(新课预习衔接)第6单元 正比例和反比例高频易错培优(讲义)-2024-2025学年六年级下册数学苏教版

正比例和反比例 【思维导图+知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】 编者的话：同学们，恭喜你已经开启了本单元的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为课前预习，课中巩固，课后提升而设计，对单元知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！ 第一部分 思维导图 第二部分 典型例题 例题1：下面是某学校一个漏水的水龙头的滴水情况统计表。 滴水量/mL 20 40 60 80 100 …… 时间/分 1 2 3 4 5 …… （1）滴水量和时间成 　正　比例。 （2）这个水龙头每时滴水多少升？ （3）如果用一个底面积是10dm2，高是3dm的圆柱形水桶接漏的水，那么多长时间能接满？（水桶的厚度忽略不计） 【答案】（1）正；（2）1.2升；（3）1500分钟。 【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例； （2）用每分钟的滴水量乘1小时，就是这个水龙头每时的滴水量； （3）根据圆柱的体积＝底面积×高，代入数据求出圆柱形水桶的体积，再除以每分钟的滴水量即可解答。 【解答】解：（1）因为20÷1＝20（mL） 40÷2＝20（mL） 60÷3＝20（mL） …… 滴水量÷时间＝20（mL）（一定），商一定，所以滴水量和时间成正比例。 （2）1小时＝60分钟 20×60＝1200（mL） 1200mL＝1.2L 答：这个水龙头每时滴水1.2升。 （3）20毫升＝0.02升＝0.02立方分米 10×3÷0.02 ＝30÷0.02 ＝1500（分钟） 答：1500分钟能接满。 故答案为：正。 【点评】本题考查了判断两个相关联的量之间成什么比例的方法、工作量、工作效率、工作时间的关系以及圆柱体积的计算方法。 例题2：“六一”那天，芳芳和小朋友们一起骑车去动物园玩．下面的图象表示的是她骑车的路程和时间的关系． （1）芳芳骑车行驶的路程和时间成正比例吗？为什么？ （2）看图估计，行2.5千米大约用多少分钟？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据折线统计图可知，芳芳骑车行驶的路程和时间成正比例，因为速度一定，路程与时间成正比； （2）芳芳行2.5千米时大约用了30÷2＝15分钟． 【解答】解：（1）芳芳骑车行驶的路程和时间成正比例，因为速度一定，路程与时间成正比例关系； （2）利用图象估计，芳芳行2.5千米时大约用了15分钟． 【点评】此题主要考查的是如何从折线统计图中获取信息，然后再进行相应的计算即可． 例题3：邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友。每包的本数和包数如下表。 每包的本数/本 10 20 40 包数/包 60 30 15 （1）判断每包的本数和包数是不是成反比例，并说明理由。 （2）如果打包成6包，那么每包多少本？ 【答案】（1）10×60＝20×30＝40×15＝600，每包的本数和包数的乘积一定，所以每包的本数和包数成反比例。 （2）100本。 【分析】（1）根据每包的本数和包数的乘积一定，确定每包的本数和包数成反比例。 （2）根据总本数÷包数＝每包的本数列除法算式解答。 【解答】解：（1）10×60＝20×30＝40×15＝600，每包的本数和包数的乘积一定，所以每包的本数和包数成反比例。 （2）10×60÷6＝100（本） 答：每包100本。 【点评】两种相关联的量，若其比值一定，两种量成正比例；若其乘积一定，两种量成反比例；若既不是比值一定也不是乘积一定，两种量不成比例。 例题4：小牛和大牛吃肥肉，原来小牛和大牛吃的肉块数之比为2：5，后来小牛又吃了5块，大牛也又吃了2块，此时小牛和大牛吃的肉块数之比为5：9，求原来两人各自吃了多少块肥肉？ 【答案】小牛原来吃10块，大牛原来吃25块。 【分析】设原来小牛吃了2x块肥肉，大牛吃5x块肥肉，根据等量关系：（原来小牛吃的块数+5块）：（原来大牛吃的块数+2块）＝5：9，列方程解答即可。 【解答】解：设原来小牛吃了2x块肥肉，大牛吃5x块肥肉 （2x+5）：（5x+2）＝5：9 25x+10＝18x+45 x＝5 5×2＝10（块） 5×5＝25（块） 答：小牛原来吃10块，大牛原来吃25块。 【点评】本题主要考查了比例的应用，关键是根据等量关系：（原来小牛吃的块数+5块）：（原来大牛吃的块数+2块）＝5：9。 例题5：装配一批机器，每天装配的数量和需要的天数如下表。 每天装配的数量/台 40 80 100 160 200 400 需要的时间/天 40 20 16 10 8 4 （1）每天装配的数量和需要的时间成反比例关系吗？