预习专题10 平面向量数量积的坐标表示7题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 预习专题10 平面向量数量积的坐标表示7题型分类 一、平面向量数量积的坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 则a·b＝x1x2＋y1y2. (1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝. 若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝. (2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)cos θ＝＝. （一） 数量积的坐标运算 进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系： (1)|a|2＝a·a. (2)(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2. (3)(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2. 题型1：数量积的坐标运算 1．（23-24高三上·上海松江·期末）已知向量，，则 【答案】0 【分析】根据向量的坐标运算求解即可. 【详解】∵，，∴， ∴. 故答案为：0. 2．（22-23高一下·新疆喀什·期末）已知，，，分别求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据平面向量的坐标运算求解即可. 【详解】（1）原式 （2）原式 （3），∴. 3．（23-24高三上·湖北武汉·期中）在边长为2的正六边形中，（    ） A．6 B．-6 C．3 D．-3 【答案】B 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，设出的坐标，求出即可得出答案． 【详解】正六边形中，每个内角都是，，有， 以为原点，为轴， 为轴，，建立平面直角坐标系，如图所示： 因为，，，则有， 所以，，， ，， 由平面向量数量积的运算可得. 故选：B． 4．（22-23高一下·北京平谷·期末）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（    ）    A．11 B．7 C．3 D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，根据向量数量积的坐标表示即可求解． 【详解】以向量的起点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示：    则，， 所以. 故选：C. 5．（23-24高三上·天津·期中）在直角梯形中，，且，若，则 . 【答案】 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，设（），用向量数量积的坐标表示求解. 【详解】如图，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设（）， 则， ， ，所以（负值舍去）， 即有， 故答案为：. 6．（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知边长为2的菱形中，，点E是BC上一点，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 建立平面直角坐标系，得到点的坐标，根据求出，从而利用平面向量数量积公式求出答案. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系， 则，设， 则， 因为，所以，解得， 故， 则. 故选：B 7．（22-23高一下·甘肃武威·阶段练习）在中，，且，是的中点，是线段的中点，则的值为（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】C 【分析】建系求出点的坐标，应用数量积的坐标运算即可. 【详解】如图，以为原点，，所在直线分别为轴，轴建立直角坐标系，则，，， ∵是的中点，∴，∵是线段的中点，∴， ∴，，，∴， ∴. 故选：C.    题型2：利用坐标求数量积的最值（范围） 8．（22-23高一下·四川成都·期中）已知是边长为1的正的边上的动点，为的中点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可取AC的中点为O，然后以点O为原点，直线AC为x轴，建立平面直角坐标系，从而根据条件可得出，并设，从而可得出，根据x的范围，配方即可求出的最大值和最小值，从而得出取值范围. 【详解】解：取AC的中点O，以O为原点，直线AC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则：，设， ， ，且， 时，取最小值；时，取最大值， ∴的取值范围是， 故选：A. 9．（22-23高一下·浙江温州·期中）如图，已知直角梯形ABCD，，，，P是斜腰BC边（含端点）上的动点，的最小值为（    ）    A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】 建立合适的直角坐标系，求出直线的方程，再利用向量数量积的坐标运算即可. 【详解】因为四边形为直角梯形，则以为坐标原点建立如图所示直角坐标系， 因为，所以， 则，设直线的方程为， 则代入坐标有，解得， 则直线的方程为， 则可设，， 则，则， 因为，则其最小值为， 故选：D.    10．（22-23高一下·广东东莞·阶段练习）在扇形中，，，M是OA中点，点P在弧AB上，则的最小值为（　　） A．0 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，再借助平面向量数量积的坐标表示，结合正弦函数性质求解作答. 【详解】如图，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，的方向为y轴的正方向建立平面直角坐标系，    则，设，， 于是， 所以 ，其中锐角满足， 因此当，即时，. 所以的最小值为. 故选：D 11．