预习专题11 平面几何中的向量方法6题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 预习专题11 平面几何中的向量方法6题型分类 一、向量方法解决平面几何问题的步骤 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题. (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 二、向量在平面几何中常见的应用 已知． 证明线段平行、点共线问题及相似问题 常用向量共线的条件： ． 证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等 常用向量垂直的条件： （其中为非零向量）． 求夹角问题，若向量与的夹角为 利用夹角公式： （其中为非零向量）． 求线段的长度或说明线段相等 可以用向量的模： ，或（其中两点的坐标分别为． 对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题． （一） 利用向量证明平面几何问题 1、向量方法解决平面几何问题的步骤 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题. (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 2、用向量证明平面几何问题的两种基本思路及步骤 (1)利用线性运算证明的四个步骤:①选取基底.②用基底表示相关向量.③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系.④把几何问题向量化. (2)利用坐标运算证明的四个步骤:①建立适当的平面直角坐标系.②把相关向量坐标化.③用向量的坐标运算找出相应关系.④把几何问题向量化. 题型1：用向量证明线段垂直 1．（2024高一·全国·随堂练习）用向量方法证明：菱形的两条对角线互相垂直． 【答案】证明见详解 【分析】根据向量的线性运算结合数量积分析证明. 【详解】对于菱形，可知，即， 因为， 可得，则， 所以菱形的两条对角线互相垂直. 2．（2024高一·全国·随堂练习）用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：． 【答案】证明过程见解析 【分析】先得到，，从而利用数量积公式求出，得到垂直关系. 【详解】由题意得，，      故， 因为，所以， 故. 3．（2024高一下·陕西西安·期末）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点.    (1)请用、表示向量； (2)设和的夹角为，若，且，求证：. 【答案】(1). (2)证明见解析. 【分析】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算可得. （2）以、为基底表示出向量，结合向量的数量积公式，可证得. 【详解】（1）. （2）， ，. 4．（2024高一下·海南省直辖县级单位·期中）如图所示，已知在正方形中，E，F分别是边，的中点，与交于点M.    (1)设，，用，表示，； (2)猜想与的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想. 【答案】(1)， (2)，证明见解析 【分析】（1）利用向量的线性运算求解即可； （2）用基底表示两个向量，利用数量积的运算证明即可. 【详解】（1）， ； （2），证明如下： 由（1）知，， 所以， 设，则， 所以，所以，得证. 5．（2024高一下·山东济南·阶段练习）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心． (1)求重心E的坐标； (2)用向量法证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出D的坐标，根据重心坐标公式即可求出E的坐标； （2）求出F的坐标，证明即可． 【详解】（1）如图， ∵，，， ∴，则由重心坐标公式，得； （2）． 易知的外心F在y轴上，可设为． 由，得， ∴，即． ∴． ∴， ∴，即． 6．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，AC为的一条直径，为圆周角.求证：.    【答案】证明见解析 【分析】根据平面向量的运算性质设，，转化求解，结合平面向量的数量积运算即可证明结论. 【详解】证明：如图，    设，， 则，，，， ∴， ∴，∴. 题型2：用向量证明平行问题 7．（2024高一·全国·课后作业）如图，在平行四边形ABCD的对角线BD所在的直线上取两点E，F，使BE=DF．用向量方法证明：四边形AECF是平行四边形． 【答案】见解析 【详解】如图， 因为四边形为平行四边形， 所以. 又在直线上, 所以, 从而, 所以,即与平行且相等， 所以四边形是平行四边形. 8．（2024高一·江苏·课后作业）设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点 （1）试用向量证明：PQAB； （2）若AB=3CD，求PQ：AB的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）用向量表示，得出向量与、的关系，再根据向量与共线，得出向量与共线即可； （2）根据向量与反向，且||=3||得出向量与的数量关系，即得PQ：AB的值. 【详解】（1）∵Q为BD中点，∴， 又P为AC中点，∴； ∴2()， 又向量与共线， 设向量， 则2(1+λ)， ∴①， 又梯形ABCD中||≠||，∴λ≠﹣1， ∴，即PQAB； （2）∵向量与反向，且||=3||； 所以，即λ代入①式， 得， ∴PQ：AB. 【点睛】关键点点睛：熟练掌握平面向量的线性运算是解题关键. 9．（2024高一下·河北保定·期中）已知，如图，在中，点满足，是线段上一点，，点为的中点，且三点共线．    (1)求的最小值． (2)若点满足，证明：． 【答案】(1)4 (2)证明见解析 【分析】（1）根据向量的线性运算可得，根据三点共线可得，利用“1”的代换可求的最小值. （2）根据向量的线性运算可得，故可证. 