说明理由。 （2）如果每天装配64台，需要多少天装配完？ 【答案】（1）每天装配的数×需的时间＝总工作量（一定），所以每天装配的数量和需要的时间成反比例；（2）25天。 【分析】（1）根据表可知每天装配的数与需的时间的乘积一定，据此可的每天装配的数量和需要的时间成反比例； （2）由（1）可知，每天装配的数量和需要的时间成反比例，用它们的乘积除以每天装配的台数即可解答。 【解答】解：（1）40×40＝1600（台） 80×20＝1600（台） 100×16＝1600（台）…… 即：每天装配的数×需的时间＝总工作量（一定），所以每天装配的数量和需要的时间成反比例。 （2）40×40÷64 ＝1600÷64 ＝25（天） 答：需要25天装配完。 【点评】掌握反比例的意义是解决此题的关键。 第三部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 一、正比例和反比例的意义 1．正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系．如果用字母x和y表示这两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用式子表示为：k（一定）． 2．反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系．如果用字母x和y表示这两种相关联的量，用k表示它们的乘积（一定），反比例的关系可以表示为：xy＝k（一定）． 二、正比例 正比例，简称正比，是指两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数比值（或者说商）一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。 举例如下： （1）正方形的周长与边长 （比值：4）。 （2）同圆的周长与直径 （比值：π）。 （3）购买的总价与购买的数量（比值：单价）。 （4）速度一定，路程和时间成正比例；时间一定，路程和速度成正比例。 解：aX＝Y中，a不变，则 X与Y成正比例。一个变量随着另一个变量的变化而变化。 （5）圆的周长和半径成正比例吗？为什么？ 解：因为圆的周长除以圆的半径＝2π，所以圆的周长和半径成正比例。 （6）易错题：圆的面积（S）：半径（R）＝πR 解：这个比例是错误的，它不属于正比例。因为（S：R＝πR）因为根据上面所说，比值须是一个不变的量，而比的前项和后项必须是可以变化的量，如果R变化，那比值也会变化，所以圆的面积与半径不成正比例。 （7）易错题：圆的面积（S）：π＝R•R（一定） 解：这是一个错误的比例，因为比值是不变的量，前项与后项应随着一个的变化而变化，而在这里，比值是个固定的量，而π也是一个固定的量，前项无法变化，这个比例就成了一个固定的比例，不符合上面所说的前项和后项必须是可以变化的量。 （8）易错题：正方形的面积与边长中，S：A＝A 解：由上述可以看出：比值是个变量，它不能与比的任意一项相同，所以这个比例也不是正比例。 但如果圆的面积（S）：（R•R） （R的平方）＝π，这可看成一个正比例，它是S与（R•R）成正比例。 ↑一种量 （9）常见错误：长方形的周长一定，长和宽成正比例。 具体证明既可以用公式推导，2（a+b）＝C，a+b＝C/2（一定），发现长宽之和一定，而积不一定，故长和宽不成正比例。也可以用具体数据计算，比如周长为10厘米时，长9宽1积为9，长8宽2积为16，长7宽3积为21，长6宽4积为24，发现积不一定，故不成正比例。 三、反比例 反比例，简称反比，指的是两种相关联的变量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么它们就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 反比例例子： 1、百米赛跑，路程100米不变，速度和时间是反比例； 2、排队做操，总人数不变，排队的行数和每行的人数是反比例； 3、做纸盒子，总个数一定，每人做的个数和人数； 4、总价一定，它的单价和数量是反比例； 5、长方形的面积一定，长和宽是反比例； 6、长方体的体积一定，底面积和高是反比例； 7、等分一块蛋糕，每人分到的蛋糕与人数成反比例； 8、总价一定，单价与数量成反比例； 9、总纸盒一定，每人做的个数与人数成反比例。 四、辨识成正比例的量与成反比例的量 1．成正比例的量： （1）“变化方向”相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或缩小． （2）相对应的两个数的比值（商）一定． （3）关系式：k（一定）． 2．