6.1向量的概念（3知识点+6题型+随堂练习）-2024-2025学年寒假预习课程同步讲练（人教A版必修二）

6.1 向量的概念 明确学习目标 课标要求 1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.(重点) 2.理解平面向量的几何表示和基本要素. 重点难点 1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.(重点) 2.理解平面向量的几何表示和基本要素. 知晓结构体系 夯实必备知识 知识点1 向量的概念及其表示 1.向量的概念 (1)向量：在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小没有方向的量称为数量. 2.向量的表示 (1)有向线段 具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度. 如图所示，以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作||. (2)向量的表示方法 ①几何表示：向量可以用有向线段来表示，记作向量，有向线段的长度||表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作||. ②字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，，). 3.零向量、单位向量 向量名称 定义 方向 零向量 长度为0的向量，记作0 方向任意 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 平面上任何方向的向量都有一个与其方向相同的单位向量 知识点2 向量的简单应用 用有向线段表示向量的步骤 知识点3 相等向量与共线向量 平行向量(共线向量) 方向相同或相反的非零向量；平行向量也叫做共线向量.向量a与b平行，记作a∥b，规定：零向量与任意向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量；向量a与b相等，记作a=b 提升学科能力 题型一 向量的概念 例1．（多选）下列说法正确的是（    ） A．加速度是向量 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的方向是任意的 D．向量就是有向线段 【答案】AC 【分析】根据向量的有关定义即可判断选项正误. 【详解】A．由向量的定义知，加速度是向量，故正确； B．两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，所以它们的终点不一定相同，故错误； C．由零向量的定义知，零向量的方向是任意的，故正确； D．向量可以用有向线段表示，但两者不同，故错误． 故选：AC． 跟踪训练 1．下列关于向量的说法正确的是（   ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 【答案】A 【分析】根据向量有大小有方向的特点逐项判断. 【详解】对于A，摩擦力和重力都及有大小，也有方向，所以摩擦力，重力都是向量，A正确； 对于B，轴，轴有方向，但没有大小，所以它们都不是向量，B错误； 对于C，温度只有大小，没有方向，所以温度不是向量，C错误； 对于D，身高只有大小，没有方向，所以身高不是向量，D错误； 故选:A． 2．下列量中是向量的为（    ） A．长度 B．宽度 C．频数 D．摩擦力 【答案】D 【分析】利用向量的定义判断即可． 【详解】向量是既有大小，又有方向的量， 因为长度，宽度，频数只有大小，没有方向，摩擦力既有大小，又有方向， 所以摩擦力是向量. 故选：D 3．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度.其中是向量的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】由向量的概念即既有大小又有方向的量即可求解. 【详解】是向量的有②速度；③位移；④力；⑤加速度；是数量的有①质量；⑥路程；⑦密度. 故选：C. 题型二 向量的表示 例2．一位模型赛车的赛车手遥控一辆赛车向正东方向前进1m，然后将行驶方向按逆时针方向旋转角度，继续按直线方向前进1m，再将行驶方向按逆时针方向旋转角度，然后继续按直线方向前进1m，…，按此方法继续操作下去. （1）作图说明当时，最少操作几次可使赛车的位移为0？ （2）按此方法操作，试写出几种赛车能回到出发点的操作. 【答案】（1）8次（2）答案不唯一，具体见解析 【分析】（1）位移为0表明赛车最后回到了出发点，作图时要弄清题意； （2）讨论不同的的值求解即可. 【详解】   解：记出发点A. （1）当时，如图①，赛车行进路线构成一个正八边形，最少操作8次可使赛车的位移为0，赛车所行路程是8m. （2）当时，如图②，赛车行进路线构成一个正三角形，最少操作3次可使赛车回到出发点，赛车所行路程为3m； 当时，如图③，赛车行进路程构成一个正方形，最少操作4次可使赛车回到出发点，赛车所行路程为4m； 当时，如图④，赛车行进路线构成一个正六边形，最少操作6次可使赛车回到出发点，赛车所行路程为6m. 【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了分类讨论思想，属于中档题. 跟踪训练 1．