（22-23高一下·河北石家庄·期中）等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，，，，P为腰AD所在直线上任意一点，则的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】先作垂直于于点，作垂直于于点，结合题意得，，，，再建立合适的平面直角坐标系，设，，从而得到，，进而根据二次函数的性质求解即可． 【详解】等腰梯形ABCD中，作垂直于于点，作垂直于于点， 又，，， 则，，，， 则建立如图所示平面直角坐标系， 则，，，， 又P为腰AD所在直线上任意一点， 则设，， 则点P的坐标为， 所以，， 又关于的二次函数的对称轴为， 则在上单调递减， 所以当，即点P和点D重合时，取得最小值． 故的最小值是． 故选：C． 12．（23-24高三上·上海普陀·期中）已知点是边长为2的正内一点，且，若，则的最小值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求得点的轨迹方程为，可设点，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的最小值. 【详解】取的中点，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系， 则点、、， 设点，，，， 且，则，可得， 由于点在正内，则，可得，则， 可得，， ， 所以当时，取最小值. 故选：C. 13．（2023·全国·模拟预测）如图，等腰梯形ABCD中，，，点E是线段BD上的动点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，将向量坐标化即可求解 【详解】如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，过A且与AB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，则，，，，所以．    设，，，（注意判断的取值范围，为后续计算做准备） 则，所以，得， 所以，所以，． 所以， 所以当时，取得最小值，为． 故选：A （二） 平面向量的模 1、若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝. 2、若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝. 3、求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方. (2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化. 题型3：平面向量的模 14．（22-23高一下·安徽滁州·期末）已知平面向量，，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据向量的坐标运算求解. 【详解】由题意可得：， 所以. 故选：C. 15．（21-22高三上·北京·期末）已知平面向量，，且，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由向量的模的定义和向量垂直的性质，求得，再由向量的平方即为模的平方，化简计算可得所求值． 【详解】由平面向量，可得， 由，可得，即，则， 所以. 故选：C． 16．（22-23高三上·广东广州·阶段练习）已知向量，满足，，，则等于 ． 【答案】 【分析】根据平面向量的数量积的运算律和坐标运算求解. 【详解】因为向量，满足，，， 所以，解得， 所以， 故答案为: . 17．（23-24高三上·广东肇庆·阶段练习）已知向量，，若，则 . 【答案】 【分析】根据平面向量的坐标运算法则，利用题中条件建立方程，结合模长公式进行计算即可. 【详解】因为，， 则，， 又， 即， 解得， 则 故答案为： 18．（2023·湖北·模拟预测）已知平面向量，，满足，，且．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的垂直和数量积的坐标表示求出，再用坐标公式求模即可. 【详解】设，则，可得， 所以. 故选:A 题型4：平面向量模的最值问题 19．（2024高三上·云南曲靖·阶段练习）已知向量，，若非零向量满足，则取最小值时，的坐标为 . 【答案】 【分析】设，根据已知列出关系式，代入坐标整理得出.表示出，根据二次函数的性质，即可得出最值，求出答案. 【详解】设， 则由，得，所以， 所以，即，化得. 又， 所以. 当时，取得最小值， 此时，即. 故答案为：. 20．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，若，，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据向量的线性运算表示出，然后由模长公式和二次函数的性质进行求解. 【详解】由题意得，，则， 所以，又，所以， 于是， 由于，故当时，的最小值是. 故答案为： 21．（2024高三·全国·专题练习）设，向量，，且，则 ；当时，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据向量垂直列方程求得，进而求得.利用平方的方法，结合二次函数的性质求得的取值范围. 【详解】因为，所以，即，得， 所以． 由题知，又， 所以当时，取得最小值，最小值为5， 当时，取得最大值，最大值为25， 故的取值范围为． 故答案为：； （三） 平面向量的夹角 解决向量夹角问题的方法及注意事项 (1)求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ. (2)注意事项： 利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°. 利用cos θ＝判断θ的值时：要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 题型5：平面向量的夹角问题 22．（2024高一下·河北邢台·阶段练习）已知点，，向量，，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量运算法则以及夹角公式直接计算即可. 【详解】因为点，，向量，， 所以，， 所以与的夹角的余弦值. 故选：A 23．（2024高一下·江苏苏州·期末）向量，且，则 ． 