成反比例的量： （1）“变化方向”相反，一种量扩大或缩小，另一种量反而缩小或扩大． （2）相对应的两个数的乘积一定． （3）关系式：xy＝k（一定）． 3．判断方法：关键是看着两种相关量中相对应的两个数是商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例． 五、解比例 【知识点归纳】 根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项．求比例中的未知项，叫做解比例． 一般来说，求比例的未知项有以下两种情况： （1）求未知外项 （2）求未知内项 第四部分 高频真题 一．选择题（共8小题） 1．下列各种关系中，成反比例关系的是（　　） A．如果5x＝8y，则x和y。 B．铺地面积一定，每块砖的面积和用砖块数。 C．速度一定，行驶的路程与时间。 D．同学们的年龄一定，他们的身高与体重。 2．3a﹣5b＝0（a不为0），那么a与b（　　）比例。 A．成正 B．成反 C．不成 3．y，且x和y都不为0．当m一定时，x和y（　　） A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．以上都不对 4．图中，（　　）表示的两个量成正比例关系。 A． B． C． D． 5．下列选项中，两种量成正比例关系的是（　　） A．速度与时间 B．圆的半径与面积 C．购买同一款笔记本的数量与总价 D．工作时间与工作效率 6．下列各式（a、b均不为0），a和b成反比例的是（　　） A．a×8 B．2a﹣5＝b C． 7．两个相关联的量，它们的关系是正比例关系，这两个量可能是（　　） A．图上距离一定，实际距离和比例尺。 B．某班的出勤人数和未出勤人数。 C．《三国演义》的单价一定，所用的总钱数和买的数量。 8．观察下面关系式，（　　）中的x与y不成比例。（x、y均不为0） A．xy＝3 B．5x＝6y C．4÷x＝y D．xy 二．填空题（共8小题） 9．已知9x＝5y（xy不为0），那么x：y＝　 　，x和y成 　 　比例。 10．如表，当x和y成正比例时，a的值是 　 　；当x和y成反比例时，a的值是 　 　。 x 1.5 6 y 2 a 11．如果x和y互为倒数，且，那么a＝　 　。x和y成 　 　比例关系。 12．圆柱的体积一定，圆柱的底面积和高成 　 　比例关系。长方体的底面积一定，当长方体的高是原来的3倍时，体积会是原来的 　 　。 13．中国古代数学名著《九章算术》在“粟米章”中对比例就有深入研究。请解决问题：如果a与b互为倒数，那么a与b成 　 　比例：如果4a＝6b（a、b均不为0），那么a与b成 　 　比例。 14．如果，那么x与y成 　 　比例；如果，那么x与y成 　 　比例。 15．从家骑自行车到学校，车轮的直径和转动的圈数成 　 　比例关系，比值一定，比的前项和后项成 　 　比例关系。（均选填“正”或“反”） 16．如果4a＝5b（a，b均不为0），那么a和b成 　 　比例；如果（x，y）均不为0），那么x和y成 　 　比例。 三．判断题（共5小题） 17．修一条水渠，每天修的米数与天数成正比例关系。 　 　 18．圆柱体的体积与底面半径成正比例。 　 　 19．《数学报》的单价一定，订阅《数学报》的份数与总价成正比例。 　 　 20．如果（x、y均不为0），那么x和y成反比例。 　 　 21．一架客机从北京飞往广州，飞行速度和所用时间成正比例。 　 　 四．应用题（共20小题） 22．下图表示一根水管不停地向水箱内注水时，水箱内水的体积的变化情况． （1）水箱内水的体积与注水的时间成正比例吗？为什么？ （2）利用图象估一估，10分能注水多少升？注水45升需要多少分？再实际计算一下． 23．运输一批水果，如表是每箱的质量与所需要的箱数之间的关系。 每箱的质量/千克 3 4 5 6 10 15 所需的箱数/箱 100 75 60 50 （1）请把表补充完整。从上面的表中，你发现哪个量没有变化？ （2）每箱水果的质量与箱数之间成什么比例？为什么？ （3）当水果的质量为25千克时，你知道需要多少个箱子吗？ 24．邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友．先填表，再回答． 每包的本数 10 20 40 包数 60 （1）每包的本数和包数成什么比例？为什么？ （2）如果每包15本，那么可以打成多少包？如果打成6包，那么每包多少本？ 25．被除数一定，商和除数成 　 　比例。 26．平行四边形的高是3cm，先填表，再根据表中的数据回答问题． 底/cm 8 10 20 30 面积/cm2 24 90 （1）表中平行四边形的底和面积是　 　的量，平行四边形的　 　随着　 　的变化而变化． （2）写出几组这两种量中相对应的两个数的比，求出比值，并比较比值的大小． （3）上面求出的比值表示的意义是什么？ （4）表中相关联的两种量成正比例吗？为什么？ 