选择适当的比例尺，用有向线段表示下列向量． (1)终点A在起点O正东方向3m处； (2)终点B在起点O正西方向3m处； (3)终点C在起点O东北方向4m处； (4)终点D在起点O西南方向2m处． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)答案见解析； (4)答案见解析． 【分析】（1）从向东作长度为3m的有向线段； （2）从向西作长度为3m的有向线段； （3）从点起向北偏东方向作长度为4m的有向线段； （4）从点起向南偏西方向作长度为2m的有向线段． 【详解】（1）从向东作长度为3m的有向线段：    （2）从向西作长度为3m的有向线段：    （3）从点起向北偏东方向作长度为4m的有向线段：    （4）从点起向南偏西方向作长度为2m的有向线段：    2．一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后改变方向，向北偏西40°方向行驶了200千米到达C点，最后改变方向，向东行驶了100千米到达D点.作出向量. 【答案】作图见解析 【解析】根据题意画出图形，根据大小和方向作出向量即可. 【详解】解：记千米，如图所示： 【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了根据题意画图问题，注意向量的大小和方向是解题的关键. 3．在平面直角坐标系中，作出表示下列向量的有向线段： (1)向量的起点在坐标原点，与x轴正方向的夹角为120°且； (2)向量的模为4，方向与y轴的正方向反向； (3)向量的方向与y轴的正方向同向，模为2． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）由向量的相关定义作图即可； （2）由向量的相关定义作图即可； （3）由向量的相关定义作图即可. 【详解】（1） 由题意，故即为所求，其中； （2） 由题意，故即为所求，其中； （3） 由题意，故即为所求，其中. 题型三 向量的模长 例3．如图，在边长为1的小正方形组成的网格上，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）根据所给图形，利用勾股定理，直接计算模长即可得解. 【详解】（1）； （2）； （3）. 跟踪训练 1．在如图的方格纸中，小方格的边长为1，画出下列向量． (1)，点A在点O的正西方向； (2)，点B在点O的北偏西方向； (3)根据（1）（2），作出向量并求出的值． 【答案】(1)图象见解析 (2)图象见解析 (3)图象见解析， 【分析】（1）根据要求画出点的位置即可； （2）根据要求画出点的位置即可； （3）向量由点指向点，画出图形即可求出． 【详解】（1）因为，点A在点O的正西方向，故向量如图所示． （2）因为，点B在点O的北偏西方向，故向量如图所示． （3）向量如图所示，． 2．已知正方形ABCD的边长为1，点M满足，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据几何关系求解. 【详解】 如图，，所以M是AC的中点，； 故选：C. 3．已知，若，则 . 【答案】 【分析】直接由勾股定理求值即可. 【详解】由勾股定理可知，，即. 故答案为：. 题型四 零向量和单位向量 例4．下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【答案】C 【分析】根据向量的模、零向量和单位向量的定义逐个选项分析可得答案. 【详解】对于A，零向量的模等于零，故A错误； 对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可C知正确； 对于D，零向量有大小还有方向，而实数只有大小没有方向，故D错误. 故选：C. 跟踪训练 1．下列命题正确的个数是（    ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】（1）由向量的几何表示判断；（2）（3）（4）根据对零向量的规定判断. 【详解】（1）向量可以用有向线段表示，但不能把两者等同，故错误； （2）根据对零向量的规定零向量是有方向的，是任意的，故错误； （3）根据对零向量的规定，零向量的方向是任意的，故正确； （4）根据对零向量的规定，零向量的大小为0，所以零向量的长度为0，故正确． 故选：B 2．下列说法错误的是（    ） A．任一非零向量都可以平行移动 B．是单位向量，则 C． D．若，则 【答案】D 【分析】根据题意，由向量的定义以及相关概念对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为非零向量是自由向量，可以自由平移移动，故A正确； 由单位向量对于可知，，故B正确； 因为，所以，故C正确； 因为两个向量不能比较大小，故D错误； 故选：D 3．下列说法错误的是（    ）． A．向量与向量长度相等 B．起点相同的单位向量，终点必相同 C．向量的模可以比较大小 D．任一非零向量都可以平行移动 【答案】B 【分析】根据向量的定义，相反向量，单位向量，模的定义，判断选项. 【详解】和长度相等，方向相反，故A正确； 单位向量的方向不确定，故起点相同时，终点不一定相同，故B错误； 向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故C正确； 向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D正确． 故选：B 题型五 相等向量的认识 例5．