5.2导数的运算讲义-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.2导数的运算 知识点1 常见函数的导数 几个常见幂函数的导数如下表： 函数 导数 文字叙述 (c为常数) 函数的导数为0 函数的导数为1 函数的导数为2x 函数的导数为 函数的导数为 函数的导数为 例1-1（2022·河北石家庄高二期末）已知函数（ ）。 A. B. C. D.2 解：由，得，所以 故选A。 例1-2 （2022·重庆云阳江口中学高三期末）（多选）直线能作为下列函数图像的切线的是（ ）。 A. 解：若，则，令无解，A不正确；若，则令，得，故曲线在与处的切线斜率为，B正确；若，则，令，得故曲线在处的切线斜率为 C正确；若，则，令 得，故曲线在点处的切线斜率为，D正确。故选BCD。 知识点2基本初等函数的导数公式 函数 导数 ①为常数） ②且 ③ ④ ⑤且 ⑦且 ⑧ 公式剖析 （1）对基本初等函数的导数公式的理解：不要求根据导数定义推导这八个基本初等函数的导数公式，只要求能够利用它们求简单函数的导数。在学习过程中，适量的练习对于熟悉公式是必要的，但应避免形式化的运算练习。 （2）对数函数、指数函数的导数公式中，公式很好记忆，但公式a的记忆比较难，特别是Ina的位置易记错。（3）上述公式可分为四类：①②属于幂函数；③④属于三角函数；⑤⑥属于指数函数，是在a=e时的特例；⑦⑧属于对数函数，f(x)=lnx是在a=e时的特例。对于简单函数的求导，关键是合理转化，将函数关系式转化成可以直接利用公式的基本函数，以免在求导过程中出现指数或系数的运算错误。 例2-1（2022·江苏高二期中预测）（多选）以下运算正确的是（ ）。 A D. 解： 对于A，因为，所以A错；对于B，因为，所以B正确；对于C，因为，所以C正确；对于D，因为，所以D不正确。故选BC。 例2-2 （2022·北京丰台区高二期末）已知函数f(x)=cosx，则（ ） 。 A B C D 解：因为x，所以-sin 故选D 例2-3（2022·江西赣州高二期末）记当n≥2时,则 )。 A. B.- C. D.- 解：因为所以，···，所以是以4为周期的函数。因为2022=4×505+2，所以故选A。 知识点3 导数的四则运算法则 若函数f(x),g(x)均为可导函数，则有 , , 。 公式剖析 法则1：函数的和（差）的导数 函数的和（差）的导数可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的和（差）的导数（一 法则2：函数的积的导数 （1）（特殊化）当g(x)=c(c为常数）时，法则2可简化为，即 （2）由上述结论及法则1可得[af(x)+，其中a，b为常数。 （3）函数的积的导数可以推广到任意有限个可导函数的积的导数，即[u(x)v(x)⋅⋯⋅ 法则3：函数的商的导数 （1）注意 （2）（特殊化）当f(x)=1,g(x)≠0时，。 例3-1（2022·全国模拟预测）已知函数，则（ ）。 A. B. C.ln 2 D.-ln2 解：因为，所以，所以故选A。 例3-2（2022·新疆莎车一中高二期中）求下列函数的导数： （1） （3） 解：（1） （2） （3） （4） 例3-3（2022·陕西宝鸡渭滨教研高二期末）已知函数f(x)的导函数为，且满足，则（ ）。 A. B C.4 D.-4 解：因为所以所以， 所以，所以-1+4+1=4。故选C。 知识点4 简单复合函数的导数 ① 复合函数的定义 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x))。 ② 复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为，即y对x 的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积。即：若 y=f(g(x))，则 例4（广东石门高级中学高二阶段练习）下列求导结果正确的是（）。 A. B D. 解：A选项：，故A错误；B选项：，故B正确；C选项：，故C错误；D选项：2sinxcosx，故D错误。故选B。 分层训练 基础达标 1．（2022·福建莆田高二期末·知识点1）函数的导函数是（ ）。 A. B. 2．（2022·广东广州高二期末·知识点2）在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系4.8t+11。该运动员在t=1s时的瞬时速度（单位：m/s)为（ ）。 A.10.9 B.-10.9 C.5 D.-5 3．（2022·河北张家口高二期末·知识点2,3）已知函数是函数f(x)的导数，则（ ）。 A.0 B.