1.1.2空间向量基本定理课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.1.2 空间向量基本定理 1.1.2 空间向量基本定理 - - 1.1.2 空间向量基本定理 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 核心素养 1.理解并记住共线向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理及空间向量基本定理的内容及含义.(数学抽象) 2.熟记基底、基向量的概念.会选择恰当的基底表示空间向量.(数学抽象) 3.会用共线向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理和空间向量基本定理解决空间几何中的简单问题.(逻辑推理) - 1.1.2 空间向量基本定理 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 思维脉络 - 1.1.2 空间向量基本定理 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 激趣诱思 知识点拨 “道生一,一生二,二生三,三生万物”这句话出自老子《道德经》第四十二章.《说文解字》有对这句话的注释.首先确认“一”是地平线,然后进一步确定:“一生二”是指由地平线延伸出天和地两个平面;“二生三”是指天、地分开后, 形成中间的“空”;“三生万物”则是指万物生长于天地之间的“空”.因此,古人观察地平线、天地和万物的存在状态,最后总结成“一生二,二生三,三生万物”这句话.联系一下我们学过的平面向量基本定理,可以概括为给出一组二维的基底可以生成平面中所有的向量;推广到三维空间,仍然为给出一组三维的基底,可以生成空间中的所有向量. 课前篇自主预习 - 1.1.2 空间向量基本定理 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 激趣诱思 知识点拨 1.平面向量中的结论 (1)共线向量基本定理:如果a≠0且b∥a,则存在唯一的实数 ,使得b= a. (2)平面向量基本定理:如果平面内两个向量a与b不共线,则对该平面内任意一个向量c,存在唯一的实数对(x,y),使得c=xa+yb. 课前篇自主预习 - 1.1.2 空间向量基本定理 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 激趣诱思 知识点拨 微练习 已知直角坐标平面内的两个向量a=(1,3),b=(m,2m-3),使得平面内的任意一个向量c都可以唯一的表示成c= a+ b,则m的取值范围是 . 解析:要使c= a+ b成立,则只需a与b不共线,即只需满足 即3m≠2m-3,故m≠-3. 答案:{m|m≠-3} 课前篇自主预习 - 1.1.2 空间向量基本定理 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 激趣诱思 知识点拨 2.空间中的共线向量基本定理 两个空间向量a,b,如果a≠0,且b∥a,则存在唯一的实数 ,难得b= a. 课前篇自主预习 - 1.1.2 空间向量基本定理 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 激趣诱思 知识点拨 微判断 两个有公共终点的向量,一定是共线向量.( ) 答案: 微练习 已知向量a,b不共线,p=ka+b,q=a-k2b,若p,q共线,则k的值是( ) A.0 B.1 C.-1 D.2 解析:若p,q共线,则存在唯一的实数x,使p=xq,即ka+b=xa-xk2b, 答案:C 课前篇自主预习 - 1.1.2 空间向量基本定理 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 激趣诱思 知识点拨 3.共面向量定理 如果两个向量a,b不共线,则向量a,b,c共面的充要条件是,存在唯一的实数对(x,y),使c=xa+yb. 名师点析 证明空间向量共面或四点共面的方法 (1)向量表示:设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合,即若p=xa+yb,则向量p,a,b共面. (2)若存在有序实数组(x,y,z)使得对于空间任一点O,及不共线的三点A,B,C, 课前篇自主预习 - 1.1.2 空间向量基本定理 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 激趣诱思 知识点拨 微判断 (1)若p与a,b共面,则p=xa+yb.( ) 答案:(1) (2)√ (3) 微思考 向量与平面平行和直线与平面平行相同吗? 提示:不相同.向量与平面平行,向量所在直线可以在平面内,而直线与平面平行时,两者是无公共点的. 课前篇自主预习 - 1.1.2 空间向量基本定理 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 激趣诱思 知识点拨 4.空间向量基本定理 如果空间中的三个向量a,b,c不共面,那么对空间中的任意一个向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.其中,空间中不共面的三个向量a,b,c组成的集合{a,b,c},常称为空间向量的一组基底.此时,a,b,c都称为基向量;如果p=xa+yb+zc,则称xa+yb+zc为p在基底{a,b,c}下的分解式. 