如图，在矩形中，，B，E分别为边AC，DF的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：    (1)分别找出与，相反的向量； (2)分别找出与，相等的向量. 【答案】(1)与相反的向量有，，；与相反的向量有， (2)相等的向量为，，相等的向量为 【分析】运用相等向量，相反向量概念可解. 【详解】（1）方向相反，大小相等的向量互为相反向量. 与相反的向量有，，；与相反的向量有，. （2）方向相同，大小相等的向量是相等向量. 则，与方向相同，且长度相等， 故与相等的向量为，. 同理，与相等的向量为. 跟踪训练 1．如图，在平行四边形中，与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用向量相等的定义，即可求解. 【详解】因为四边形是平行四边形，所以与相等的向量是， 故选：D. 2．设O是正六边形的中心，写出满足条件的向量.    (1)与相等的向量； (2)与相等的向量； (3)与的模相等且平行的向量（除外）. 【答案】(1) (2) (3)、、、、、. 【分析】根据向量相等的定义直接求解即可. 【详解】（1）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以； （2）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以 （3）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以、、、、、. 3．如图，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形.在图中所示的向量中： (1)分别写出与，相等的向量； (2)写出与的相反向量； (3)写出与模相等的向量. 【答案】(1)， (2)， (3)，，，，，， 【分析】（1）根据相等向量的定义直接求解即可； （2）根据相反向量的定义直接求解即可； （3）根据模相等向量的定义求解即可. 【详解】（1）由题意，． （2）由题意，与的相反向量为：，． （3）由题意，与模相等的向量为：，，，，，，． 题型六 共线向量的认识 例6．如图，E、F、G依次是正三角形ABC的边AB、BC、AC的中点. (1)在以A、B、C、E、F、G为起点或终点的向量中，找出与向量共线的向量； (2)在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中，找出与向量模相等的向量； (3)在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，找出与向量相等的向量. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由EF是△ABC的中位线，结合向量共线的概念得到与向量共线的向量； （2）由向量模相等的概念得到与向量模相等的向量； （3）由向量相等的概念得到与向量相等的向量． 【详解】（1） 分别为的中点，，且，与向量共线的向量是. （2）因为是正三角形，所以， 因为E、F、G依次是正的边AB、BC、AC的中点， 所以， 所以在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中， 与向量模相等的向量为； （3）在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，与向量相等的向量为. 跟踪训练 1．下列命题中正确的有（    ） A．平行向量就是共线向量 B．相反向量就是方向相反的向量 C．与同向，且，则 D．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件 【答案】AD 【分析】根据平行向量和共线向量的定义可判断A；根据相反向量的定义可判断B；根据向量的概念可判断C；根据平行向量和相等向量的定义可判断D. 【详解】A，由平行向量和共线向量可知，故A正确； B，因为相反向量是方向相反，长度相等的两个向量，故B错误； C，因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，故C错误； D，因为两个向量平行不能推出两个向量相等，而两个向量相等，则这两个向量平行， 因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，故D正确. 故选：AD. 2．如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形. (1)找出与相等的向量； (2)找出与共线的向量. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据相等向量的定义写出即可； （2）根据共线向量的定义直接写出. 【详解】（1）由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形知， 与的长度相等且方向相同，所以与相等的向量为. （2）由题干图可知，与方向相同，与方向相反， 所以与共线的向量有. 3．如图，EF，CH将正方形ABCD分成四个单位正方形(边长为1个单位长度).在以图中各点为端点的所有向量中，除向量外，与平行的向量有哪些?与平行且是单位向量的有哪些?    【答案】答案见解析 【分析】结合图形，由平行向量的定义及单位向量的定义即可得出结论. 