预习07 排列与排列数（八大考点）-2025年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

2025年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 预习07 排列与排列数 知识点 1 ：排列 ①排列的定义：一般地，从n个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. ②排列数、排列数公式：从n个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示，其中，，且. 知识点 2 ：排列问题 问题 方法 “在”与“不在”的有限制条件的排列问题 既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先. 相邻问题 “捆绑法”：把相邻元素看作一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列 不相邻问题 “插空法”：先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空挡中 定序问题 先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 正面考虑比较复杂的问题 “间接法”，反面入手 考点01 排列的概念 【方法点拨】判断是不是排列问题,要抓住排列的本质特征：①取出的元素无重复；②取出的元素必须按顺序排列. 【例1】（多选）下列问题是排列问题的是（ ） A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法 B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法 C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少个向量 D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种 【答案】BC 【详解】对于A，8名同学中选取2名，不涉及顺序问题，不是排列问题，A错误； 对于B，“入座问题”，与顺序有关，是排列问题，B正确； 对于C，确定向量涉及顺序问题，是排列问题，C正确； 对于D，4个数字中任取2个，根据乘法交换律知，结果不涉及顺序问题，不是排列问题，D错误． 故选：BC 【例2】判断正误，正确的写“正确”，错误的写“错误”． （1）123与321是相同的排列．( ) （2）同一个排列中，同一个元素不能重复出现．( ) （3）在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．( ) （4）从4个不同元素中任取3个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．( ) 【答案】 错误 正确 错误 错误 【详解】（1）根据排列的定义可得123与321是不相同的排列，故错误； （2）根据排列的定义可知，同一个排列中，同一个元素不能重复出现，故正确； （3）根据排列的定义知，在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列发生变化，故错误； （4）从4个不同元素中任取3个元素，还要按一定的顺序排成一列才是排列，故错误. 故答案为：错误；正确；错误；错误. 【变式1-1】（多选）下列选项中，属于排列问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从，，，中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从，，，中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【答案】ACD 【详解】对于A项：从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题，故A项正确； 对于B项：有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，可分为四组，三人一组无先后顺序，不属于排列问题，故B项错误； 对于C项：从，，，中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题，故C项正确； 对于D项：从，，，中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题，故D项正确. 故选：ACD. 【变式1-2】下列问题是排列问题的是（    ） A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？ B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？ C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？ 