π C. D.3 4．（2022·广东雷州白沙中学高二阶段练习·知识点2,3,4）（多选）以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是（ ）。 B. C. D. 5．（2022·江苏扬州市教育局高二期末·知识点4）求下列函数的导数： （1）y=ln(3x-1, （2） 高考提升 6．（2022·河北高二期中）（多选）已知曲线，则过点（-1,3），且与曲线y=f(x)相切的直线方程可能为（ ）。 A.y=-x+2 B.y=-9x-6 C.y=-8x-5 D.y=-7x-4 7．等比数列中，，函数，则 A. D. 8．（2022·广东东莞高二期末·能力点1）曲率是刻画曲线弯曲程度的重要指标，曲线的曲率定义如下：记是f(x)的导函数是的导函数，那么曲线y=f(x)在点处的曲率，则曲线y=f(x)=lnx在点（1,0）处的曲率为（ ）。 A. B. C D.1 9．（2022·河北新冀明中学高二阶段练习）（多选）下列说法正确的有（ ）。 A.若f(x)=xsinx+cos2x,，则xcosx+2sin2x B.设函数f(x)=xlnx，若，则 C.已知函数，则 D.设函数f(x)的导函数为，且，则 10．（2022·山东烟台高二期末）（多选）设为曲线f(x)=|lnx|的两条切线，切点分别为A，B，若，且垂足为P，则下列说法正确的有（ ）。 A.A，B两点的横坐标之和为定值 B.A，B两点的横坐标之积为定值 C.直线AB的斜率为定值 D．P点横坐标的取值范围为（0,1） 11．（2022·广东高二期末）已知函数，若曲线y=f(x)在x=π处的切线过原点，求a的值。 12．（2021·全国乙高考节选·能力点3,4）已知函数 求曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标。 答案解析 基础达标 1.B 【解析】由得 。故选B。 2．D 【解析】因为，所以，令t=1，得瞬时速度为-5。 故选D。 3. D 【解析】因为函数f(x)=3x+xsinx+cosx，所又，所 故选D。 4.BC 【解析】故选BC。 5.((2 高考提升 6．AB【解析】设过点（-1,3）的直线与曲线y=f(x)相切的切点为，由求导得，于是得切线方程为，即，则，解得或，则可得切线方程为y=-x+2或y=-9x-6，所以所求切线的方程是y=-x+2或y=-9x-6。故选AB。 7．C【解析】将函数f(x)的解析式展开，含x 项的系数为，所，故⋅C。 8.A 【解析】对函数f(x)=ln 小求导，得，对求导，得 .曲线f(x)=lnx在点（1,0）处的曲率为K=，故选A。 9．BD【解析】对2sin2x，故A错误；对 ，故B正确；对C，，故C错误；对故D正确。故选BD。 10.BCD 【解析】记y g(x)=-lnx(0<x<1),h(x)=lnx(x≥1），由函数f(x)的图可知，不妨设与g(x)相切于点,与h(x)相切于点,则。因为，所以 因为 ，所以，即,B正确；的方程为的方程为，联立方程组可求得点P横坐标因为，所以，所以错误，D正确；，C正确。故选BCD。 ，则则又曲线y=f(x)在x=π处的切线过原点，则，即-1+aπ=-2-2aπ，得 12．记曲线y=f(x)过坐标原点的切线为l，切点为a,：.切线l的方程为 又l过坐标原点，则，即·，解得：切线l的方程为y=(1+a)x。 令，则解得x=1或x=-1,∴：.曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标为（(1,1+a)和(-1,-1-a)。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.2导数的运算 知识点1 常见函数的导数 几个常见幂函数的导数如下表： 函数 导数 文字叙述 (c为常数) 函数的导数为0 函数的导数为1 函数的导数为2x 函数的导数为 函数的导数为 函数的导数为 例1-1（2022·河北石家庄高二期末）已知函数（ ）。 A. B. C. D.2 例1-2 （2022·重庆云阳江口中学高三期末）（多选）直线能作为下列函数图像的切线的是（ ）。 A. 知识点2基本初等函数的导数公式 函数 导数 ①为常数） ②且 ③ ④ ⑤且 ⑦且 ⑧ 公式剖析 （1）对基本初等函数的导数公式的理解：不要求根据导数定义推导这八个基本初等函数的导数公式，只要求能够利用它们求简单函数的导数。在学习过程中，适量的练习对于熟悉公式是必要的，但应避免形式化的运算练习。 （2）对数函数、指数函数的导数公式中，公式很好记忆，但公式a的记忆比较难，特别是Ina的位置易记错。