【详解】根据平行向量的定义，由图可知， 与平行的向量有：，，，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 其中的单位向量有：，，， ， ， ， ， ， ， ， . 一、单选题 1．给出下列物理量：（1）质量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）电流强度；（9）体积.其中不是向量的有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】A 【分析】根据向量的概念，即可得出答案. 【详解】看一个量是不是向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向. （2）（3）（4）既有大小也有方向，是向量， （1）（5）（6）（7）（8）（9）只有大小没有方向，不是向量. 故选：A. 2．下列说法错误的是（    ） A．向量与向量长度相等 B．单位向量都相等 C．向量的模可以比较大小 D．任一非零向量都可以平行移动 【答案】B 【分析】A.由相反向量判断；B.由单位向量判断；C.由向量的长度是数量判断；D.由相等向量判断. 【详解】A.和长度相等，方向相反，故正确； B.单位向量长度都为1，但方向不确定，故错误； C.向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故正确； D.向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故正确. 故选：B. 3．下列命题中，真命题是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】结合正方形可判断A,D项错误；再根据向量既有大小又有方向的特征排除B项，利用相等向量的定义确定C项正确. 【详解】    对于A，如图正方形中，若，则，但，故A错误； 对于B，因向量既有大小，又有方向，故不能比较大小，故B错误； 对于C，因两向量相等包括长度相等，方向相同，故C正确； 对于D，如上图中，，但，故D错误. 故选：C. 4．若，为两个向量，给出以下4个条件：①与方向相反；②；③或；④与都是单位向量其中可以得到与共线的（   ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】结合共线向量的定义，分别判断条件①②③④下与是否共线，由此可得结论. 【详解】对于①，若与方向相反，则与共线， 对于②，由，只能确定两向量的大小相等，不能确定它们的方向是否相同或相反， 故与不一定共线， 对于③，由或，可得或，由零向量与任意向量共线可得与共线， 对于④，由与都是单位向量，只能确定两向量的大小都为，不能确定它们的方向是否相同或相反， 故与不一定共线. 故选：B. 5．如图，在中，向量是（    ） A．有相同起点的向量 B．共线向量 C．模相等的向量 D．相等向量 【答案】C 【分析】向量是既有大小又有方向的量，通过大小和方向两个方面逐一判断即可. 【详解】解：起点并不全相同，故A错误； 的方向均不相同，也不相反，故BD 错误； 圆的半径，故C正确， 故选C． 【点睛】本题考查向量的概念，是基础题. 6．已知点在所在平面内，满足，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【答案】A 【分析】根据点到的距离相等可得答案. 【详解】因为，即点到的距离相等， 所以点是的外心. 故选：A 二、多选题 7．设为非零向量，下列有关向量的描述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】首先理解表示与向量同方向的单位向量，然后分别判断选项. 【详解】表示与向量同方向的单位向量，所以正确，正确，所以AB正确，当不是单位向量时，不正确， ，所以D正确. 故选：ABD 【点睛】本题重点考查向量的理解，和简单计算，应用，属于基础题型，本题的关键是理解表示与向量同方向的单位向量. 8．如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（    ） A．与不平行 B．的模恰为模的倍 C．与的模相等的向量有9个（不含） D．与相等的向量只有一个（不含） 【答案】BCD 【分析】根据题意结合向量的相关概念逐项分析判断. 【详解】对于选项A：向量与的方向是相反的，是平行向量，故A错误； 对于选项B：因为，则， 所以的模恰为模的倍，故B正确； 对于选项C：根据菱形的性质结合，可知对角线与菱形的边长相等， 故与的模相等的向量有，，，，，，，，，共9个向量，故C正确； 对于选项D：与相等的向量需要方向相同，模相等，只有，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题 9．给出下列命题： ①若向量，，则； ②若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上； ③在菱形中，一定有. 其中是真命题的为 .（填序号） 【答案】②③ 【分析】根据平行向量的概念可判断①；根据单位向量的概念可判断②；根据相等向量的概念可判断③. 【详解】若，则向量不一定与向量平行，故①不正确； 单位向量的长度为1，当所有单位向量的起点在同一点时， 终点都在以为圆心，1为半径的圆上，故②正确； 在菱形中，，与方向相同，故，故③正确. 故答案为：②③. 10．（1）A、B、C是平面上三个不同的点，若，则A、B、C的位置关系是 ；若进一步有，则A、B、C的位置关系是 ； （2）如图，在四边形中，若，则四边形是 ． 