【答案】/0.8 【分析】 根据给定条件，结合数量积的运算律可得，再建立平面直角坐标系，利用坐标求解夹角的余弦作答. 【详解】由，得，即，而，则，即， 以的方向分别为轴正方向，建立平面直角坐标系，如图， 则，于是，有， 所以. 故答案为： 24．（2024高三上·安徽·阶段练习）已知向量，若向量的夹角为钝角，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的夹角关系得到且与不共线，即可求解. 【详解】由题意得： 且与不共线， 即，解得：且， 所以实数的范围是， 故选：C. 25．（2024高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知向量，． (1)若向量与垂直，求k的值 (2)若向量与的夹角为锐角，求k的取值范围 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由垂直关系列出方程，求出k的值； （2）根据两向量夹角为锐角，得到不等式，求出k的取值范围. 【详解】（1）依题意得：，， ∵向量与垂直， ∴，解得． （2）由（1），， ∵向量与的夹角为锐角， ∴且． 解得且. ∴k的取值范围是． （四） 平面向量的垂直问题 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 题型6：平面向量的垂直问题 26．（2024高二下·广东韶关·期中）已知向量，且，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的坐标表示计算即可. 【详解】由. 因为，所以． 故选:A. 27．（2024高三上·河南·期中）已知向量，，，若，则 ． 【答案】9 【分析】确定，根据计算得到答案. 【详解】，，则，， ，则，解得. 故答案为： 28．（2024高三上·河北张家口·阶段练习）已知，若实数满足，则 ． 【答案】 【分析】由向量线性运算的坐标表示和向量垂直的坐标表示求解. 【详解】，则， 由，所以，解得． 故答案为： 29．（2024高一下·云南保山·期中）已知向量，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据向量垂直的坐标表示，列出方程求得，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由向量， 若，可得，解得， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 30．（2024·重庆·模拟预测）已知向，，若向量与垂直，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 计算出、的值，由已知可得，结合平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】因为，，则，， 因为向量与垂直，则，解得. 故选：C. 31．（2024高一下·山东青岛·期中）已知向量，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据向量坐标计算公式求出，再结合向量垂直的坐标公式计算即可. 【详解】因为，所以， 又因为，所以，解得. 故选：A （五） 平面向量的投影问题 已知非零向量，是与的夹角，则向量在向量方向上的投影为 向量在向量方向上的投影为 题型7：平面向量的投影问题 32．（2024高一下·广东佛山·期中）向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出，，再根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：B 33．（2024高一下·天津和平·期末）已知向量，则向量在方向上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得. 【详解】向量，则， 所以向量在方向上的投影向量为 故答案为： 34．（2024高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知向量，，且，则在方向上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由向量垂直求出，从而结合数量积坐标公式及投影向量的公式求解即可. 【详解】因为向量，，所以，解得， 则，则， 所以在方向上的投影向量为. 故选：C 35．（2024高一下·河北保定·期中）已知平面向量，，，且． (1)求的坐标； (2)求向量在向量上的投影向量的模． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的坐标运算即可列方程求解， （2）根据投影向量的定义即可求解. 【详解】（1）解：设，因为，所以． 又，解得，，所以． （2）解：，所以， 则向量在向量上的投影向量的模为. 36．（2024·全国·模拟预测）向量，，那么向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平面向量的坐标运算、投影向量的计算公式即可求解． 【详解】因为，，所以， 则在上的投影向量的模为 ， 则在上的投影向量为. 故选：A． 37．（2024高三上·上海静安·阶段练习）已知向量，且，则向量在向量方向上的投影向量为 . 【答案】 【分析】首先求出，，再根据向量垂直得到，即可求出，最后根据计算可得. 【详解】因为，， 则，， 又，所以， 即，解得， 所以， 则向量在向量方向上的投影向量为. 故答案为： 38．（2024高三上·云南·阶段练习）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【分析】根据投影向量的定义进行求解即可. 【详解】因为向量，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量的坐标为：. 故答案为：. 一、单选题 1．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知向量，，若，则实数的值为（    ） A．2或 B．或 C．2或 D．或 【答案】A 【分析】由题意可得，利用向量的坐标运算可得，求解即可. 【详解】由题意可知.因为，， 所以，整理得，解得或. 故选：A. 2．