（3）上述公式可分为四类：①②属于幂函数；③④属于三角函数；⑤⑥属于指数函数，是在a=e时的特例；⑦⑧属于对数函数，f(x)=lnx是在a=e时的特例。对于简单函数的求导，关键是合理转化，将函数关系式转化成可以直接利用公式的基本函数，以免在求导过程中出现指数或系数的运算错误。 例2-1（2022·江苏高二期中预测）（多选）以下运算正确的是（ ）。 A D. 例2-2 （2022·北京丰台区高二期末）已知函数f(x)=cosx，则（ ） 。 A B C D 例2-3（2022·江西赣州高二期末）记当n≥2时,则 )。 A. B.- C. D.- 知识点3 导数的四则运算法则 若函数f(x),g(x)均为可导函数，则有 , , 。 公式剖析 法则1：函数的和（差）的导数 函数的和（差）的导数可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的和（差）的导数（一 法则2：函数的积的导数 （1）（特殊化）当g(x)=c(c为常数）时，法则2可简化为，即 （2）由上述结论及法则1可得[af(x)+，其中a，b为常数。 （3）函数的积的导数可以推广到任意有限个可导函数的积的导数，即[u(x)v(x)⋅⋯⋅ 法则3：函数的商的导数 （1）注意 （2）（特殊化）当f(x)=1,g(x)≠0时，。 例3-1（2022·全国模拟预测）已知函数，则（ ）。 A. B. C.ln 2 D.-ln2 例3-2（2022·新疆莎车一中高二期中）求下列函数的导数： （1） （3） 例3-3（2022·陕西宝鸡渭滨教研高二期末）已知函数f(x)的导函数为，且满足，则（ ）。 A. B C.4 D.-4 知识点4 简单复合函数的导数 ① 复合函数的定义 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x))。 ② 复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为，即y对x 的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积。即：若 y=f(g(x))，则 例4（广东石门高级中学高二阶段练习）下列求导结果正确的是（）。 A. B D. 分层训练 基础达标 1．（2022·福建莆田高二期末·知识点1）函数的导函数是（ ）。 A. B. 2．（2022·广东广州高二期末·知识点2）在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系4.8t+11。该运动员在t=1s时的瞬时速度（单位：m/s)为（ ）。 A.10.9 B.-10.9 C.5 D.-5 3．（2022·河北张家口高二期末·知识点2,3）已知函数是函数f(x)的导数，则（ ）。 A.0 B.π C. D.3 4．（2022·广东雷州白沙中学高二阶段练习·知识点2,3,4）（多选）以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是（ ）。 B. C. D. 5．（2022·江苏扬州市教育局高二期末·知识点4）求下列函数的导数： （1）y=ln(3x-1, （2） 高考提升 6．（2022·河北高二期中）（多选）已知曲线，则过点（-1,3），且与曲线y=f(x)相切的直线方程可能为（ ）。 A.y=-x+2 B.y=-9x-6 C.y=-8x-5 D.y=-7x-4 7．等比数列中，，函数，则 A. D. 8．（2022·广东东莞高二期末·能力点1）曲率是刻画曲线弯曲程度的重要指标，曲线的曲率定义如下：记是f(x)的导函数是的导函数，那么曲线y=f(x)在点处的曲率，则曲线y=f(x)=lnx在点（1,0）处的曲率为（ ）。 A. B. C D.1 9．（2022·河北新冀明中学高二阶段练习）（多选）下列说法正确的有（ ）。 A.若f(x)=xsinx+cos2x,，则xcosx+2sin2x B.设函数f(x)=xlnx，若，则 C.已知函数，则 D.设函数f(x)的导函数为，且，则 10．（2022·山东烟台高二期末）（多选）设为曲线f(x)=|lnx|的两条切线，切点分别为A，B，若，且垂足为P，则下列说法正确的有（ ）。 A.A，B两点的横坐标之和为定值 B.A，B两点的横坐标之积为定值 C.直线AB的斜率为定值 D．P点横坐标的取值范围为（0,1） 11．（2022·广东高二期末）已知函数，若曲线y=f(x)在x=π处的切线过原点，求a的值。 12．（2021·全国乙高考节选·能力点3,4）已知函数 求曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标。 学科网（北京）股份有限公司 $$