【答案】 A、B、C三点共线 B是的中点 平行四边形 【分析】（1）根据共线向量的概念即可判断； （2）根据相等向量的概念即可判断． 【详解】（1）且有一个公共点， A、B、C三点共线； ，方向相同， B是的中点， 故答案为：A、B、C三点共线；B是的中点； （2）在四边形中，若，则一组对边平行且相等，则四边形是平行四边形； 故答案为：平行四边形 四、解答题 11．在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)． 【分析】（1）根据要求画出点的位置即可； （2）根据要求画出点的位置即可； （3）向量由点指向点，画出图形即可求出． 【详解】（1）所求向量如图所示： （2）所求向量如图所示： （3）由图知，是等腰直角三角形，所以． 12．在平行四边形ABCD中，E、F分别是CD、AB的中点，如图所示． (1)写出与向量平行的向量； (2)求证：． 【答案】(1)，，； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据平行向量的定义即可求解； （2）根据相等向量的定义即可证明. 【详解】（1）与向量平行的向量有，，． （2）在平行四边形ABCD中，，， 因为E，F分别是CD，AB的中点， 所以且， 所以四边形BFDE是平行四边形， 故． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.1 向量的概念 明确学习目标 课标要求 1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.(重点) 2.理解平面向量的几何表示和基本要素. 重点难点 1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.(重点) 2.理解平面向量的几何表示和基本要素. 知晓结构体系 夯实必备知识 知识点1 向量的概念及其表示 1.向量的概念 (1)向量：在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小没有方向的量称为数量. 2.向量的表示 (1)有向线段 具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度. 如图所示，以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作||. (2)向量的表示方法 ①几何表示：向量可以用有向线段来表示，记作向量，有向线段的长度||表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作||. ②字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，，). 3.零向量、单位向量 向量名称 定义 方向 零向量 长度为0的向量，记作0 方向任意 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 平面上任何方向的向量都有一个与其方向相同的单位向量 知识点2 向量的简单应用 用有向线段表示向量的步骤 知识点3 相等向量与共线向量 平行向量(共线向量) 方向相同或相反的非零向量；平行向量也叫做共线向量.向量a与b平行，记作a∥b，规定：零向量与任意向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量；向量a与b相等，记作a=b 提升学科能力 题型一 向量的概念 例1．（多选）下列说法正确的是（    ） A．加速度是向量 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的方向是任意的 D．向量就是有向线段 跟踪训练 1．下列关于向量的说法正确的是（   ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 2．下列量中是向量的为（    ） A．长度 B．宽度 C．频数 D．摩擦力 3．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度.其中是向量的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型二 向量的表示 例2．一位模型赛车的赛车手遥控一辆赛车向正东方向前进1m，然后将行驶方向按逆时针方向旋转角度，继续按直线方向前进1m，再将行驶方向按逆时针方向旋转角度，然后继续按直线方向前进1m，…，按此方法继续操作下去. （1）作图说明当时，最少操作几次可使赛车的位移为0？ （2）按此方法操作，试写出几种赛车能回到出发点的操作. 跟踪训练 1．选择适当的比例尺，用有向线段表示下列向量． (1)终点A在起点O正东方向3m处； (2)终点B在起点O正西方向3m处； (3)终点C在起点O东北方向4m处； (4)终点D在起点O西南方向2m处． 2．一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后改变方向，向北偏西40°方向行驶了200千米到达C点，最后改变方向，向东行驶了100千米到达D点.作出向量. 3．在平面直角坐标系中，作出表示下列向量的有向线段： (1)向量的起点在坐标原点，与x轴正方向的夹角为120°且； (2)向量的模为4，方向与y轴的正方向反向； (3)向量的方向与y轴的正方向同向，模为2． 