取值范围；(2)判断函数的奇偶性，并说明理由． 【详解】（1）由题意得， 因为函数定义域为， 所以恒成立， 即， 解得，故实数的取值范围. （2）设，定义域需满足：，解得， 故函数的定义域为，定义域关于原点对称， 则， 又因为，即， 所以是偶函数，即是偶函数. 6．已知函数的图象关于原点对称，其中. （1）当时，恒成立，求实数的取值范围； （2）若关于的方程在上有解，求的取值范围. 【详解】（1）因为函数的图象关于原点对称，所以函数为奇函数，所以， 即，解得或（舍）， ， 当时，， ∵当时，恒成立， 所以，即的取值范围为； （2）由（1）知，即， 即，即在上有解， 在上单调递减，， 的值域为， 所以. 7． m，n为函数的两个零点，且．(1)若，求不等式的解集；(2)比较a，b，1的大小关系． 【详解】（1）由换底公式得， 依题意得，两式相乘得 代入，得，由，得，而 故不等式解集为 （2）解法一：因为，故，化简得， 故或，即或. 8．已知函数且.(1)若，函数，求的定义域；(2)若，求的取值范围. 【详解】（1），代入可得： ， 有意义可得，所以， 的定义域为. （2）.因为且，所以恒成立. 若，则函数是增函数. 因为，所以，即. 设，要使时，恒成立， 只需或,解得.故符合题意. 若，则函数是减函数. 因为，所以，即. 结合二次函数的性质可得，当时，不等式不可能恒成立.故不符合题意. 综上，的取值范围为. 9．已知函数.(1)当时，解不等式；(2)若的最大值是，求的值；(3)已知，，当的定义域为时，的值域为，求实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则，解得， 故不等式的解集为. （2）当时，，不合题意； 时，设，令. ①若开口向上没有最大值，故无最大值，不合题意; ②当时，此时对称轴，函数的最大值是， 所以， 解得或(舍)，所以. （3）当时，设，而的对称轴， 所以当时，为增函数，故为增函数. 因为函数的定义域为时，的值域为，， ；， 所以为方程的两根. 故有两个大于1的不同实根.所以， 解得，所以实数的取值范围是. 试卷第4页，总4页 8 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 幂函数、指数函数及对数函数 一、核心知识 （一）指数幂与对数的运算 1.若，且，则①；② 2.分数指数幂：（1）；（2）注意：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3.指数幂的运算： （1）；（2）；（3）． 3.对数与对数运算 （1）对数式与指数式的转换：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且a≠1)； 特别的：①loga1＝0，②logaa＝1，③alogaN＝N，④ logaaN＝N (a>0，且a≠1). （2）运算法则：若a>0，且a≠1，M>0，N>0，则 ①loga(M·N)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R) （3）换底公式： logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0) （4）常用结论：logab＝； logambn＝logab； logab·logbc·logcd＝logad. （二） 幂函数及其性质 1.幂函数的定义： 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． （1）幂函数的特征：xα的系数是1；xα的底数x是自变量；xα的指数α为常数． （2）幂函数的图象：同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象(如图)． 2.幂函数的性质 （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； （2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； （3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； （4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． （三）指数函数及其性质 1.指数函数的概念：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 2.指数函数的图象与性质 图象 图像特征 在轴的上方，过定点 当逐渐增大时，图象逐渐上升 当逐渐增大时，图象逐渐下降 性质 定义域 值域 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 范围 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 3.指数函数的底数对图象的影响 函数的图象 如图所示：观察图象，我们有如下结论： (1)底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”. 当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快； 当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快. (2)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”. 在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低； 在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”； （四） 对数函数及其性质 1.对数函数：函数（，且）叫做对数函数，定义域为． 其中，以10为底的函数叫常用对数函数；以无理数e为底的函数叫做自然对数函数. 2.对数函数的图象与性质 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0) 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数 3．对数函数图象的常用结论 （1）函数y＝logax与的图象x轴对称； （2）对数函数的图象与底数大小的关系 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b. 由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． （五）函数图象变换 1.函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”） ① ② ③ ④ 注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面. 2.函数图象的对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； 3.函数图象的翻折变换（绝对值变换） ①的图象的图象； （口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方） ②的图象的图象. （口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数） 二、热门考点 考点一：指数幂及对数的运算 经典基础题： 1．计算： ． 2．计算的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．若与互为相反数，则有（    ） A． B． C． D． 4．若，，则用，表示（    ） A． B． C． D． 