27．观察下面两个表格，回答问题． （1）抢运一批救灾物资，卡车的载质量和需要卡车的数量如表． 卡车载质量/吨 2 4 5 10 需要卡车数量/辆 50 25 20 10 （2）用同样的卡车抢运救灾物资的吨数和需要卡车的数量如表． 物资总质量/吨 15 25 30 35 需要卡车数量/辆 3 5 6 7 上面哪道题中的两种量成正比例，哪道题中的两种量成反比例？ 28．一艘轮船从甲港开到乙港，3时行驶了75km．从乙港开到丙港，5时行驶了125km． （1）分别求轮船从甲港开到乙港，从乙港开到丙港的速度． （2）轮船行驶的路程和所用时间成什么比例？ （3）用等式把题目里的数量关系表示出来． 29．下面每个表中的两个量，哪些成比例关系？成正比例关系还是反比例关系？哪些不成比例关系？ （1）从甲地到乙地的路程是240km，汽车行驶的速度与时间如下表。 速度/（千米/时） 40 50 60 80 100 时间/时 6 4.8 4 3 2.4 （2）圆锥的高是30cm，它的底面积与体积如下表。 底面积/cm2 5 8 10 16 20 体积/cm3 50 80 100 160 200 （3）圆的半径与面积如下表。 半径/cm 1 2 3 44 5 面积/cm2 π 4π 9π 16π 25π 30．如图表示某工厂中甲、乙两个车间加工的零件数与时间的关系． （1）乙车间生产的零件数与时间成正比例吗？为什么？ （2）如果生产8万个零件，那么乙车间比甲车间少用几个月？ 31．妈妈买来一袋橡皮泥，平平全部用来捏大小相同的圆锥，正好没有剩余．圆锥的个数与每个圆锥所用橡皮泥的体积是否成反比例？为什么？ 32．富县的“睁眼辣子”，开胃、下饭，是餐桌上必备的饮食调味品。某食品公司将“睁眼辣子”包装成小袋售卖，购买数量和总价的关系如表。 数量/袋 1 2 3 4 5 …… 总价/元 8 16 24 32 40 …… （1）表中的总价和数量成正比例关系吗？为什么？ （2）68元够买几袋“睁眼辣子”？ 33．一种硬笔书法练习本，数量和总价的关系如表． 数量/本 1 2 3 4 5 6 … 总价/元 4 8 12 16 20 24 … （1）在图中，描出总价与数量之间的对应点，并连接各点． （2）总价与数量有什么关系？为什么？ 34．下面的图象表示小强从甲地到乙地不同的速度和所对应的时间。 （1）在这个过程中，哪种量没有变？ （2）速度和所对应的时间成什么比例关系？ （3）不计算，观察图象，如果每小时行40km，那么从甲地到乙地大约需要多少小时？ 35．判断下面每题中的两种量是不是成正比例，并说明理由． （1）小新跳高的高度和他的身高． （2）长方形的宽一定，它的面积和长． （3）小麦每公顷产量一定，小麦的公顷数和总产量． 36．组装一批电动车，每天组装的辆数和需要的天数如表． 每天组装辆数 20 15 　 　 10 需要的天数 　 　 12 15 　 　 （1）请把上表补充完整． （2）每天组装的辆数和需要的天数成什么比例？为什么？ （3）如果每天组装30辆，需要组装多少天？如果打算4天完成组装任务，每天需要组装多少辆？ 37．配制一种盐水，水的质量总是比盐水的质量少15%，盐的质量与盐水的质量成正比例吗？ 38．同一时间同一地点，物体的影长与实际长度的比值一定。请你根据这个条件设计一个测量一棵大树的高度的方案。 39．运输队要运一批货物，每天运的质量和运货的天数之间的关系如下。 每天运的质量/t 300 150 100 75 60 50 运货的天数/天 1 2 3 4 5 6 （1）表中有哪两种量？它们是不是相关联的量？ （2）写出几组这两种量中相对应的两个数的乘积，并比较乘积的大小，说一说这个乘积表示什么。 （3）运货的天数与每天运的质量成反比例关系吗？为什么？ 40．红星小学六（1）班正在研讨“一摞白纸大约有多少张？”的问题，实践后发现： （1）每10张白纸的质量是一定的，白纸总质量与总页数成正比例关系。 （2）先数出50张白纸，再称出这50张白纸，正好是220克。 （3）称得这摞白纸总质量是6600克。 请根据六（1）班的研究思路解答“这摞白纸大约有多少张？”的问题。 41．某工厂接到任务紧急生产一批口罩，下面是每时生产口罩的数量与完成任务总共需要的时间的关系。 每时生产口罩的数量/万只 2 3 4 6 时间/时 72 48 36 24 （1）每时生产口罩的数量与时间有什么关系？ （2）如果每时生产8万只口罩，那么完成这项任务一共需要多少时？ 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．下列各种关系中，成反比例关系的是（　　） A．如果5x＝8y，则x和y。 B．铺地面积一定，每块砖的面积和用砖块数。 C．速度一定，行驶的路程与时间。 D．同学们的年龄一定，他们的身高与体重。 【答案】B 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。