【答案】B 【详解】选项A：从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，选出的2人并未排序， 因而不是排列问题，不合题意； 选项B：10个人互相通信一次，选出2人要分出寄信人和收信人， 是排列问题，适合题意； 选项C：平面上有5个点，任意三点不共线，从中任选2个点 即可确定1条直线，这2个点不分顺序. 因而不是排列问题，不合题意； 选项D：从1，2，3，4四个数字中，任选两个数字相加即得1个结果， 这2个数字不分顺序，因而不是排列问题，不合题意. 故选：B． 【变式1-3】（1）从四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？ （2）写出从4个元素中任取3个元素的所有排列． 【答案】（1）12；（2）答案见解析 【详解】 （1）由题意作“树形图”，如下． 故组成的所有两位数为，共有12个． （2）由题意作“树形图”，如下． 故所有的排列为：，. 考点02 排列数的计算 【方法点拨】①从排列的直观意义理解弄清楚和的含义； ②排列数公式有两种形式,可以根据要求灵活选用. 【例3】（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【详解】. 故选：B 【例4】可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由排列数公式2）， 可知. 故选：B. 【变式2-1】计算 （    ） A．9×3 B． C．9×8×7 D．9×8×3 【答案】C 【详解】. 故选：C 【变式2-2】计算下列各式． (1)； (2)． 【答案】(1)480 (2)16 【详解】（1）； （2）. 【变式2-3】的值为 ． 【答案】18或22 【详解】由已知可得，结合，解得或3， 当时，， 当时，． 故答案为：18或22 考点03 排列数方程和不等式问题 【例5】（多选）满足不等式的的值可为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】AB 【详解】因为，所以， 即，解得， 又，，所以n的值为3，4． 故选：AB. 【例6】解方程：.（为自然数） 【答案】 【详解】由可得， 由于为大于不小于3的自然数，所以， 化简得，解得， 【变式3-1】，则 . 【答案】9 【详解】 ， 所以，故， 故答案为：9 【变式3-2】求满足的整数的值. 【答案】8 【详解】因为得，解得， 又，为整数，所以. 【变式3-3】若，则 . 【答案】6 【详解】由可得，所以， 故答案为：6 考点04 全排列问题 【例7】10名学生排成两排照相，第一排6人，第二排4人，共有 种不同的排列方式． 【答案】3628800 【详解】由题意，相当于把10人作全排列，则有. 故答案为：3628800. 【例8】将5位外籍球员分配到、、、四个甲级队中，每个队至少被分配到一位球员，且全部分配完，则甲、乙两位球员分在同一个队的分配方案有 种． 【答案】24 【详解】甲、乙两位球员分在同一个队的分配方案，如下， 先将甲乙捆绑看作一个人，再把4人作全排，有种. 故答案为：24 【变式4-1】，中，、、是中的不同元素，则所有满足条件的一元二次方程共有 个． 【答案】24 【详解】因为集合中任意三个元素之间都是互质， 所以所有满足条件的一元二次方程共有个， 故答案为：24 【变式4-2】5本不同的教科书分给5位同学，每人一本，则不同的分配方法有 种． 【答案】120 【详解】5本不同的教科书分给5位同学，每人一本，则不同的分配方法有种， 故答案为：120 【变式4-3】某校举办“中华颂”朗诵比赛，现有3名男生和3名女生报名，需将这6名同学分为3组，每组由1名男生和1名女生组成，则有 种分组方法.（请用数字作答） 【答案】6 【详解】依题意，将6名同学分为3组，每组由1名男生和1名女生组成， 可视3名男同学为3个位置，将3名女同学安排到3个位置，不同安排方法数为种. 故答案为：6 考点05 元素有限制的排列问题 【方法点拨】对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法. 【例9】甲、乙、丙等人站成一排，要求甲、乙不站在丙的同一侧，则不同的站法共有 种． 【答案】 【详解】先站甲、乙、丙人，共有种不同的站法， 再站剩余人，先将1人排到甲、乙、丙3人之间的空位中， 最后将剩余的1人排到前面4人之间的空位中， 共有种不同的站法， 根据分步乘法计数原理，不同的站法共有种． 故答案为：40 【例10】5个人排成一排，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能站在排头或排尾，那么不同站法总数为（    ） A．18 B．36 C．48 D．60 【答案】B 【详解】甲在排头或排尾站法有种，再让乙在中间3个位置选一个，有种站法，其余3人有种站法， 所以共有种站法， 故选：B 【变式5-1】某校A，B，C，D，E五名学生分别上台演讲，若A须在B前面出场，则不同的出场次序有（    ） A．18种 B．36种 C．60种 D．