【详解】（1）由题可知， 因为点为的中点，所以 ， 因为三点共线，所以， ， 当且仅当时，等号成立． 所以的最小值为4. （2）    由，则，即， ， 所以，又三点不共线，所以． 10．（2024高一·全国·随堂练习）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点.求证：四边形EFGH为平行四边形.    【答案】证明见解析 【分析】用向量证明，从而证明四边形EFGH为平行四边形. 【详解】因为点E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点， 所以 所以， 又因为与不共线，所以，且， 所以四边形EFGH为平行四边形. 11．（2024高一下·湖北襄阳·阶段练习）如图，三点不共线，，，设，. （1）试用表示向量； （2）设线段的中点分别为，试证明三点共线. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）由，，三点共线，可得到一个向量等式，由，，三点共线可得到另一个等式，两者结合即可解决（1）； （2）欲证三点共线，可先证明两向量共线得到． 【详解】解：（1），，三点共线， ，① 同理，，，三点共线，可得，② 比较①，②，得解得，， ． （2），，， ，， ， ，，三点共线． 【点睛】本题考查平面向量的基本定理和平面向量的共线定理的应用，通过共线定理证明三点共线，考查转化思想和运算能力. （二） 利用向量解决平面几何求值问题 (1)用向量法求长度的策略 ①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解. ②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝. (2)用向量法解决平面几何问题的两种思想 ①几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解. ②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算. 题型3：平面几何的长度问题 12．（2024高一下·福建·期中）在中，点D是边的中点，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平面向量的数量积与模的关系计算即可. 【详解】如图所示，由题意可得： ， 即，解之得. 故选：A 13．（2024高一下·辽宁锦州·期末）已知，，，，点D在边上且，则长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量数量积去求长度即可. 【详解】中，点D在边上且， 则 又，，， 则 ，即长度为 故选：D 14．（2024高一下·山东济宁·期中）已知两点分别是四边形的边的中点，且，，，，则线段的长为是 【答案】 【分析】作，交于点，可知；利用向量线性运算可得到，根据，由向量数量积的定义和运算律可求解得到. 【详解】作，交于点，则， ，则； ，， 又，，， ， ， 故答案为：. 15．（2024高一下·河北沧州·阶段练习）如图，在中，. (1)求的长； (2)求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定，，，，计算得到答案. （2），，计算得到答案. 【详解】（1）； ， ，故， . （2）， . 16．（2024高一下·河北石家庄·阶段练习）已知的夹角为，则三角形的边上中线的长为 . 【答案】 【分析】设D为的中点，则，再由向量数量积的运算性质求解即可. 【详解】设D为的中点，则， 所以， 所以， 所以. 故答案为： 17．（2024高一下·江西上饶·阶段练习）在菱形ABCD中，O为菱形ABCD内一点. (1)用，，，表示； (2)若，，求，. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据菱形对边所在向量相等，利用向量的线性运算即可求解； （2）根据菱形的性质求出与的数量积，然后求模的平方再开方即可求解. 【详解】（1）因为四边形为菱形，所以， 则，所以. （2）因为，， 所以， 则， . 题型4：平面几何的角度问题 18．（福建省厦门外国语学校石狮分校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题）如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于M，则 .    【答案】 【分析】 先利用向量的线性运算表示，，然后数量积求解夹角余弦值即可. 【详解】设，，则， ，又，， 所以 . 故答案为： 19．（2024高一下·山东聊城·期末）如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则 ．    【答案】 【分析】用和表示和，根据以及，，，可求出结果. 【详解】因为是的中点，所以， ， 因为，， ， 所以， 所以. 故答案为：. 20．（2024高一下·湖南怀化·期末）在中，已知，，，和边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为 【答案】/ 【分析】由已知结合向量的线性表示及向量数量积的性质即可求解. 【详解】 由已知得即为向量与的夹角. 因为M、N分别是，边上的中点， 所以，. 又因为， 所以 ， , , 所以. 故答案为： 题型5：判断三角形的形状 21．（2024高一下·江苏无锡·期中）在△ABC中，若，则△ABC的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】由已知平方可得，得出可判断. 【详解】，， 则， ，，则△ABC为直角三角形. 故选：B. 22．（2024高一下·重庆·阶段练习）在中，若，则一定为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【分析】根据向量数量积运算的运算律化简得到，由此可得结论. 【详解】由得：， ，为直角三角形. 故选：B. 23．（2024高一下·广西·期中）若非零向量与满足，且，则为（    ） A．