（23-24高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知向量，，若与反向共线，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量共线的坐标运算，求得参数，再结合向量线性运算的坐标运算求模长即可. 【详解】根据题意可得：，解得或； 当时，与共线同向，故舍去； 当时，，， . 故选：C. 3．（24-25高三上·辽宁辽阳·期末）若向量，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据向量垂直的坐标表示以及对数运算即可求解. 【详解】由得，， 所以. 故选：C. 4．（2024高二上·河南安阳·学业考试）已知向量，则向量在向量上的投影为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据，的坐标结合投影的定义即可求得答案. 【详解】， 所以向量在向量上的投影为. 故选：C. 5．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知，则（   ） A．12 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】利用向量数量积的运算律以及模长的坐标运算即可得出结果. 【详解】易知，即， 又可得； 所以. 故选：B 6．（22-23高一下·天津滨海新·期中）在矩形ABCD中，若，，且，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】 根据矩形的特点，建立坐标系，由已知条件，求得AD的长度，进而利用数量积的坐标运算即可求得． 【详解】 建立如图所示坐标系，设，，，，，， 由可得： ， 由，可得，解得，或舍去， 则． 故选：D．    7．（23-24高三下·青海海南·开学考试）已知向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量平行可求得，再由夹角的坐标表示即可得出结果. 【详解】由可知，解得， 即可得， 所以. 故选：B 8．（23-24高三上·山东威海·期末）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量平行坐标表示求出，再应用模长公式求解即可. 【详解】向量，，， . 故选：B. 9．（6.3.5平面向量数量积的坐标表示【第一课】“上好三节课，做好三套题“高中数学素养晋级之路）已知，，，若，则x等于（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】运用向量的坐标运算规则进行求解. 【详解】解：由题意可得，， 所以，， 所以，解得x＝4. 故选：C. 10．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知向量，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】我们先根据向量垂直求出的值，再根据向量模的计算公式求出. 【详解】已知，，则. 因为，即. 即,解得. 由，则.所以. 故选：C. 11．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知向量，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】A 【分析】根据向量的数量积，通过用坐标表示平面向量垂直的条件计算求解即可. 【详解】因为， 所以，解得． 故选：A. 12．（22-23高一下·福建漳州·期末）已知向量与垂直，若，且与向量的夹角是锐角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设，由条件列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】设，因为向量与垂直，且， 则可得，解得或， 又因为与向量的夹角是锐角， 当时，，故舍去， 当时，，满足. 故选：A 13．（江苏省G4联盟（苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学）2024-2025学年高三上学期12月联考数学试题）已知中，，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，应用向量数量积运算律得，结合最小值可得，进而建立合适的坐标系，应用坐标法求的最小值. 【详解】设，， 且 ， 当且仅当时等号成立，又的最小值为， 所以，又，则， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设点，其中，且、， ，， 所以， 当且仅当时，取最小值. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义： （2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义． 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 二、多选题 14．（24-25高三上·贵州·阶段练习）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．若，可以作为基底，则 B．若，则 C．若，则 D．若与的夹角为，则或9 【答案】ACD 【分析】当与共线求出的值，即可判断A；根据向量模的坐标表示得到方程，即可判断B；根据即可判断C；根据夹角公式得到方程，求出的值，即可判断D. 【详解】对于A，若，可以作为基底，则与不共线， 当与共线时，，，故，可以作为基底时，，故A正确； 对于B，，， ，解得或，故B错误； 对于C，若，则，，故C正确； 对于D，，，或，故D正确. 故选：ACD 15．（24-25高三上·福建泉州·期末）已知向量，，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若在上的投影为，则向量与的夹角为 C．存在，使得 D．的最大值为 【答案】BCD 【分析】利用平面向量垂直的坐标表示可判断A选项；利用向量投影的定义可判断B选项；可知，、方向相同，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可判断C选项；利用平面向量数量积的坐标运算结合辅助角公式可判断D选项. 