名师点析 (1)任意三个不共面向量都可构成空间的一组基底;任意一组空间的基底都可生成空间的所有向量;每一个空间向量都可被分解到任意一组基底中基向量的三个不同方向;同一个向量在同一组基底下的分解式是唯一的. 课前篇自主预习 - 1.1.2 空间向量基本定理 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 激趣诱思 知识点拨 微判断 (1)空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示.( ) (2)若{a,b,c}为空间的一组基底,则a,b,c全不是零向量.( ) (3)如果向量a,b与任何向量都不能构成空间的一组基底,则一定有a与b共线.( ) (4)任何三个不共线的向量都可构成空间的一组基底.( ) 答案:(1) (2)√ (3)√ (4) 课前篇自主预习 - 1.1.2 空间向量基本定理 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 激趣诱思 知识点拨 微练习 答案:C 课前篇自主预习 - 1.1.2 空间向量基本定理 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 空间向量共线的判定 例1如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1D1,AB的中点,E在AA1上且AE=2EA1,F在CC1上且CF= 课堂篇探究学习 - 1.1.2 空间向量基本定理 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 课堂篇探究学习 - 1.1.2 空间向量基本定理 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 变式训练1 课堂篇探究学习 - 1.1.2 空间向量基本定理 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 课堂篇探究学习 - 1.1.2 空间向量基本定理 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 空间向量共面问题 例2如图所示,已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直, 课堂篇探究学习 - 1.1.2 空间向量基本定理 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 课堂篇探究学习 - 1.1.2 空间向量基本定理 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 反思感悟 证明空间三向量共面或四点共面的方法 向量表示:设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合,即若p=xa+yb,则向量p,a,b共面.对于此方法的使用要注意涉及的向量的始点、终点问题,如,本例中当MN和CD、DE没有关联的 课堂篇探究学习 - 1.1.2 空间向量基本定理 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 课堂篇探究学习 - 1.1.2 空间向量基本定理 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 课堂篇探究学习 - 1.1.2 空间向量基本定理 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 基底的判断 课堂篇探究学习 - 1.1.2 空间向量基本定理 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 课堂篇探究学习 - 1.1.2 空间向量基本定理 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 反思感悟 空间向量有无数组基底.判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底,关键是要判断它们是否共面,如果从正面难以入手,常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断.比如此例中将能否构成基底问题转化为一个方程组的解的讨论. 课堂篇探究学习 - 1.1.2 空间向量基本定理 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 答案:C 课堂篇探究学习 - 1.1.2 空间向量基本定理 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 用基底表示向量 例4 课堂篇探究学习 - 1.1.2 空间向量基本定理 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 课堂篇探究学习 - 1.1.2 空间向量基本定理 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 课堂篇探究学习 - 1.1.2 空间向量基本定理 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 反思感悟 1.空间中,任一向量都可以用一组基底表示,且只要基底确定,则表示形式是唯一的. 2.