72种 【答案】C 【详解】因为A，B，C，D，E五名学生分别上台演讲，且A须在B前面出场， 所以有种出场顺序. 故选：C 【变式5-2】从10名数学老师中选出3人安排在3天的假期中值班，每天有且只有一人值班．若老师甲必须参加且不安排在假期第一天值班，则不同的值班安排方法种数为 ． 【答案】144 【详解】依题意，安排老师甲有种，从除甲外的9名老师中任选2人并安排值班有种， 所以不同的值班安排方法种数为（种）. 故答案为：144 【变式5-3】某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，那么安排这6项工程不同的排法种数是 ． 【答案】120 【详解】六个元素进行排序，保证甲、乙、丙三个元素顺序不变，再加入三个元素进行排序， 共（种）． 故答案为：120. 考点06 相邻问题的排列问题 【方法点拨】相邻问题采用捆绑法 【例11】6名同学派出一排照相，其中甲、乙两人相邻的排法共有（   ）种 A．240种 B．360种 C．480种 D．540种 【答案】A 【详解】因为甲和乙两人相邻，所以将两人看成一个整体，有种方法， 将这两人看成一个元素，和其他四名同学，共5个元素全排列，有种方法， 所以甲，乙两人相邻的排法共有种方法. 故选：A 【例12】为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有《走，去永州》《扬鞭催马运粮忙》《数幸福》《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则不同的排列种数为（   ） A．6 B．12 C．16 D．20 【答案】B 【详解】由于《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则两者“捆绑”， 所以不同的排列种数为. 故选：B 【变式6-1】3名男同学、2名女同学排成一行，则至多2名男生相邻的排法有 种． 【答案】84 【详解】由已知名同学的全排列数为：种,其中不满足题意的排法，即名男同学全部相邻. 此处应用捆绑法，先将名男生作为一个整体，与女生进行全排列，再对名男生进行全排列， 得到名男生全部相邻的排法总数为：种，在总数当中减去不满足题意的排法， 得到满足题意的排法有：种. 故答案为：84 【变式6-2】七位渔民各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼，甲､乙渔船要排在一起出行，丙必须在最中间出行，则不同的排法有（   ） A．96种 B．120种 C．192种 D．240种 【答案】C 【详解】由题意可知，丙排在第4位，则甲乙两人可能在第1、2或2、3或5、6或6、7位， 故不同的排法有种. 故选：C. 【变式6-3】春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚”．通过海选，现有6个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（    ） A．240种 B．188种 C．144种 D．120种 【答案】D 【详解】先将“相声”与“小品”排在一起，有种排法，再与其它4个节目排序，有种排法， 最后考虑杂技节目在前三位或在后三位情况一样，所以有种． 故选：D. 考点07 不相邻的排列问题 【方法点拨】不相邻问题采用插空法 【例13】若某天上午安排语文、数学、英语、物理和体育各一节课，则数学和体育不连排的概率是 【答案】/ 【详解】上午安排语文、数学、英语、物理和体育各一节课，共有种方法， 记事件：上午安排语文、数学、英语、物理和体育各一节课，且数学和体育不连排， 则事件共有种排法，所以数学和体育不连排的概率是， 故答案为：. 【例14】学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，第1个节目和最后1个节目已确定，其余9个节目中有4个音乐节目，3个舞蹈节目，2个曲艺节目．由于文艺晚会受时间影响，需要分两场演出，若要求4个音乐节目安排在第一个晚上，舞蹈和曲艺节目安排在第二个晚上，并且舞蹈和曲艺节目各自不能相邻，原来第一个和最后一个节目位置不变，有多少种不同的排法？ 【答案】种 【详解】解：第一步先排音乐节目，有种排法； 第二步再排曲艺节目，有种排法； 第三步再排舞蹈节目，把舞蹈放到曲艺节目之间，有种排法， 所以共有种排法． 【变式7-1】某校举办校运动会，某班级选出跑步较好的4人参加米接力赛，其中甲、乙两人不跑相邻棒的排法有（    ） A．8种 B．12种 C．16种 D．24种 【答案】B 【详解】先对剩下两个人进行全排列，有种，此时有3个空位置，再对甲、乙两人进行排列，有种， 根据分步乘法计数原理，共有种排法． 故选：B 【变式7-2】象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子，现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则同色棋子不相邻的排列方式有（    ） A．120种 B．24种 C．36种 D．