【详解】因为向量，， 对于A选项，若，则，可得， 故，A错； 对于B选项，因为，在上的投影为， 因为，则，即向量与的夹角为，B对； 对于C选项，若，则、方向相同， 所以，，解得， 故当时，，C对； 对于D选项，， 其中为锐角，且，故的最大值为，D对. 故选：BCD. 16．（24-25高三上·吉林长春·期末）已知向量，，满足，，，则（    ） A． B．当时， C．当时， D．在上的投影向量的坐标为 【答案】BC 【分析】根据向量坐标运算及模的定义判断A，根据向量平行可得坐标关系判断B，根据垂直向量的数量积为0判断C，根据投影向量的概念判断D. 【详解】对A，，，，所以，故A错误； 对B，，，当时，，即，故B正确； 对C，，由可得，即，故C正确； 对D，在的投影向量为，故D错误. 故选：BC 17．（24-25高三上·福建宁德·阶段练习）已知向量，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则或1 B．若，则或 C．若，则或3 D．若，则向量夹角的余弦值为 【答案】AC 【分析】根据平面向量的坐标运算的相关公式，逐一分析每个选项进行计算求解. 【详解】A选项，若，根据向量共线的条件，，即，解得则或1，A选项正确； B选项，若，则，解得或，B选项错误； C选项，若，则，解得或3，C选项正确； D选项，若，，向量夹角的余弦值为，D选项错误. 故选：AC 18．（2025高三·全国·专题练习）已知向量，，满足，，，则（    ） A． B．当时， C．当时， D．在上的投影向量的坐标为 【答案】BCD 【分析】根据已知及向量线性关系的坐标运算、垂直和平行的坐标表示、投影向量的定义依次判断各项的正误. 【详解】A，，，，所以，错误； B，，，当时，，即，正确； C，，由可得，即，正确； D，在的投影向量为，正确. 故选：BCD 19．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知平面向量，满足，，则（   ） A．，一定可以作为一组基底 B．为定值 C．当时，向量在上的投影向量为 D．若向量，的夹角为钝角，则m的取值范围为 【答案】BC 【分析】利用已知求得，，进而确定，是否共线判断A；利用向量的数量积的坐标表示计算判断B；利用投影向量的概念计算向量在上的投影向量判断C；由已知可得，且与不反向共线，计算判断D. 【详解】由，，得，， 对于A，由，得，解得，此时，不可以作为一组基底，A错误； 对于B，，故为定值2，B正确； 对于C，当时，，， 向量在上的投影向量为，C正确； 对于D，若向量，的夹角为钝角，则，且与不反向共线， 所以，且，解得，D错误. 故选：BC. 三、填空题 20．（24-25高三上·上海·期中）如图，在边长为3的正方形ABCD中，，若P为线段BE上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标运算求得最值． 【详解】解：在正方形中，建立如图所示坐标系， 由正方形边长为3且， 可得， 设，，则， 则， 故， 故当时，取得最小值为． 故答案为：． 21．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）已知向量，满足，，，则 ． 【答案】6 【分析】根据模长公式即可求解. 【详解】由 可得， ，解得， 故答案为：6 22．（24-25高三上·黑龙江·期末）已知向量，，则 . 【答案】 【分析】先计算向量的坐标，再根据模长公式计算即可. 【详解】，故. 故答案为：. 23．（23-24高三下·上海闵行·阶段练习）已知向量，则在方向上的投影向量为 . 【答案】/ 【分析】根据投影向量的计算公式即可求解. 【详解】 在方向上的投影向量为 故答案为： 24．（22-23高一下·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知，，且，则与方向相同的单位向量的坐标为 . 【答案】 【分析】由运算可得，再根据方向相同的单位向量为，可得解. 【详解】∵，，且， ∴， ∴，故， ∴与方向相同的单位向量为， 故答案为：. 25．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知向量，，则 . 【答案】 【分析】由向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】由题意可得：， 所以， 故答案为： 26．（24-25高三上·吉林白城·期末）在等腰梯形中，，是腰上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】以为原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，利用坐标运算表示及，根据二次函数的性质可得结果. 【详解】 如图，过点作于点，过点作于点， ∵，∴， ∴，故， 以为原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，则， 设，其中，则， ∴， ∴， ∴当时，取最小值． 故答案为：． 27．（24-25高三上·甘肃·期末）已知向量，，若，则 . 【答案】/ 【分析】由向量垂直的性质列方程求，利用向量的模的坐标表示求，再由向量夹角公式求结论. 【详解】因为， 所以，得. 因为，，， 所以. 故答案为：. 四、解答题 28．（21-22高一·江苏·课后作业）已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求实数的值； (3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)且 【分析】（1）根据向量平行的坐标运算列式求解的值，从而得模长； （2）根据向量的坐标的线性运算得的坐标，再根据向量垂直的坐标运算求解实数的值； （3）根据向量夹角与数量积的关系求解即可. 【详解】（1）因为向量，且， 所以，解得， 所以. （2）因为，且， 所以，解得. （3）因为与的夹角是钝角， 则且与不共线， 即且， 所以且. 29．（24-25高三上·山东菏泽·阶段练习）已知向量，且． (1)求； (2)求与的夹角． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算求得，即可求得； （2）根据向量夹角的坐标公式计算即可求得. 【详解】（1）因为向量，所以， 由得，解得，所以. 