6.1 平面向量的概念 同步练习-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.1 平面向量的概念 同步练习 一、选择题 1．给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是（　　） A．①②③是数量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是数量，①③⑤是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 2．已知向量 ， ，则 在 方向上的投影为（　　） A． B． C． D． 3．下列命题正确的是（　　） A．向量 与 不共线，则 与 都是非零向量 B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点 C．与 共线， 与 共线，则 与 也共线 D．有相同起点的两个非零向量不平行 4．已知，是两个单位向量，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 5．如果 ， 是两个单位向量，则 与 一定（　　） A．相等 B．平行 C．方向相同 D．长度相等 6．已知平面向量，，若存在实数，使得，则实数的值为(　　) A． B． C． D． 7．在平行四边形ABCD中，点E为CD中点，=，=，则等于（　　） A．-- B．-+ C．- D．+ 8．某人向正东方向走了x km后，向右转120°，然后沿新方向走了xkm，结果他离出发点恰好3km，那么x的值为（　　） A． B．2 C．2或 D．3 9．已知向量与的夹角为，，，则(　　) A． B． C． D． 10．如果一架飞机向西飞行，再向东飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，那么（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题 11．已知平面向量，不共线，，，若，，三点共线，则实数的可能取值有（　　） A．1 B．-1 C．2 D．-2 12．平面向量，是不共线的向量，则下列正确的是( ) A． B． C． D． 13．已知平面向量，，则的可能值为（　　） A．3 B．4 C． D． 14．下列各组向量中，可以作为基底的是(　　) A．e1＝(0，0)，e2＝(1，－2) B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，7) C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D．e1＝(2，3)，e2＝ 三、填空题 15． 已知、是两个不共线的向量，，，若与是共线向量，则实数　 　. 16． 已知向量满足，则　 　. 17．已知向量与的夹角为，，，则　 　． 18．已知向量，满足，，，则　 　. 四、解答题 19．已知如图所示的非零向量，，请分别作出满足下列条件的向量． （1）=2+； （2）=﹣2． 20．已知向量 =（2，1）， =（﹣1，k）， =（3，4）． （Ⅰ）若 =（4，6），求k的值； （Ⅱ）若A，C，D三点共线，求k的值． 21．已知向量=（3，﹣4），求： （1）与平行的单位向量； （2）与垂直的单位向量； （3）将绕原点逆时针方向旋转45°得到的向量的坐标． 22．向量=（1，2），=（x，1）， （1）当+2与2﹣平行时，求x； （2）当+2与2﹣垂直时，求x． 23．已知向量 是夹角为 的单位向量， 。 （1）求 ； （2）当 为何值时， 与 平行？ 答案解析 1．D 【解析】密度、温度、质量、功只有大小，没有方向，是数量； 速度、位移既有大小又有方向，是向量． 故答案为：D． 2．B 【解析】解：∵ ， ， ∴ 在 方向上的投影为 故答案为：B 3．A 【解析】解：对于A，若 或 是非零向量，则向量 与 共线是真命题， 所以它的逆否命题也是真命题； 对于B，任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点， 或四个顶点在一条直线上，故原命题错误； 对于C， 与 共线， 与 共线时， 与 也共线， 当 = 时命题不一定成立，故是假命题； 对于D，有相同起点的两个非零向量也可能平行，故原命题错误． 综上，正确的命题是A． 故选：A． 4．D 【解析】解：A、单位向量的模相等，但方向不确定，故A错误； B、单位向量，不一定共线，故B错误； C、单位向量不一定垂直，故C错误； D、因为，是单位向量，所以，则，故D正确. 故答案为：D. 5．D 【解析】因为 ， 是两个单位向量； 所以其模长相等，方向不定； 故答案为：D． 6．B 【解析】解：由题意知m(m+3)=-4×(-1)，即有m2+3m-4=0，解得m=1或-4，而时，则m<0，故m=-4. 故答案为：B. 7．B 【解析】由题意可得， 故选：B． 8．B 【解析】由题意，三条线段构成三角形，其边长分别为xkm，km，3km，其中xkm，km对应的线段的夹角为60° 利用余弦定理可得，9=x2+3﹣2xcos60° ∴x2﹣x﹣6=0 ∴x=2 故选B． 9．A 【解析】解： . 故答案为：A. 10．A 【解析】解：依题意，， 所以. 故答案为：A 11．B,C 【解析】因为，，三点共线，所以和共线， 所以存在实数，使， 即， 所以，即， 解得或. 故答案为：BC． 12．C,D 【解析】解：已知平面向量，是不共线的向量， 设平面向量，的夹角为，则， 则，即. 对于A，，所以A错； 对于B，因为，所以B错； 对于C，因为，所以C对； 对于D，因为，又因为，所以D对. 故答案为：CD. 13．A,B 【解析】因为 ，， 所以 ， 设 ，作出简图， 易知A(2，0) ，B(0，2)，由图可知，当直线 经过点A 时，t 有最大值6； 当直线 经过点 B时， t有最小值-4 ； 所以 . 故选：AB. 14．B,D 【解析】解：因为与不共线， 其余选项中、均共线， 所以B选项中的两向量可以作为基底． 故答案为：B 15． 【解析】解：因为、是两个不共线的向量，，， 若与是共线向量，可设，则， 即，解得. 故答案为：. 16．1 【解析】解：因为，所以，解得. 故答案为：1. 17． 【解析】∵， ∴. 故答案为：. 18． 【解析】解：. 故答案为：. 19．解：（1）=2+，画图过程如下： 将伸长一倍（红线）， 将缩短到一半（蓝线）， 根据向量加法的“三角形法则”， 将它们首尾相连， 得到绿线，就是； （2）=﹣2，画图过程如下： 将缩短到一半（红线）， 将伸长一倍（蓝线）， 根据向量减法的“三角形法则”， 将它们起点重合， 连接两向量的终点， 得到绿线，就是； 20．解：（Ⅰ）∵ =（2，1）， =（﹣1，k）， =（3，4）， ∴ = + + =（4，k+5）=（4，6）， ∴k+5=6， ∴k=1， （Ⅱ）∵ = + =（1，k+1），又 =（3，4）， ∵A，C，D三点共线， ∴ ， ∴4﹣3（k+1）=0， ∴k= 21．（1）设=λ，则||=1，=（，﹣）或=（﹣，）． （2）由⊥c，=（3，﹣4），可设=λ（4，3），求得=（，）或=（﹣，﹣）． （3）设=（x，y），则x2+y2=25． 又•=3x﹣4y=||||cos45°，即3x﹣4y=，由上面关系求得=（，﹣）， 或=（﹣，﹣）， 而向量由绕原点逆时针方向旋转45°得到，故=（，﹣） 22．解：∵向量=（1，2），=（x，1）， ∴+2=（1，2）+2（x，1）=（2x+1，4） 2﹣=2（1，2）﹣（x，1）=（2﹣x，3）． （1）当+2与2﹣平行时，则3（2x+1）﹣4（2﹣x）=0，解得x=． （2）当+2与2﹣垂直时，（2x+1）（2﹣x）+12=0，化为2x2﹣3x﹣14=0，解得x=﹣2或x= 23．（1）解：由题意得 ， ∴ ， ∴ （2）解：若 ∥ ， 则存在实数 使得 ， 即 ． ∵ 不共线， ，解得 ． ∴当 时， 与 平行 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$