12种 【答案】D 【详解】先将3个红色的“将”“车”“马”棋子进行全排列，有种选择， 3个红色棋子中间有2个空，将2个黑色的“将”“车”棋子进行插空，有种选择， 则同色棋子不相邻的排列方式有种. 故选：D 【变式7-3】甲、乙、丙等八个人围成一圈，要求甲、乙、丙三人两两不相邻，则不同的排列方法有（    ） A．720种 B．1440种 C．2880种 D．4320种 【答案】B 【详解】环排问题线排策略，增加一个凳子． 九个凳子排一排，甲放一号和九号，中间剩余七个位置可选，再将其他五人放入中间有种． 甲、乙、丙两两不相邻．乙、丙只能放中间四空中共有种， 由分步计数原理得总数种． 故选：B. 考点08 数字的排列问题 【方法点拨】排数字问题常见的解题方法： ①两优先排法:特殊元素优先排列,特殊位置优先填充.如“0”不排“首位”. ②分类讨论法:按照某一标准将排列分成几类,然后按照分类加法计数原理进行计数,要注意如下两点:一是分类标准必须恰当;二是分类时要做到不重不漏. 【例15】将0，1，2，10四个数字排成一行，可以组成不同的5位数的个数是（    ） A．6 B．12 C．15 D．18 【答案】C 【详解】将0，1，2，10四个数字排成一行，且数字0不在首位， 则有种， 数字1和0相邻且1在0之前的排法有种， 去掉重复的（类似10102这样的数），满足题意的不同的5位数的个数为， 故选：C 【例16】用，，，，，这六个数字可以组成（   ）个无重复数字，符合“小于4310的四位偶数” A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当千位小于时，有种， 当千位是，百位小于时，有种， 当千位是，百位是，十位小于时，有种， 由分类计数原理，可得小于的四位偶数共有， 故选：B. 【变式8-1】用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，则1，2相邻，而3，4不相邻的数有 . 【答案】 【详解】∵1，2相邻，而3，4不相邻， ∴1，2相邻要看做一个元素，而3，4不相邻要用插空法， 首先把1，2看做一个元素和5两个元素排列（1，2内部还可排列）有， 再在两个元素形成的三个空中把3，4排列有， 所以共有． 故答案为：． 【变式8-2】用1，2，3，4，5，6写出没有重复数字的六位数中，满足相邻的数字奇偶性不同的数有 个. 【答案】72 【详解】依题意，可先对三个奇数1，3，5进行全排列，共有种排法， 再对构成的4个空隙中，连续前三个或后相邻的三个空隙中放入偶数2，4，6，共有种排法， 根据分步计数原理可得共有种. 故答案为：72 【变式8-3】用0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？（列式并计算） (1)六位数； (2)六位奇数； (3)能被5整除的六位数； (4)组成的六位数按从小到大顺序排列，第265个数是多少？ 【答案】(1)600； (2)288； (3)216； (4)310245. 【详解】（1）先排首数，有种，最后排其它有种， 根据分步计数原理得，六位数有种. （2）先排个位数，有种， 由0不能在首位，则排首位有4种，最后排其它有种， 根据分步计数原理得，六位奇数有个. （3）能被5整除的六位数，则个位数是0或5， 个位数是0，则有种， 个位数是5，先排首位，0不作为首位，则有种排法，其余位置有种排法， 所以共有个. （4）首位数字不能为0，首位数字为1有种， 首位数字为2，有种， 首位数字为3，万位数字上为0，有种，此时所有6位数有个， 所以第264个数是，第265个数是. 1．（2023-24高二上·广东汕头 期末）的值是（   ） A．480 B．520 C．600 D．1320 【答案】C 【详解】. 故选：C. 2．（2023-24高二下·山东菏泽·期中），，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因且，表示80个连续正整数的乘积， 其中最大因数为，最小因数为，由排列数公式的意义得结果为， 所以. 故选：A 3．（2024·河南周口·模拟预测）2024年春节档贺岁片《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没·逆转时空》异常火爆，甲、乙等5人去观看这三部电影，每人只观看其中一部，甲、乙不观看同一部电影，则选择观看的方法有（   ） A．243种 B．162种 C．72种 D．36种 【答案】B 【详解】先安排甲、乙两人，有种方法，再安排其余3人，每人有3种安排方法，故共有（种）方法. 故选：B. 4．（2023-24高二下·江苏南京·期中）用0，1，2，…，5这6个数字组成无重复数字的三位数的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】先排百位有种排法， 再排十位和个位，有种排法， 故组成无重复数字的三位数的个数是个． 故选：C． 5．（2023-24高二上·全国·课前预习）若，则的个位数字是（    ） A．3 B．8 C．0 D．