三边均不等的三角形 B．直角三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】由已知可得的角平分线与BC垂直，可分析出是等腰三角形，根据数量积公式可求角A，即可判断. 【详解】解：， 的角平分线与BC垂直， ， ， 则是顶角为的等腰三角形， 故选：C. 24．（2024高一下·北京顺义·阶段练习）是所在平面内一点，满足，则的形状是（    ） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】由已知条件可得出，等式两边平方可得出，即可得出结论. 【详解】因为， 由可得， 可得，整理可得，， 所以，为直角三角形. 故选：C. 25．（2024高一下·浙江宁波·期末）在中，是边的中点，且对于边上任意一点，恒有，则一定是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】 根据基底法转化数量积，将向量关系转化为数量关系进而求解. 【详解】如下图所示，取的中点，    显然，， 同理，， 因为，所以， 即，所以， 因为是的中点，所以, 所以，所以一定是直角三角形. 故选：A 题型6：平面几何中的最值问题 26．（2024高三·全国·专题练习）已知向量共面，且均为单位向量，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，可设出向量的坐标，由于这三个向量都是单位向量，则向量的终点都落在以坐标原点为圆心的单位圆上，作出示意图，由向量的性质可知，只有当与同向时， 有最大值，求解即可. 【详解】因为向量共面，且均为单位向量，， 可设，，，如图，    所以，当与同向时，此时有最大值，为. 故选：A. 27．（2024高三上·四川·阶段练习）如图，在中，D为的中点，，，是圆心为C、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算出，设与的夹角为，得到，根据，求出答案. 【详解】 ， 又 ， 且，所以． 设与的夹角为， 则． 因为，所以． 故选：C． 28．（2024高一下·山西朔州·阶段练习）已知向量满足，若对任意的实数，都有，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】利用数量积与模的关系结合二次不等式恒成立计算得，再根据向量不等式计算即可. 【详解】因为，所以对任意的实数恒成立， 即， 所以，所以. 所以， 当且仅当与反向时等号成立，即的最小值为. 故答案为：. 29．（2024高一下·北京·阶段练习）、、三点在半径为的圆上运动，且，是圆外一点，，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】 根据圆的几何性质、向量运行以及绝对值三角不等式，由此求得正确答案. 【详解】连接，如下图所示： 因为，则为圆的一条直径，故为的中点， 所以，， 所以，， ，当且仅当共线且同向时，等号成立． 故答案为：    30．（2024高一下·重庆沙坪坝·期中）在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】D 【分析】以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系，利用坐标法求解. 【详解】如图示，以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系.    则， 所以，. 所以， 所以（当且仅当时等号成立）. 所以的最小值是6. 故选：D 31．（2024·四川乐山·一模）已知正六边形边长为2，是正六边形的外接圆的一条动弦，，P为正六边形边上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】若是外接圆圆心，是中点，连接，根据，数形结合有、即可求最小值. 【详解】若是外接圆圆心，是中点，连接，如下图，    所以，则， 故，而，且， 所以，当且仅当共线且重合为正六边形一边的中点时等号成立， 所以. 故答案为： 一、单选题 1．（24-25高一下·全国·课后作业）已知在四边形中，，，，则四边形为（    ） A．梯形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形 【答案】A 【分析】利用向量的运算得到，即可得到答案. 【详解】因为，，， 所以. 所以. 所以且， 所以四边形为梯形.. 故选：A. 2．（2024高三·全国·专题练习）已知是内一点，且满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算可得，可得是的重心，可得结论. 【详解】设D为BC的中点， 则 ， 则， 所以是的重心，所以． 故选：A. 3．（2024高一下·甘肃临夏·期末）在四边形ABCD中，，，，，则四边形ABCD的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据，得到四边形是平行四边形，再由，可得四边形是矩形也为菱形即为正方形即可求解． 【详解】如图所示， ，四边形是平行四边形， 分别表示的单位向量， ，平方可得， ，， 四边形是矩形， 又平分，四边形是菱形， 四边形是正方形，且，此四边形的面积等于5， 故选：D．    4．（24-25高二上·贵州铜仁·开学考试）在中，，，，D为AB的中点，P为CD上一点， 且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量共线定理得到，两边平方求出，得到答案. 【详解】因为D为AB的中点，所以， 又，所以， 因为三点共线，设， 即， 故，所以， 解得， 两边平方得 ， 故. 故选：A 5．（2024高三·全国·专题练习）已知非零向量与满足且，则为（    ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】根据数量积的定义可得，进而结合得，即可判断. 【详解】在中，设内角的对边长分别为，则由已知有，所以，从而. 而，故. 所以是有一个内角是的等腰三角形，从而一定是等边三角形. 故选：D 6．