又，所以. （2）设向量与向量的夹角为， 因为，则， 又，所以， 即向量与向量的夹角是. 30．（24-25高一上·北京·期末）已知向量，，． (1)求； (2)若向量，试用表示； (3)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先写出的坐标，再计算模长即可； （2）按照向量的坐标运算解方程即可； （3）先求出向量的坐标，再结合的坐标按照向量共线解方程即可. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以. （2）由题可知与不共线，故设()， 即， 所以，解得，． 因此. （3）由题意得． 因为， 所以， 解得. 31．（22-23高一下·江西萍乡·期末）已知向量，． (1)若，试判断向量与是否垂直； (2)若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】(1)向量与不垂直； (2) 【分析】（1）求出的坐标，利用坐标法求出即可判断； （2）依题意可得且与不反向，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）若，则，， 故， ∴，所以当时，向量与不垂直； （2）由题意知，， 向量与的夹角为钝角，∴，解得， 当与反向时，有，解得， 所以向量与的夹角为钝角时，实数的取值范围是． 32．（2024高一下·全国·专题练习）已知，. (1)设，求； (2)求向量在上的投影的数量. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用向量的坐标运算，以及数量积的运算公式，准确运算，即可求解； （2）根据题意，利用向量的数量积的几何意义，即可求解. 【详解】（1）解：由向量，， 可得，且， 所以. （2）解：由向量，，可得，且， 所以向量在上的投影的数量为. 33．（2024·四川眉山·一模）已知向量，，，且向量与共线. (1)证明：； (2)求与夹角的余弦值； (3)若，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据向量共线得，列方程组解出，再利用向量垂直的坐标表示证明即可； （2）利用及向量数量积和模长的坐标表示求解即可； （3）利用向量数量积的运算律求解即可 【详解】（1）因为向量与共线，所以， 则，解得， 所以，， 因为， 所以. （2）由（1）得， 所以， 即与夹角的余弦值为. （3）因为，，， 所以，解得. 34．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）已知向量． (1)当且时，求； (2)当，求向量与的夹角． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量的坐标运算法则先求出和的坐标，再由条件可得，求出x的值，再求的坐标，得出其模长. （2）由向量的坐标运算法则先求出的坐标，由，求出x的值，然后由向量的夹角公式可得答案. 【详解】（1）因为向量 则，， 又因为，则， 可得，解得或， 且，则，则，， 所以. （2）由，则， 由，可得，解得，即， 可得，，， 则， 且，所以向量与的夹角. 35．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知向量，. (1)若，，求的值； (2)若与的夹角为且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知向量的坐标结合向量垂直列式求得，再利用两角差的正切求值； （2）直接利用数量积求夹角公式及辅助角公式可得，求得的值，则的值可求． 【详解】（1）因为，且， 所以，，所以 ， 故； （2）因为，， 所以，， ，因为与的夹角为， 所以，即， 所以，因为，所以， 所以，所以. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 预习专题10 平面向量数量积的坐标表示7题型分类 一、平面向量数量积的坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 则a·b＝x1x2＋y1y2. (1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝. 若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝. (2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)cos θ＝＝. （一） 数量积的坐标运算 进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系： (1)|a|2＝a·a. (2)(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2. (3)(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2. 题型1：数量积的坐标运算 1．（23-24高三上·上海松江·期末）已知向量，，则 2．（22-23高一下·新疆喀什·期末）已知，，，分别求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 3．（23-24高三上·湖北武汉·期中）在边长为2的正六边形中，（    ） A．6 B．-6 C．3 D．-3 4．（22-23高一下·北京平谷·期末）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（    ）    A．11 B．7 C．3 D． 5．（23-24高三上·天津·期中）在直角梯形中，，且，若，则 . 6．（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知边长为2的菱形中，，点E是BC上一点，满足，则（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高一下·甘肃武威·阶段练习）在中，，且，是的中点，是线段的中点，则的值为（    ） A．0 B． C． D．2 题型2：利用坐标求数量积的最值（范围） 8．