5 【答案】A 【详解】当时，， 当时，的个位数字为0， 又， 的个位数字为3． 故选：A． 6．（2023-24高二下·四川遂宁·阶段练习）北京时间2023年10月26日19时34分，神舟十六号航天员乘组（景海鹏，杜海潮，朱杨柱3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）人驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合影留念，唐胜杰与江新林相邻，景海鹏不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有（    ） A．144种 B．204种 C．156种 D．240种 【答案】C 【详解】第一步，唐胜杰、江新林2人相邻，有种排法； 第二步，分景海鹏站最右边与景海鹏不站最左边与最右边两种情况讨论 第一种情况：景海鹏站最右边，共有种排法； 第二种情况：景海鹏不站最左边与最右边，则共有种排法， 故总共有种排法.    故选：C. 7．（2023-24高二上·江西上饶·阶段练习）（多选）满足不等式的的值可为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】AB 【详解】解：由， 得，，即， 解得，又， 所以或， 故选：AB 8．（2023-24高二下·四川内江·阶段练习）（多选）内江六中某班星期一上午要安排语文、数学、英语、物理、化学5节课，且该天上午总共5节课，下列结论正确的是（    ） A．若数学课不安排在第一节且不在最后一节课，则有72种不同的安排方法 B．若语文课和数学课必须相邻，且语文课排在数学课前面，则有48种不同的安排方法 C．若语文课和数学课不能相邻，则有72种不同的安排方法 D．若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排，则有40种不同的安排方法 【答案】AC 【详解】对于A，若数学课不安排在第一节且不在最后一节课，则数学课有3节课可选， 其余科目没有要求，有安排方法，则一共有种不同的安排方法，故A正确； 对于B，语文课和数学课捆绑在一起，看作一个元素，与余下的科目一起排列， 则有种不同的安排方法，故B错误； 对于C，先安排英语、物理、化学3节课，有种不同的安排方法， 把语文课和数学课安排在英语、物理、化学产生的4个空位上， 有种不同的安排方法，则共有种不同的安排方法，故C正确； 对于D，若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排，则有种不同的安排方法，故D错误. 故选：AC. 9．（2023-24高二下·江苏扬州·期中）若，则 . 【答案】5 【详解】由可得， 所以，解得或， 由于，所以， 故答案为：5 10．（2023-24高二下·江苏无锡·阶段练习）五种不同商品在货架上排成一排，其中A，B两种必须连排，而C，D两种不能连排，则不同的排法共有 种． 【答案】 【详解】由题意，设五种商品编号分别为， 其中A，B两种必须连排，C，D两种不能连排， 将A，B两种看作一种商品与进行排列，共有（种）， 共形成个空，选择个空，将C，D插入，共有（种）， 则不同的排法共有：（种）, 故答案为: 11．（2024高三·全国·专题练习）现有9位同学围着圆桌坐成一圈，他们的衣服上分别标有号码1，2，3，…，9，若任意相邻两个号码之积不小于4，则不同的坐法有 种． 【答案】21600 【详解】由1，2，…，9这9个正整数构成的圆排列有（种）情况， 任意相邻两数之积不小于4，则1，2不能相邻且1，3不能相邻． 设满足1，2相邻的圆排列有种情况，满足1，3相邻的圆排列有种情况， 满足1，2相邻且1，3相邻的圆排列有种情况， 则，， 则满足要求的排列的情况有（种）． 故答案为：. 12．（2023-24高二下·全国·课后作业）证明下列等式． (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：由排列数的公式，可得： ． （2）证明：由排列数公式，可得． 13．（2023-24高二上·江苏常州·阶段练习）有6名同学站成一排． (1)甲不站排头也不站排尾，则不同的排法种数为？ (2)甲、乙不相邻，则不同的排法种数为？ (3)甲、乙相邻，且甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为？ 【答案】(1)480 (2)480 (3)144 【详解】（1）甲不站排头也不站排尾，则先排其余5人，有种排法， 甲插空，有种，故共有种不同排法． （2）甲、乙不相邻，则先排其余4人，有种不同排法， 甲乙两人再插空，有种，故共有种不同排法． （3）甲、乙相邻，且甲、乙均不与丙相邻，则甲乙捆绑在一起，有种排法， 先排列其余3人，有种，甲乙与丙再插空，有种排法， 故共有种不同排法． 14．（2023-24高二上·全国·课堂例题）将这5个字母排成一列，要求在排列中的顺序为“”或“”（可以不相邻），则有多少种不同的排列方法？ 【答案】40 【详解】方法一（整体法）5个元素无约束条件的全排列有种， 由于字母，，的排列顺序为“，，”或“，，”， 因此在上述的全排列中恰好符合“，，”或“，，”排列方式的排列有（种）． 