用基底表示空间向量时,一般要结合图形,运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则,以及数乘向量的运算法则,逐步向基向量过渡,直至全部用基向量表示. 3.在空间几何体中选择基底时,通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底,例如,在正方体、长方体、平行六面体、四面体中,一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底. 课堂篇探究学习 - 1.1.2 空间向量基本定理 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 课堂篇探究学习 - 1.1.2 空间向量基本定理 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 课堂篇探究学习 - 1.1.2 空间向量基本定理 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 空间向量基本定理的应用 例5如图所示,已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,M,N分别为PC,PD上的点,且PM∶MC=2∶1,N为PD中点, 课堂篇探究学习 - 1.1.2 空间向量基本定理 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 课堂篇探究学习 - 1.1.2 空间向量基本定理 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 反思感悟 选定空间中不共面的三个向量作基向量,并用它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何问题的一项基本功.要结合已知和所求,观察图形,联想相关的运算法则和公式等,就近表示所需向量,再对照目标,将不符合目标要求的向量当作新的所需向量,如此继续下去,直到所有向量都符合目标要求为止.这就是向量的分解,空间向量基本定理表明,用空间三个不共面的向量组{a,b,c}可以表示出任意一个向量,而且a,b,c的系数是唯一的.正是利用唯一性,本例中当把 利用基底表示出来后,就能形成一一对应,进而得到x,y,z的值.本例中基底是明确的,但要灵活运用线性运算朝着基底转化是关键. 课堂篇探究学习 - 1.1.2 空间向量基本定理 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 变式训练5三射线AB,BC,BB1不共面,若四边形BB1A1A和四边形 答案:D 课堂篇探究学习 - 1.1.2 空间向量基本定理 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 思维拓展——空间向量基本定理的体积形式 案例 若P为空间四面体A-BCD内的任一点,VB,VC,VD,V分别表示四面体P-ACD,四面体P-ABD,四面体P-ABC,四面体A-BCD的体积, 课堂篇探究学习 - 1.1.2 空间向量基本定理 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 证明: 课堂篇探究学习 - 1.1.2 空间向量基本定理 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 1.设p:a,b,c是三个非零向量;q:{a,b,c}为空间的一组基底,则p是q的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:当非零向量a,b,c不共面时,{a,b,c}可以当基底,否则不能当基底,当{a,b,c}为基底时,一定有a,b,c为非零向量.因此p q,q p. 答案:B 课堂篇探究学习 - 1.1.2 空间向量基本定理 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 2.下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是( ) 答案:C 课堂篇探究学习 - 1.1.2 空间向量基本定理 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 A.P∈直线AB B.P∉直线AB C.O,A,B,P四点共面 D.P,A,B三点共线 答案:ACD 课堂篇探究学习 - 1.1.2 空间向量基本定理 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 4.有下列命题: 答案:②③ 课堂篇探究学习 - 1.1.2 空间向量基本定理 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 课堂篇探究学习 - 1.1.2 空间向量基本定理 课前篇自主预习 课堂篇探究学习 , 名师点析 证明(或判断)三点A,B,C共线时,只需证明存在实数 ,使= (或= )即可;也可用“对空间任意一点O,有=t+(1-t)”来证明三点共线. 则解得k=-1. 有=x+y+z,且x+y+z=1成立,则P,A,B,C四点共面. (2)若=x+y,则P,M,A,B共面. ( ) (3)若P,M,A,B共面,则=x+y. ( ) (2)对空间任一点O,及不共线的三点A,B,C,若=x+y+z,则P,A,B,C四点共面的充要条件是x+y+z=1. 