（2024高一下·黑龙江大庆·期中）已知平面上，，三点不共线，是不同于，，的任意一点，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】由，可得，即可判断的形状. 【详解】因为，即，即， 所以，所以是等腰三角形. 故选：A. 7．（2024·湖北·模拟预测）四边形是边长为4的正方形，点是正方形内的一点，且满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意建立直角坐标系，设，写出坐标，可得点的轨迹方程，进而可求出的最大值. 【详解】根据题意，建立如图所示的直角坐标系， 设， 则， 故， ， 即； 故点在以点为圆心，1为半径的圆周上运动， 所以的最大值为. 故选：D. 8．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知是单位向量，向量满足，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．3 D．1 【答案】B 【分析】设，由，可得点在以为圆心，3为半径的圆上，利用向量的模的几何意义，可得的最大值. 【详解】 设，因为， 即，即， 所以点在以为圆心，3为半径的圆上， 又是单位向量，则， 故最大值为，即的最大值为4. 故选：B. 9．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知在中，是边上一定点，满足，且对于边上任意一点，都有，则是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】取的中点，的中点，连接，，根据向量的线性运算计算向量并计算，同理计算， 根据不等关系可得出对于边上任意一点都有，从而确定，从而得到结果. 【详解】取的中点，的中点，连接，（如图所示），    则 ， 同理， 因为，所以， 即，所以对于边上任意一点都有， 因此， 又，为中点，为中点， 所以，所以， 即，所以，即为钝角三角形. 故选：A． 10．（2024·四川泸州·一模）已知平面向量，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】由题设分别在以为原点，半径为的圆上运动，且，数形结合及向量加法的几何意义确定的范围，即可得答案. 【详解】由题设，分别在以为原点，半径为的圆上运动，且， 所以，若是的中点，则，而，如下图示， 由图知，，而，即. 所以的最小值是. 故选：D. 11．（2024高三下·四川攀枝花·阶段练习）已知A，B，C是单位圆上不同的三点，，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】令，，进而有，应用向量数量积的坐标表示得，结合三角函数关系及二次函数的性质求最值. 【详解】不妨令，，又，则， 所以 ， 当时，的最小值为. 故选：C 12．（2024高三·全国·专题练习）已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据，结合正六边形的性质求解的范围即可. 【详解】如图所示，由正六边形的几何性质可知，，，，，，均是边长为4的等边三角形， 当点位于正六边形的顶点时，取最大值4， 当点为正六边形各边的中点时，取最小值，即， 所以． 所以， 即的最小值为8． 故选：D 13．（24-25高三上·江苏镇江·阶段练习）在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】借助向量线性运算法则与三点共线定理可得，再利用向量数量积公式计算即可得解. 【详解】令，，由，， 则，， 则， 由、、三点共线，故，即， 即，则 ， 解得，即的长为. 故选：C. 二、多选题 14．（2024高一下·福建厦门·期中）在正方形中，，点E满足，则下列说法不正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．存在t，使得 D．的最小值为2 【答案】BC 【分析】根据给定的正方形及其边长建立平面直角坐标系，利用向量的坐标表示逐项分析计算判断即可. 【详解】由题可以A为原点，AB、AD分别为和轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则由题意，故， 对于A，当时，则由可知， 所以，又， 故，故A正确； 对于B，当时，则由可知， 所以，， 所以， 故B错误； 对于C，由可得，故，， 则， 故不存在t，使得，故C错误； 对于D，由C得， 故， 又，故当时，取得最小值为，故D正确. 故选：BC. 15．（2024高一下·吉林长春·期末）正六边形ABCDEF的边长为2，G为正六边形边上的动点，则的值可能为（    ） A． B． C．12 D．16 【答案】ABC 【分析】利用投影向量求解向量数量积，得到的最小值和最大值，得到答案. 【详解】连接与相交于点，由正六边形的几何性质，⊥，， 正六边形ABCDEF的边长为2，故，， 故， 故点在上的投影为， 当点与点重合时，此时的投影向量为，与方向相同 此时取得最大值，最大值为， 故当与重合时，的投影向量为，与方向相反， 此时取得最小值，最小值为， 故，ABC正确，D错误. 故选：ABC 16．（2024高一下·湖北武汉·期中）如图，正方形的边长为是中点，如图，点是以为直径的半圆上任意点；，则下列结论正确的有（    ） A．最大值为1 B．最大值为1 C．最大值是2 D．最大值是 【答案】ACD 【分析】建立平面直角坐标系，由向量的坐标运算可得，且，,，再逐一分析各选项即可． 【详解】以中点为原点，建立平面直角坐标系， 则，，， 设，则，,， 所以，，， 由，得，且，,， 对于A，当时，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：ACD． 17．（2024高二下·江苏南京·阶段练习）已知是边长为2的正六边形内一点（不含边界），且，则下列结论正确的是（    ） A．的面积为定值 B．使得 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】AC 【分析】根据题中向量等式，可推得，所以在正六边形的对角线上运动，，由此判断A选项，根据正六边形的轴对称性，可判断B，观察图形，结合解三角形的知识加以计算，可判断C、D. 