题型三 向量的模长 例3．如图，在边长为1的小正方形组成的网格上，求： (1)；(2)；(3)． 跟踪训练 1．在如图的方格纸中，小方格的边长为1，画出下列向量． (1)，点A在点O的正西方向； (2)，点B在点O的北偏西方向； (3)根据（1）（2），作出向量并求出的值． 2．已知正方形ABCD的边长为1，点M满足，则（    ） A． B．1 C． D． 3．已知，若，则 . 题型四 零向量和单位向量 例4．下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 跟踪训练 1．下列命题正确的个数是（    ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列说法错误的是（    ） A．任一非零向量都可以平行移动 B．是单位向量，则 C． D．若，则 3．下列说法错误的是（    ）． A．向量与向量长度相等 B．起点相同的单位向量，终点必相同 C．向量的模可以比较大小 D．任一非零向量都可以平行移动 题型五 相等向量的认识 例5．如图，在矩形中，，B，E分别为边AC，DF的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：    (1)分别找出与，相反的向量； (2)分别找出与，相等的向量. 跟踪训练 1．如图，在平行四边形中，与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 2．设O是正六边形的中心，写出满足条件的向量.    (1)与相等的向量； (2)与相等的向量； (3)与的模相等且平行的向量（除外）. 3．如图，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形.在图中所示的向量中： (1)分别写出与，相等的向量； (2)写出与的相反向量； (3)写出与模相等的向量. 题型六 共线向量的认识 例6．如图，E、F、G依次是正三角形ABC的边AB、BC、AC的中点. (1)在以A、B、C、E、F、G为起点或终点的向量中，找出与向量共线的向量； (2)在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中，找出与向量模相等的向量； (3)在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，找出与向量相等的向量. 跟踪训练 1．下列命题中正确的有（    ） A．平行向量就是共线向量 B．相反向量就是方向相反的向量 C．与同向，且，则 D．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件 2．如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形. (1)找出与相等的向量； (2)找出与共线的向量. 3．如图，EF，CH将正方形ABCD分成四个单位正方形(边长为1个单位长度).在以图中各点为端点的所有向量中，除向量外，与平行的向量有哪些?与平行且是单位向量的有哪些?    质量检测评价 一、单选题 1．给出下列物理量：（1）质量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）电流强度；（9）体积.其中不是向量的有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 2．下列说法错误的是（    ） A．向量与向量长度相等 B．单位向量都相等 C．向量的模可以比较大小 D．任一非零向量都可以平行移动 3．下列命题中，真命题是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．若，为两个向量，给出以下4个条件：①与方向相反；②；③或；④与都是单位向量其中可以得到与共线的（   ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 5．如图，在中，向量是（    ） A．有相同起点的向量 B．共线向量 C．模相等的向量 D．相等向量 6．已知点在所在平面内，满足，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 二、多选题 7．设为非零向量，下列有关向量的描述正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（    ） A．与不平行 B．的模恰为模的倍 C．与的模相等的向量有9个（不含） D．与相等的向量只有一个（不含） 三、填空题 9．给出下列命题： ①若向量，，则； ②若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上； ③在菱形中，一定有. 其中是真命题的为 .（填序号） 10．（1）A、B、C是平面上三个不同的点，若，则A、B、C的位置关系是 ；若进一步有，则A、B、C的位置关系是 ； （2）如图，在四边形中，若，则四边形是 ． 四、解答题 11．在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 12．在平行四边形ABCD中，E、F分别是CD、AB的中点，如图所示． (1)写出与向量平行的向量； (2)求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$