方法二（插空法）若字母，，的排列顺序为“，，”， 将字母，插入形成的4个空中，分两类： 第一类，若字母，相邻，则有种排法； 第二类，若字母，不相邻，则有种排法． 所以有（种）排法． 同理，若字母，，的排列顺序为“，，”，也有20种排法． 因此满足条件的排列有（种）． 15．（2023-24高二上·江苏·假期作业）用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个无重复数字的： (1)六位奇数； (2)个位数字不是5的六位数； (3)不大于4310的四位偶数． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：根据题意，先排个位数，有种，因为0不能在首位，再排首位有种， 最后排其它有，根据分步计数原理得，六位奇数有. （2）解：因为0是特殊元素，分两类，个位数字是0，和不是0， 当个位数是0，有， 当个位不数是0，有， 根据分类计数原理得，个位数字不是5的六位数有 （3）解：当千位小于4时，有种， 当千位是4，百位小于3时，有种， 当千位是4，百位是3，十位小于1时，有1种， 当千位是4，百位是3，十位是1，个位小于等于0时，有1种， 由分类计数原理，可得不大于4310的四位偶数共有. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 预习07 排列与排列数 知识点 1 ：排列 ①排列的定义：一般地，从n个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. ②排列数、排列数公式：从n个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示，其中，，且. 知识点 2 ：排列问题 问题 方法 “在”与“不在”的有限制条件的排列问题 既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先. 相邻问题 “捆绑法”：把相邻元素看作一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列 不相邻问题 “插空法”：先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空挡中 定序问题 先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 正面考虑比较复杂的问题 “间接法”，反面入手 考点01 排列的概念 【方法点拨】判断是不是排列问题,要抓住排列的本质特征：①取出的元素无重复；②取出的元素必须按顺序排列. 【例1】（多选）下列问题是排列问题的是（ ） A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法 B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法 C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少个向量 D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种 【例2】判断正误，正确的写“正确”，错误的写“错误”． （1）123与321是相同的排列．( ) （2）同一个排列中，同一个元素不能重复出现．( ) （3）在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．( ) （4）从4个不同元素中任取3个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．( ) 【变式1-1】（多选）下列选项中，属于排列问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从，，，中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从，，，中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【变式1-2】下列问题是排列问题的是（    ） A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？ B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？ C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？ 【变式1-3】（1）从四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？ （2）写出从4个元素中任取3个元素的所有排列． 考点02 排列数的计算 【方法点拨】①从排列的直观意义理解弄清楚和的含义； ②排列数公式有两种形式,可以根据要求灵活选用. 【例3】（    ） A． B．3 C． D． 