【详解】由可得，即， 所以在正六边形的对角线上运动， 对于A，因为，即点到的距离为定值， 所以的面积为定值，A正确； 对于B，因为正六边形关于直线对称，所以不论在何处，总有， 即不存在，使得，B错误； 对于C，根据图形的对称性，当为中点时，达到最大值， 当与或重合时，达到最小值， 故的取值范围是，C正确； 对于D，因为正六边形边长为2，所以平行线，的距离， 当与点在上的射影重合时，有最小值， 可见的取值范围不是，D错误； 故选：AC 18．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）在单位圆中，O为圆心，为直径，P为圆上任意一点，为直径上（含端点）相异的两点.下列说法正确的是（    ） A． B．若，则向量，的夹角为 C． D．若，则 【答案】ACD 【分析】对于A，利用加法法则可得；对于B，将，两边平方，可得向量，的夹角的余弦，即可得向量，的夹角；对于C，设的中点为D，则，由三点的相对位置关系可得的范围；对于D，因为，当分别为直径上两个端点时，取得最小值，当无限靠近原点时，最大，趋近于，即得范围. 【详解】由已知，，A正确. 若，则， 设向量，的夹角为，则， ∵，解得，，故B错误.      设的中点为D，则，则， 当三点很贴近时，长度接近0，所以； 当很贴近且为直径时，的长度接近直径，所以，故C正确. 因为，由已知，当分别为直径上两个端点时，， 则，此时取得最小值， 当无限靠近的中点，即原点时，最大，趋近于， 所以，故D正确． 故选：ACD. 19．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）如图，正方形的是边长为2，E，F分别是边，的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】建立直角坐标系，求出各点的坐标，利用向量逐项判断 【详解】如图建立直角坐标系， 则, 所以，故A错， ，故B对； ，故C对； ，故D对； 故选：BCD 三、填空题 20．（24-25高三上·河北邢台·期中）已知四边形是边长为4的正方形，点满足，为平面内一点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】建立如图所示的直角坐标系，设，是中点， 则, 由可得,故， 所以， 故当时，取到最小值， 故答案为： 21．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）已知边长为2的菱形中，，点为线段（含端点）上一动点，点满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用基底，结合向量的线性运算表示，即可根据数量积的运算律求解. 【详解】设，其中， 已知边长为2的菱形中，， 则为等边三角形，又， 则 又，故 故． 故答案为：    22．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知在正三棱锥中，底面正三角形的边长为2，侧棱长为4，向量，满足，，则的最大值为 . 【答案】5 【分析】根据向量的线性运算法则与数量积的运算性质化简已知等式，设，，将向量等式转化为动点的轨迹问题，再利用球的性质计算出两球的球面上的两点间距离的最大值，即可得到本题的答案． 【详解】由三棱锥是正三棱锥，可得，且， 由化简得，根据化简得． 设，，代入，，分别化简得且， 因此，点在以为直径的球面上，半径；在以为直径的球面上，半径． 分别取线段、的中点、， 则，故． 故答案为：5． 23．（2024高三·全国·专题练习）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值； 解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值. 【详解】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值. 解法一：因为，即，则， 可得，所以； 由题意可知：， 因为为线段上的动点，设， 则， 又因为为中点，则， 可得 ， 又因为，可知：当时，取到最小值； 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 可得， 因为，则，所以； 因为点在线段上，设， 且为中点，则， 可得， 则， 且，所以当时，取到最小值为； 故答案为：；. 24．（24-25高三上·天津河东·期末）在等腰梯形中，，是腰的中点，则的值为 ；若是腰上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作出辅助线，求出各边长，建立平面直角坐标系，得到，求出，设，，故，求出，故，从而得到最小值. 【详解】过点作⊥于点， 因为等腰梯形中，， 所以，由勾股定理得， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 故， 是腰的中点，故， 所以， 设，，， 则，故，， 故， ， 故 ， 故当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：， 25．（24-25高三上·天津河北·期中）已知中，点分别是的重心和外心，且，则边的长为 . 【答案】 【分析】根据重心和外心性质，通过转化法利用数量积可得，再由三角形法则计算可求出的长为. 【详解】延长交于点，连接，作于点，则分别为的中点，如下图所示： 易知， 同理可得， 由重心性质可知； 所以； 又，即，可得； 所以，可得； 因此，即. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于要充分利用重心和外心的性质，将数量积通过转化得出三角形边长之间的关系，再由即可得出结果. 26．（24-25高三上·天津·阶段练习）在菱形中，，，，，已知点M在线段上，且，则 ，若点N为线段上一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 7 【分析】设，进一步将其表示成以，为基底的向量，结合已知条件，可得关于和的方程组，解之，再根据模长的计算方法，得的值；设，，根据平面向量的运算法则，推出，然后由配方法，得解． 