5．方程的解为 . 6．方程的解为 . 7．方程的解为 . 8．若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 强化训练： 1．计算（    ） A． B． C． D． 2．计算（    ） A．2 B． C． D． 3．计算（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．计算（ ） A．2 B．1 C． D．0 5．化简的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知，，用a，b表示为（    ） A． B． C． D． 7．若，则（    ） A． B．12 C．48 D．144 8．若实数，满足，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 9．不等式的解集为 . 10.不等式的解集为 . 11.方程的解为 . 12. 不等式的解集为 . 考点二：指数幂与对数的应用 经典基础题： 1．汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．若汽车紧急刹车后滑行的距离与刹车时的速度满足关系，某种型号的汽车以的速度行驶时，紧急刹车后滑行的距离为20m．若一辆该型号的汽车以的速度行驶时，突然紧急刹车，则汽车急刹车后的“刹车距离”为（    ） A．20m B．40m C．45m D．60m 2．科学家研究发现，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，里氏9.0级地震释放的能量是7.0级地震所释放能量的 倍. 3．三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一.考古学家在测定遗址年代的过程中，利用“生物死亡后体内碳14含量按确定的比率衰减”这一规律，建立了样本中碳14含量随时间（单位：年）变化的数学模型：表示碳14的初始量）.2020年考古学家对三星堆古遗址某文物样本进行碳14年代学检测，检测出碳14含量约为初始量的，据此推测三星堆古遗址存在的时期距今大约是（   ） （参考数据：） A．2796年 B．3152年 C．3952年 D．4480年 4．把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是，空气的温度是，则后该物体的温度可由公式求得.若将温度分别为和的两块物体放入温度是的空气中冷却，要使得两块物体的温度之差不超过，则至少要经过（取：）（   ） A． B． C． D． 5．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：驾驶人血液中的酒精含量大于（或等于）毫克/毫升，小于毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于饮酒驾车；含量大于（或等于）毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于醉酒驾车．假设某驾驶员一天晚上点钟喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到毫克/毫升．如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量以每小时的速度减少，则他次日上午最早（    ）点（结果取整数）开车才不构成酒驾．（参考数据：，） A． B． C． D． 强化训练： 1．2024年1月5日，第40届中国·哈尔滨国际冰雪节，在哈尔滨冰雪大世界园区开幕，现场流光溢彩，游客如湖，充满热情与活力．该园区为了倡导绿色可循环的理念，配备了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物数量）与时间的关系为（为最初污染物数量）．如果前2个小时消除了20%的污染物，那么前6个小时消除了污染物的（    ） A． B． C． D． 2．火箭是能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具.1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的理想速度公式：.表示气体相对于火箭的喷射速度，表示火箭的初始质量（火箭壳与推进剂的总质量），表示推进剂用完后火箭的质量，目前液氢液氧推进剂能达到的发动机的喷射速度约为.理想情况下，对于初始质量为24吨的单级火箭，速度要达到，则需装载的推进剂的吨数约为（   ）（参考数据，） A．22.1 B．22.3 C．22.5 D．22.7 3．牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间分钟后的温度满足，称为半衰期，其中是环境温度．若℃，现有一杯℃的热水降至℃大约用时1分钟，那么水温从℃降至45℃，大约还需要（   ） （参考数据：） A．11分钟 B．10分钟 C．9分钟 D．8分钟 4．已知某物种年后的种群数量近似满足函数模型：（，当时表示2023年初的种群数量）.自2023年初起，经过年后，当该物种的种群数量不足2023年初的时，的最小值为（参考数据：）（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 5．当强度为的声音对应的等级为分贝时，有（其中为常数），某挖掘机的声音约为分贝，普通室内谈话的声音约为分贝，则该挖掘机的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为（    ） A． B． C． D． 6．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（    ）（参考数据：） A．72 B．73 C．74 D．75 7． “环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的次数至少为参考数据：，（    ） A． B． C． D． 考点三：幂指对函数的概念及求值（求参） 经典基础题： 1．下列函数既是幂函数又是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D． 3.已知幂函数满足，则 . 4.已知指数函数，则的值为 . 5．函数且过定点，则 . 强化训练： 1．下列函数为增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知幂函数的图象经过点，则 ． 3.已知幂函数的图象经过原点，则（    ） A．－1 B．1 C．3 D．2 4.函数是指数函数，则a的取值范围是 5． （且）的图象恒过定点，幂函数过点，则为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点四：指对型复合函数的定义域与值域 经典基础题： 1．下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．已知实数x满足不等式，则函数最大值是 ． 5.已知函数，的最小值是 . 6．已知函数的最大值为2，则 ． 7.已知，则的值域是 ． 强化训练： 1．函数的定义域是 . 2．函数的定义域为 ． 3．已知函数，则的定义域为 ． 4．已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．函数的值域为 . 6.函数的最小值为 ． 7.若函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 8.函数在区间上的最小值为 . 考点五：指对型复合函数的单调性与奇偶性问题 经典基础题： 1．