（22-23高一下·四川成都·期中）已知是边长为1的正的边上的动点，为的中点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（22-23高一下·浙江温州·期中）如图，已知直角梯形ABCD，，，，P是斜腰BC边（含端点）上的动点，的最小值为（    ）    A．0 B． C． D． 10．（22-23高一下·广东东莞·阶段练习）在扇形中，，，M是OA中点，点P在弧AB上，则的最小值为（　　） A．0 B．2 C． D． 11．（22-23高一下·河北石家庄·期中）等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，，，，P为腰AD所在直线上任意一点，则的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 12．（23-24高三上·上海普陀·期中）已知点是边长为2的正内一点，且，若，则的最小值为（    ）. A． B． C． D． 13．（2023·全国·模拟预测）如图，等腰梯形ABCD中，，，点E是线段BD上的动点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． （二） 平面向量的模 1、若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝. 2、若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝. 3、求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方. (2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化. 题型3：平面向量的模 14．（22-23高一下·安徽滁州·期末）已知平面向量，，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 15．（21-22高三上·北京·期末）已知平面向量，，且，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 16．（22-23高三上·广东广州·阶段练习）已知向量，满足，，，则等于 ． 17．（23-24高三上·广东肇庆·阶段练习）已知向量，，若，则 . 18．（2023·湖北·模拟预测）已知平面向量，，满足，，且．若，则（    ） A． B． C． D． 题型4：平面向量模的最值问题 19．（2024高三上·云南曲靖·阶段练习）已知向量，，若非零向量满足，则取最小值时，的坐标为 . 20．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，若，，，则的最小值为 . 21．（2024高三·全国·专题练习）设，向量，，且，则 ；当时，的取值范围为 ． （三） 平面向量的夹角 解决向量夹角问题的方法及注意事项 (1)求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ. (2)注意事项： 利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°. 利用cos θ＝判断θ的值时：要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 题型5：平面向量的夹角问题 22．（2024高一下·河北邢台·阶段练习）已知点，，向量，，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 23．（2024高一下·江苏苏州·期末）向量，且，则 ． 24．（2024高三上·安徽·阶段练习）已知向量，若向量的夹角为钝角，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 25．（2024高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知向量，． (1)若向量与垂直，求k的值 (2)若向量与的夹角为锐角，求k的取值范围 （四） 平面向量的垂直问题 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 题型6：平面向量的垂直问题 26．（2024高二下·广东韶关·期中）已知向量，且，则实数（    ） A． B． C． D． 27．（2024高三上·河南·期中）已知向量，，，若，则 ． 28．（2024高三上·河北张家口·阶段练习）已知，若实数满足，则 ． 29．（2024高一下·云南保山·期中）已知向量，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 30．（2024·重庆·模拟预测）已知向，，若向量与垂直，则实数（    ） A． B． C． D． 31．（2024高一下·山东青岛·期中）已知向量，若，则（    ） A． B．1 C． D． （五） 平面向量的投影问题 已知非零向量，是与的夹角，则向量在向量方向上的投影为 向量在向量方向上的投影为 题型7：平面向量的投影问题 32．（2024高一下·广东佛山·期中）向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 33．（2024高一下·天津和平·期末）已知向量，则向量在方向上的投影向量的坐标为 . 34．（2024高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知向量，，且，则在方向上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 35．（2024高一下·河北保定·期中）已知平面向量，，，且． (1)求的坐标； (2)求向量在向量上的投影向量的模． 36．（2024·全国·模拟预测）向量，，那么向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 37．（2024高三上·上海静安·阶段练习）已知向量，且，则向量在向量方向上的投影向量为 . 38．（2024高三上·云南·阶段练习）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为 . 一、单选题 1．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知向量，，若，则实数的值为（    ） A．2或 B．或 C．2或 D．或 2．