【详解】因为，，所以，， 所以，， 因为点在线段上， 可设， 而，所以，解得，， 所以， 则， 所以， 因为点为线段上一个动点， 可设，， 所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为． 故答案为：7，． 【点睛】关键点点睛： 本题考查平面向量在几何中的应用，熟练掌握平面向量的线性和数量积的运算法则，平面向量的基本定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，有一定的难度． 四、解答题 27．（2024高一下·河北邯郸·阶段练习）如图，在平行四边形中，、依次是对角线上的两个三等分点，设 . (1)请用 与 表示 ; (2)用向量方法证明：四边形是平行四边形. 【答案】(1) (2)证明过程见解析 【分析】（1）根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可； （2）根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质、相等向量的定义进行证明即可. 【详解】（1）因为、依次是对角线上的两个三等分点， 所以， 于是有， 即； （2）因为、依次是对角线上的两个三等分点， 所以， 于是有， 即，因此， 显然有，不共线， 因此且， 所以四边形是平行四边形. 28．（2024高一·上海·课堂例题）在等腰三角形ABC中，已知D为底边BC的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】用表示出，，然后求数量积即可证明. 【详解】证明：在等腰三角形ABC中，，， 因为D为底边BC的中点，所以， 所以， 所以，即. 29．（2024高一·上海·课堂例题）在四边形中，向量，，．求证：四边形为梯形． 【答案】证明见解析 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算及共线向量即可证明． 【详解】证明：因为， 所以且， 所以四边形为梯形． 30．（2024高一·上海·课堂例题）试用作图法验证下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）共线时，原不等式显然成立；不共线时，可作，，得出，然后根据三角形的边的关系可得出，最后得出原不等式成立； （2）共线时，原不等式显然成立；不共线时，可作，得出，然后根据三角形的边的关系得出原不等式成立． 【详解】（1）同向时，显然，； 反向时，显然，； 不共线时，作，，则，如下图所示：    由图看出， 综上得，； （2）同向时，显然，； 反向时，显然，； 不共线时，作，则，如下图所示：    由图看出，， 综上得，． 31．（2024高一下·四川德阳·期末）如图，四边形的三边，对角线AC交BD于O． (1)若，求的值； (2)求的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过建系，求出的坐标，代入等式列出方程组求解即得； （2）将理解为，利用两向量夹角的坐标公式即可求得. 【详解】（1） 如图，以为坐标原点，为轴，为轴建立直角坐标系， 由题意，易得，,过点作轴于点， 则,故, 则又，则 故得，，解得， 故． （2）由图知， ， 即的余弦值为. 32．（2024高一·上海·课堂例题）证明：三角形的三条中线相交于一点． 【答案】证明见解析 【分析】设的中线与交于点M，根据M在，上，利用共线向量定理得到，，再结合求解即可. 【详解】如图， 设的中线与交于点M. 则由M在，上，可知必存在实数p，q， 使得，， 因为， 所以，又， 所以， 所以，解得，即，， 设边上的中线与交于点N， 根据对称性，可知中线与的交点N也必满足上述性质， 同理可证，故M，N重合，故三角形的三条中线相交于一点. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 预习专题11 平面几何中的向量方法6题型分类 一、向量方法解决平面几何问题的步骤 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题. (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 二、向量在平面几何中常见的应用 已知． 证明线段平行、点共线问题及相似问题 常用向量共线的条件： ． 证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等 常用向量垂直的条件： （其中为非零向量）． 求夹角问题，若向量与的夹角为 利用夹角公式： （其中为非零向量）． 求线段的长度或说明线段相等 可以用向量的模： ，或（其中两点的坐标分别为． 对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题． （一） 利用向量证明平面几何问题 1、向量方法解决平面几何问题的步骤 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题. (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 2、用向量证明平面几何问题的两种基本思路及步骤 (1)利用线性运算证明的四个步骤:①选取基底.②用基底表示相关向量.③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系.④把几何问题向量化. (2)利用坐标运算证明的四个步骤:①建立适当的平面直角坐标系.②把相关向量坐标化.③用向量的坐标运算找出相应关系.④把几何问题向量化. 题型1：用向量证明线段垂直 1．（2024高一·全国·随堂练习）用向量方法证明：菱形的两条对角线互相垂直． 2．（2024高一·全国·随堂练习）用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：． 3．（2024高一下·陕西西安·期末）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点.    (1)请用、表示向量； (2)设和的夹角为，若，且，求证：. 4．（2024高一下·海南省直辖县级单位·期中）如图所示，已知在正方形中，E，F分别是边，的中点，与交于点M.    (1)设，，用，表示，； (2)猜想与的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想. 5．（2024高一下·山东济南·阶段练习）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心． (1)求重心E的坐标； (2)用向量法证明：． 6．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，AC为的一条直径，为圆周角.求证：.    题型2：用向量证明平行问题 7．（2024高一·全国·课后作业）如图，在平行四边形ABCD的对角线BD所在的直线上取两点E，F，使BE=DF．用向量方法证明：四边形AECF是平行四边形． 8．（2024高一·江苏·课后作业）设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点 （1）试用向量证明：PQAB； （2）若AB=3CD，求PQ：AB的值. 9．（2024高一下·河北保定·期中）已知，如图，在中，点满足，是线段上一点，，点为的中点，且三点共线．    (1)求的最小值． (2)若点满足，证明：． 10．（2024高一·全国·随堂练习）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点.求证：四边形EFGH为平行四边形.    11．（2024高一下·湖北襄阳·阶段练习）如图，三点不共线，，，设，. （1）试用表示向量； （2）设线段的中点分别为，试证明三点共线. （二） 利用向量解决平面几何求值问题 (1)用向量法求长度的策略 ①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解. ②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝. (2)用向量法解决平面几何问题的两种思想 ①几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解. ②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算. 题型3：平面几何的长度问题 12．（2024高一下·福建·期中）在中，点D是边的中点，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 13．（2024高一下·辽宁锦州·期末）已知，，，，点D在边上且，则长度为（    ） A． B． C． D． 14．（2024高一下·山东济宁·期中）已知两点分别是四边形的边的中点，且，，，，则线段的长为是 15．（2024高一下·河北沧州·阶段练习）如图，在中，. (1)求的长； (2)求的长. 16．（2024高一下·河北石家庄·阶段练习）已知的夹角为，则三角形的边上中线的长为 . 17．（2024高一下·江西上饶·阶段练习）在菱形ABCD中，O为菱形ABCD内一点. (1)用，，，表示； (2)若，，求，. 题型4：平面几何的角度问题 18．（福建省厦门外国语学校石狮分校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题）如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于M，则 .    19．（2024高一下·山东聊城·期末）如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则 ．    20．（2024高一下·湖南怀化·期末）在中，已知，，，和边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为 题型5：判断三角形的形状 21．（2024高一下·江苏无锡·期中）在△ABC中，若，则△ABC的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 22．（2024高一下·重庆·阶段练习）在中，若，则一定为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 23．（2024高一下·广西·期中）若非零向量与满足，且，则为（    ） A．三边均不等的三角形 B．直角三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形 24．（2024高一下·北京顺义·阶段练习）是所在平面内一点，满足，则的形状是（    ） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 25．（2024高一下·浙江宁波·期末）在中，是边的中点，且对于边上任意一点，恒有，则一定是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 题型6：平面几何中的最值问题 26．（2024高三·全国·专题练习）已知向量共面，且均为单位向量，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 27．（2024高三上·四川·阶段练习）如图，在中，D为的中点，，，是圆心为C、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．（2024高一下·山西朔州·阶段练习）已知向量满足，若对任意的实数，都有，则的最小值为 . 29．（2024高一下·北京·阶段练习）、、三点在半径为的圆上运动，且，是圆外一点，，则的最大值是 ． 30．（2024高一下·重庆沙坪坝·期中）在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．6 31．（2024·四川乐山·一模）已知正六边形边长为2，是正六边形的外接圆的一条动弦，，P为正六边形边上的动点，则的最小值为 . 一、单选题 1．