长方体ABCD-A1B1C1D1中,若=3i,=2j,=5k,则等于( ) A.i+j+k B.i+j+k C.3i+2j+5k D.3i+2j-5k 解析: =3i+2j+5k. 解:由题意,得 = ==-. 即=-,∴共线. FC1,判断是否共线. 反思感悟 1.判断两向量是否共线:判断两向量a,b(b≠0)是否共线,即判断是否存在实数 ,使a= b.本例中紧紧围绕之间的倍数关系,正是体现了共线向量定理的应用要领. 2.求解参数:已知两非零向量共线,可求其中参数的值,即利用“若a∥b,则a= b( ∈R)”.这一结论可逆向解决已知条件为向量平行的若干问题. 3.判断或证明空间中的三点(如P,A,B)是否共线的三种方法: (1)考察是否存在实数 ,使= ; (2)考察对空间任意一点O,是否有+t; (3)考察对空间任意一点O,是否有=x+y(x+y=1). 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在A1D1上,且=2,点F在对角线A1C上,且.求证:E,F,B三点共线. 证明:设=a,=b,=c. 因为=2, 所以, 所以b, )=)=a+b-c, 所以a-b-c=a-b-c. 又=-b-c+a=a-b-c. 所以, 又因为有公共点E,所以E,F,B三点共线. 点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=BD,AN=AE.求证:向量共面. 证明:因为M在BD上,且BM=BD, 所以. 同理. 所以 =++ =. 又不共线,根据向量共面的充要条件可知共面. 端点时要说明不共线.除了例题中记法,另,若存在有序实数组(x,y,z)使得对于空间任一点O,有=x+y+z,且x+y+z=1成立,则P,A,B,C四点共面.可使用这一推论进行共面的证明. 变式训练2已知A,B,C三点不共线,点M满足. (1)三个向量是否共面? (2)点M是否在平面ABC内? 解:(1)∵=3, ∴=()+(), ∴=-, ∴向量共面. (2)由(1)知向量共面, 又它们有共同的起点M, 且A,B,C三点不共线, ∴M,A,B,C四点共面, 即点M在平面ABC内. 例3已知{e1,e2,e3}是空间的一组基底,且=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3,试判断{}能否作为空间的一组基底. 解:假设共面. 则存在实数 , 使得= + , ∴e1+2e2-e3= (-3e1+e2+2e3)+ (e1+e2-e3) =(-3 + )e1+( + )e2+(2 - )e3, ∵e1,e2,e3不共面, ∴此方程组无解, ∴不共面, ∴{}可以作为空间的一组基底. 解析:∵a-b且a,b不共线, ∴a,b,共面,∴与a,b不能构成一组空间基底. 变式训练3已知点O,A,B,C为空间不共面的四点,且向量a=,向量b=,则与a,b不能构成空间基底的向量是( ) A. B. C. D. 如图,在三棱柱ABC-A'B'C'中,已知=a,=b,=c,点M,N分别是BC',B'C'的中点,试用基底{a,b,c}表示向量. 解:连接A'N(图略). =) ==)+ ==(a+b+c). =) =)=a+b+c. 解:因为M为BC'的中点,N为B'C'的中点, 所以) =a+b. ) =)= =)+b+a-c. 延伸探究 若把本例中,“=a”改为“=a”,其他条件不变,则结果是什么? 变式训练4如图,四棱锥P-OABC的底面为一矩形,PO⊥平面OABC,设=a,=b,=c,E,F分别是PC和PB的中点,试用a,b,c表示. 解:连接BO, 则)=(c-b-a) =-a-b+c. =-a+=-a+) =-a-b+c. ) =-a+c+(-c+b)=-a+b+c. a. 求满足=x+y+z的实数x,y,z的值. 解:在PD上取一点F,使PF∶FD=2∶1,连接MF,则, 而 =), =-, ∴=-, ∴x=-,y=-,z=. 解析:由题意知AB,BC,BB1不共面,四边形BB1C1C为平行四边形,,∴{}为一个基底.又由向量加法, ∴x=2y=3z=1. ∴x=1,y=,z=,∴x+y+z=. BB1C1C的对角线均互相平分,且=x+2y+3z,那么x+y+z的值为( ) A.1 B. C. D. 则. 过点P作PO∥AB,交平面ACD于点O,过点O作OE∥AD,OF∥AC,连接OA,过点P作PG∥OA,则,由,则有||=. 当P在平面ABC或平面ABD或平面ACD时易证结论也成立. 解析:C选项中,=-, ∴点M,A,B,C共面. A.=2 B. C.=0 D.=0 解析:因为m+n=1,所以m=1-n,所以=(1-n) +n,即=n(),即=n,所以共线. 又有公共起点A,所以P,A,B三点在同一直线上,即P∈直线AB.因为=m+n,故O,A,B,P四点共面. 3.(多选)若空间中任意四点O,A,B,P满足=m+n,其中m+n=1,则结论正确的有( ) 解析:根据共线向量的定义知,若,则AB∥CD或A,B,C,D四点共线,故①是假命题;若有公共点A,则A,B,C三点共线,所以②是真命题;由于a=4e1-e2=-4-e1+e2=-4b,所以a∥b,故③是真命题. ①若,则A,B,C,D四点共线;②若,则A,B,C三点共线;③若e1,e2为不共线的非零向量,a=4e1-e2,b=-e1+e2,则a∥b. 其中真命题是 .(把所有真命题的序号都填上) 解析: )= ()=a+b+c. 答案:a+b+c 5.在四面体O-ABC中,=a,=b,=c,D为BC的中点,E为AD的中点,则= .(用a,b,c表示) $$