【例4】可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】计算 （    ） A．9×3 B． C．9×8×7 D．9×8×3 【变式2-2】计算下列各式． (1)； (2)． 【变式2-3】的值为 ． 考点03 排列数方程和不等式问题 【例5】（多选）满足不等式的的值可为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例6】解方程：.（为自然数） 【变式3-1】，则 . 【变式3-2】求满足的整数的值. 【变式3-3】若，则 . 考点04 全排列问题 【例7】10名学生排成两排照相，第一排6人，第二排4人，共有 种不同的排列方式． 【例8】将5位外籍球员分配到、、、四个甲级队中，每个队至少被分配到一位球员，且全部分配完，则甲、乙两位球员分在同一个队的分配方案有 种． 【变式4-1】，中，、、是中的不同元素，则所有满足条件的一元二次方程共有 个． 【变式4-2】5本不同的教科书分给5位同学，每人一本，则不同的分配方法有 种． 【变式4-3】某校举办“中华颂”朗诵比赛，现有3名男生和3名女生报名，需将这6名同学分为3组，每组由1名男生和1名女生组成，则有 种分组方法.（请用数字作答） 考点05 元素有限制的排列问题 【方法点拨】对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法. 【例9】甲、乙、丙等人站成一排，要求甲、乙不站在丙的同一侧，则不同的站法共有 种． 【例10】5个人排成一排，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能站在排头或排尾，那么不同站法总数为（    ） A．18 B．36 C．48 D．60 【变式5-1】某校A，B，C，D，E五名学生分别上台演讲，若A须在B前面出场，则不同的出场次序有（    ） A．18种 B．36种 C．60种 D．72种 【变式5-2】从10名数学老师中选出3人安排在3天的假期中值班，每天有且只有一人值班．若老师甲必须参加且不安排在假期第一天值班，则不同的值班安排方法种数为 ． 【变式5-3】某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，那么安排这6项工程不同的排法种数是 ． 考点06 相邻问题的排列问题 【方法点拨】相邻问题采用捆绑法 【例11】6名同学派出一排照相，其中甲、乙两人相邻的排法共有（   ）种 A．240种 B．360种 C．480种 D．540种 【例12】为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有《走，去永州》《扬鞭催马运粮忙》《数幸福》《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则不同的排列种数为（   ） A．6 B．12 C．16 D．20 【变式6-1】3名男同学、2名女同学排成一行，则至多2名男生相邻的排法有 种． 【变式6-2】七位渔民各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼，甲､乙渔船要排在一起出行，丙必须在最中间出行，则不同的排法有（   ） A．96种 B．120种 C．192种 D．240种 【变式6-3】春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚”．通过海选，现有6个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（    ） A．240种 B．188种 C．144种 D．120种 考点07 不相邻的排列问题 【方法点拨】不相邻问题采用插空法 【例13】若某天上午安排语文、数学、英语、物理和体育各一节课，则数学和体育不连排的概率是 【例14】学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，第1个节目和最后1个节目已确定，其余9个节目中有4个音乐节目，3个舞蹈节目，2个曲艺节目．由于文艺晚会受时间影响，需要分两场演出，若要求4个音乐节目安排在第一个晚上，舞蹈和曲艺节目安排在第二个晚上，并且舞蹈和曲艺节目各自不能相邻，原来第一个和最后一个节目位置不变，有多少种不同的排法？ 【变式7-1】某校举办校运动会，某班级选出跑步较好的4人参加米接力赛，其中甲、乙两人不跑相邻棒的排法有（    ） A．8种 B．12种 C．16种 D．24种 【变式7-2】象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子，现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则同色棋子不相邻的排列方式有（    ） A．120种 B．24种 C．36种 D．12种 【变式7-3】甲、乙、丙等八个人围成一圈，要求甲、乙、丙三人两两不相邻，则不同的排列方法有（    ） A．720种 B．1440种 C．2880种 D．