（24-25高一下·全国·课后作业）已知在四边形中，，，，则四边形为（    ） A．梯形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形 2．（2024高三·全国·专题练习）已知是内一点，且满足，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024高一下·甘肃临夏·期末）在四边形ABCD中，，，，，则四边形ABCD的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（24-25高二上·贵州铜仁·开学考试）在中，，，，D为AB的中点，P为CD上一点， 且，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024高三·全国·专题练习）已知非零向量与满足且，则为（    ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形 6．（2024高一下·黑龙江大庆·期中）已知平面上，，三点不共线，是不同于，，的任意一点，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 7．（2024·湖北·模拟预测）四边形是边长为4的正方形，点是正方形内的一点，且满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知是单位向量，向量满足，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．3 D．1 9．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知在中，是边上一定点，满足，且对于边上任意一点，都有，则是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定 10．（2024·四川泸州·一模）已知平面向量，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C． D．3 11．（2024高三下·四川攀枝花·阶段练习）已知A，B，C是单位圆上不同的三点，，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 12．（2024高三·全国·专题练习）已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 13．（24-25高三上·江苏镇江·阶段练习）在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 二、多选题 14．（2024高一下·福建厦门·期中）在正方形中，，点E满足，则下列说法不正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．存在t，使得 D．的最小值为2 15．（2024高一下·吉林长春·期末）正六边形ABCDEF的边长为2，G为正六边形边上的动点，则的值可能为（    ） A． B． C．12 D．16 16．（2024高一下·湖北武汉·期中）如图，正方形的边长为是中点，如图，点是以为直径的半圆上任意点；，则下列结论正确的有（    ） A．最大值为1 B．最大值为1 C．最大值是2 D．最大值是 17．（2024高二下·江苏南京·阶段练习）已知是边长为2的正六边形内一点（不含边界），且，则下列结论正确的是（    ） A．的面积为定值 B．使得 C．的取值范围是 D．的取值范围是 18．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）在单位圆中，O为圆心，为直径，P为圆上任意一点，为直径上（含端点）相异的两点.下列说法正确的是（    ） A． B．若，则向量，的夹角为 C． D．若，则 19．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）如图，正方形的是边长为2，E，F分别是边，的中点，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 20．（24-25高三上·河北邢台·期中）已知四边形是边长为4的正方形，点满足，为平面内一点，则的最小值为 ． 21．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）已知边长为2的菱形中，，点为线段（含端点）上一动点，点满足，则的取值范围为 ． 22．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知在正三棱锥中，底面正三角形的边长为2，侧棱长为4，向量，满足，，则的最大值为 . 23．（2024高三·全国·专题练习）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 24．（24-25高三上·天津河东·期末）在等腰梯形中，，是腰的中点，则的值为 ；若是腰上的动点，则的最小值为 ． 25．（24-25高三上·天津河北·期中）已知中，点分别是的重心和外心，且，则边的长为 . 26．（24-25高三上·天津·阶段练习）在菱形中，，，，，已知点M在线段上，且，则 ，若点N为线段上一个动点，则的最小值为 ． 四、解答题 27．（2024高一下·河北邯郸·阶段练习）如图，在平行四边形中，、依次是对角线上的两个三等分点，设 . (1)请用 与 表示 ; (2)用向量方法证明：四边形是平行四边形. 28．（2024高一·上海·课堂例题）在等腰三角形ABC中，已知D为底边BC的中点，求证：． 29．（2024高一·上海·课堂例题）在四边形中，向量，，．求证：四边形为梯形． 30．（2024高一·上海·课堂例题）试用作图法验证下列不等式： (1)； (2)． 31．（2024高一下·四川德阳·期末）如图，四边形的三边，对角线AC交BD于O． (1)若，求的值； (2)求的余弦值． 32．（2024高一·上海·课堂例题）证明：三角形的三条中线相交于一点． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$