（23-24高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知向量，，若与反向共线，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 3．（24-25高三上·辽宁辽阳·期末）若向量，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 4．（2024高二上·河南安阳·学业考试）已知向量，则向量在向量上的投影为（    ） A． B．2 C． D． 5．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知，则（   ） A．12 B． C．8 D． 6．（22-23高一下·天津滨海新·期中）在矩形ABCD中，若，，且，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 7．（23-24高三下·青海海南·开学考试）已知向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高三上·山东威海·期末）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 9．（6.3.5平面向量数量积的坐标表示【第一课】“上好三节课，做好三套题“高中数学素养晋级之路）已知，，，若，则x等于（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 10．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知向量，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知向量，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．0 12．（22-23高一下·福建漳州·期末）已知向量与垂直，若，且与向量的夹角是锐角，则（    ） A． B． C． D． 13．（江苏省G4联盟（苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学）2024-2025学年高三上学期12月联考数学试题）已知中，，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 14．（24-25高三上·贵州·阶段练习）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．若，可以作为基底，则 B．若，则 C．若，则 D．若与的夹角为，则或9 15．（24-25高三上·福建泉州·期末）已知向量，，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若在上的投影为，则向量与的夹角为 C．存在，使得 D．的最大值为 16．（24-25高三上·吉林长春·期末）已知向量，，满足，，，则（    ） A． B．当时， C．当时， D．在上的投影向量的坐标为 17．（24-25高三上·福建宁德·阶段练习）已知向量，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则或1 B．若，则或 C．若，则或3 D．若，则向量夹角的余弦值为 18．（2025高三·全国·专题练习）已知向量，，满足，，，则（    ） A． B．当时， C．当时， D．在上的投影向量的坐标为 19．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知平面向量，满足，，则（   ） A．，一定可以作为一组基底 B．为定值 C．当时，向量在上的投影向量为 D．若向量，的夹角为钝角，则m的取值范围为 三、填空题 20．（24-25高三上·上海·期中）如图，在边长为3的正方形ABCD中，，若P为线段BE上的动点，则的最小值为 ． 21．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）已知向量，满足，，，则 ． 22．（24-25高三上·黑龙江·期末）已知向量，，则 . 23．（23-24高三下·上海闵行·阶段练习）已知向量，则在方向上的投影向量为 . 24．（22-23高一下·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知，，且，则与方向相同的单位向量的坐标为 . 25．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知向量，，则 . 26．（24-25高三上·吉林白城·期末）在等腰梯形中，，是腰上的动点，则的最小值为 ． 27．（24-25高三上·甘肃·期末）已知向量，，若，则 . 四、解答题 28．（21-22高一·江苏·课后作业）已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求实数的值； (3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 29．（24-25高三上·山东菏泽·阶段练习）已知向量，且． (1)求； (2)求与的夹角． 30．（24-25高一上·北京·期末）已知向量，，． (1)求； (2)若向量，试用表示； (3)若，求实数的值． 31．（22-23高一下·江西萍乡·期末）已知向量，． (1)若，试判断向量与是否垂直； (2)若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 32．（2024高一下·全国·专题练习）已知，. (1)设，求； (2)求向量在上的投影的数量. 33．（2024·四川眉山·一模）已知向量，，，且向量与共线. (1)证明：； (2)求与夹角的余弦值； (3)若，求的值. 34．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）已知向量． (1)当且时，求； (2)当，求向量与的夹角． 35．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知向量，. (1)若，，求的值； (2)若与的夹角为且，求的值. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$