4320种 考点08 数字的排列问题 【方法点拨】排数字问题常见的解题方法： ①两优先排法:特殊元素优先排列,特殊位置优先填充.如“0”不排“首位”. ②分类讨论法:按照某一标准将排列分成几类,然后按照分类加法计数原理进行计数,要注意如下两点:一是分类标准必须恰当;二是分类时要做到不重不漏. 【例15】将0，1，2，10四个数字排成一行，可以组成不同的5位数的个数是（    ） A．6 B．12 C．15 D．18 【例16】用，，，，，这六个数字可以组成（   ）个无重复数字，符合“小于4310的四位偶数” A． B． C． D． 【变式8-1】用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，则1，2相邻，而3，4不相邻的数有 . 【变式8-2】用1，2，3，4，5，6写出没有重复数字的六位数中，满足相邻的数字奇偶性不同的数有 个. 【变式8-3】用0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？（列式并计算） (1)六位数； (2)六位奇数； (3)能被5整除的六位数； (4)组成的六位数按从小到大顺序排列，第265个数是多少？ 1．（2023-24高二上·广东汕头 期末）的值是（   ） A．480 B．520 C．600 D．1320 2．（2023-24高二下·山东菏泽·期中），，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河南周口·模拟预测）2024年春节档贺岁片《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没·逆转时空》异常火爆，甲、乙等5人去观看这三部电影，每人只观看其中一部，甲、乙不观看同一部电影，则选择观看的方法有（   ） A．243种 B．162种 C．72种 D．36种 4．（2023-24高二下·江苏南京·期中）用0，1，2，…，5这6个数字组成无重复数字的三位数的个数是（    ） A． B． C． D． 5．（2023-24高二上·全国·课前预习）若，则的个位数字是（    ） A．3 B．8 C．0 D．5 6．（2023-24高二下·四川遂宁·阶段练习）北京时间2023年10月26日19时34分，神舟十六号航天员乘组（景海鹏，杜海潮，朱杨柱3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）人驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合影留念，唐胜杰与江新林相邻，景海鹏不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有（    ） A．144种 B．204种 C．156种 D．240种 7．（2023-24高二上·江西上饶·阶段练习）（多选）满足不等式的的值可为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（2023-24高二下·四川内江·阶段练习）（多选）内江六中某班星期一上午要安排语文、数学、英语、物理、化学5节课，且该天上午总共5节课，下列结论正确的是（    ） A．若数学课不安排在第一节且不在最后一节课，则有72种不同的安排方法 B．若语文课和数学课必须相邻，且语文课排在数学课前面，则有48种不同的安排方法 C．若语文课和数学课不能相邻，则有72种不同的安排方法 D．若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排，则有40种不同的安排方法 9．（2023-24高二下·江苏扬州·期中）若，则 . 10．（2023-24高二下·江苏无锡·阶段练习）五种不同商品在货架上排成一排，其中A，B两种必须连排，而C，D两种不能连排，则不同的排法共有 种． 11．（2024高三·全国·专题练习）现有9位同学围着圆桌坐成一圈，他们的衣服上分别标有号码1，2，3，…，9，若任意相邻两个号码之积不小于4，则不同的坐法有 种． 12．（2023-24高二下·全国·课后作业）证明下列等式． (1)； (2)． 13．（2023-24高二上·江苏常州·阶段练习）有6名同学站成一排． (1)甲不站排头也不站排尾，则不同的排法种数为？ (2)甲、乙不相邻，则不同的排法种数为？ (3)甲、乙相邻，且甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为？ 14．（2023-24高二上·全国·课堂例题）将这5个字母排成一列，要求在排列中的顺序为“”或“”（可以不相邻），则有多少种不同的排列方法？ 15．（2023-24高二上·江苏·假期作业）用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个无重复数字的： (1)六位奇数； (2)个位数字不是5的六位数； (3)不大于4310的四位偶数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$