下列函数中，既是奇函数，又在是增函数的是（   ） A． B． C． D． 2.函数的单调递增区间为 ． 3.函数的单调递增区间是 4．已知定义在上的函数，其中是奇函数且在上单调递减，的解集为（   ） A． B． C． D． 5.已知幂函数为偶函数，则实数的值为 . 6.已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7.设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知且，若函数与在上的单调性相同，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知是R上的增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 强化训练： 1.函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 2.（多选）已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．定义域为R B．值域为 C．在上单调递增 D．在上单调递减 3．（多选）已知幂函数，则下列说法正确的有（    ） A．或2 B．一定为奇函数 C．一定为增函数 D．必过点 4.幂函数在单调递减，则实数a的取值范围是 ． 5.已知函数 在上单调递增，则实数的取值范围为 . 6．已知函数在上是增函数，则的取值范围是 . 7．若函数在区间上是减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．若不等式对任意的恒成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．若函数在上单调递减，则实数的取值范围为 . 10．已知函数是上的单调递增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点六：指对型复合函数的图象识别 经典基础题： 1.已知幂函数的图象过点，则函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   2．在同一个坐标系中，函数，，的图象可能是（    ） A．B． C． D． 3．（多选）已知且，，则函数.与的图象可能是（   ） A． B． C．D． 4．已知（且且），则函数与的图象可能是（    ） A．  B．  C．  D．   5．函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 6.（多选）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.数形结合百般好，割裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用两数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式琢磨函数图象的特征，如函数（且）的图像的大致形状可能是（    ） A．     B．   C．  D．   7.（多选）函数 且的图象可能为（    ） A．B．C．D． 强化训练： 1．在同一坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A． B．C． D． 2．已知，在同一坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A．B．C． D． 3．当时，在同一坐标系中，函数与的图像是（    ） A． B．  C．   D．   4．已知且，函数与的图象是（    ） A．  B．  C．  D．   5．已知，则，且与，且的图象可能为（    ） A．B．C．D． 6．已知，函数与函数的图象可能是（    ） A． B．  C．  D．   7.函数的大致图象是（   ） A．  B．  C． D．   8．若函数，且的图象过点，则函数的大致图象是（    ） A．  B．C． D．   9.函数的部分图象大致为（ ） A．B．C．D． 10.函数的大致图象是（    ） A．B．C．D． 考点七：指对幂比较大小 经典基础题： 1.（多选）下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．设，则（    ） A． B． C． D． 6．已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设， ，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．已知正数a，b，c满足，则a，b，c大小关系是（    ） A． B． C． D． 强化训练： 1.已知，，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．设，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6．设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 8．已知，则（    ） A． B． C． D． 9．已知定义在上的函数为偶函数，且在区间上是增函数，记，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 10．已知，，则（    ） A． B． C． D． 考点八：解答题 经典基础题： 1．计算下列各式的值． (1)；(2)且 2．已知函数. (1)证明：若，则;(2)求的值. 3．已知函数（且）．（1）求关于的不等式的解集；（2）若函数在区间上的最大值和最小值之和为，求实数的值． 4．已知是定义在上的偶函数，且时，. (1)求函数在上的解析式，并判断其单调性（无需证明）； (2)若，求实数的取值范围. 5．已知是定义域为的奇函数.(1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并利用函数单调性的定义证明； (3)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 6．专家研究高一学生上课注意力集中的情况，发现注意力指数与听课时间（单位：）之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象（其对称轴为）的一部分，当时，曲线是函数图象的一部分．专家认为，当注意力指数大于或等于80时定义为听课效果最佳．(1)试求的函数关系式．(2)若不是听课效果最佳，建议老师多提问，增加学生活动环节．请问应在哪一个时间段建议老师多提问，增加学生活动环节？并说明理由． 强化训练： 1．计算下列各式的值： (1); (2) 2．计算：（1）;（2） 3．计算以下式子的值： (1)； (2). 4．已知函数（且）在区间上的最大值是2．(1)求的值；(2)若函数的定义域为，求关于的不等式的解集． 5．已知函数，（其中且）．(1)若函数定义域为R ，求实数的取值范围；(2)判断函数的奇偶性，并说明理由． 6．已知函数的图象关于原点对称，其中. （1）当时，恒成立，求实数的取值范围； （2）若关于的方程在上有解，求的取值范围. 7． m，n为函数的两个零点，且．(1)若，求不等式的解集；(2)比较a，b，1的大小关系． 8．已知函数且.(1)若，函数，求的定义域；(2)若，求的取值范围. 9．已知函数.(1)当时，解不等式；(2)若的最大值是，求的值；(3)已知，，当的定义域为时，的值域为，求实数的取值范围. 试卷第4页，总4页 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$