否则不成比例。 【解答】解：A：如果5x＝8y，则x：y，x和y成正比例关系； B：每块砖的面积×用砖块数＝铺地面积（一定），所以铺地面积一定，每块砖的面积和用砖块数乘反比例关系； C：行驶的路程：时间＝速度（一定），所以速度一定，行驶的路程与时间成正比例关系； D：同学们的年龄一定，他们的身高与体重不成比例。 故选：B。 【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再判断即可。 2．3a﹣5b＝0（a不为0），那么a与b（　　）比例。 A．成正 B．成反 C．不成 【答案】A 【分析】两种相关联的量，若其比值一定，两种量成正比例关系；若其乘积一定，两种量成反比例关系，据此先确定出a和b之间是存在比值一定还是乘积一定即可。 【解答】解：由3a﹣5b＝0得：3a＝5b，，是一个定值，所以a与b成正比例关系。 故选：A。 【点评】辨识两种相关联的量成正比例还是成反比例，就看这两种量是存在比值一定还是乘积一定。 3．y，且x和y都不为0．当m一定时，x和y（　　） A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．以上都不对 【答案】B 【分析】判断x和y成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例．据此进行判断并选择． 【解答】解：因为y，则有xy＝m+2，m一定，则m+2就一定，是x和y对应的乘积一定， 所以x和y成反比例； 故选：B． 【点评】此题属于根据正、反比例的意义，辨识两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，还是对应的其它量一定，再做出判断． 4．图中，（　　）表示的两个量成正比例关系。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要知道成正比例关系的图象特点是一条直线，相关联的两个量应是比值或商一定，反比例关系的图象是一条曲线，且一个量扩大、另一个量缩小；据此即可作出正确选择。 【解答】解：由图分析可知： A.是一条曲折线，表示的两个量的乘积不一定，不成比例，不符合题意； B.虽然是直线，但是表示的是一个量增加，而另一个量减少，不是比值或乘积一定，所以不成正比例，不符合题意； C.是一条曲折线，表示的两个量的乘积不一定，不成比例，不符合题意； D.是一条递增的直线，相对应的两个数据的比值一定，是正比例关系，符合题意。 故选：D。 【点评】本题是成正、反比例关系知识的拓展，是把数和形结合起来，研究两个相关联的量之间的关系。 5．下列选项中，两种量成正比例关系的是（　　） A．速度与时间 B．圆的半径与面积 C．购买同一款笔记本的数量与总价 D．工作时间与工作效率 【答案】C 【分析】两种相关量中相对应的两个数是商一定，则这两种相关量成正比例，结合各个选项去解答。 【解答】解：A.距离＝速度×时间，当距离一定时，速度与时间成反比例关系，本题没有前提条件，所以速度与时间不成比例； B.圆的面积＝π×半径×半径，圆的面积与半径的平方成正比例关系，本题说法错误； C.总价＝数量×单价，单价一定，笔记本的数量与总价成正比例关系； D.工作时间＝工作总量÷工作效率，本题没有前提条件，所以工作时间与工作效率不成比例。 故选：C。 【点评】关键是看这两种相关量中相对应的两个数是商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例。 6．下列各式（a、b均不为0），a和b成反比例的是（　　） A．a×8 B．2a﹣5＝b C． 【答案】C 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】解：A.a×8，所以40a＝b，b÷a＝40（一定），商一定，所以a和b成正比例； B.2a﹣5＝b，即2a﹣b＝5，差一定，所以a与b不成比例； C.，所以ab＝3（一定），乘积一定，所以a和b成反比例。 故选：C。 【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断。 7．两个相关联的量，它们的关系是正比例关系，这两个量可能是（　　） A．图上距离一定，实际距离和比例尺。 B．某班的出勤人数和未出勤人数。 C．《三国演义》的单价一定，所用的总钱数和买的数量。 【答案】C 【分析】判断两种量成正比例还是成反比例时，关键看这两种相关联的量中相对应的两个数是比值一定还是乘积一定。如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例；如果比值和乘积都不是定量，就不成比例。 【解答】解：A.实际距离×比例尺＝图上距离（一定），所以实际距离和比例尺成反比例关系。 B.某班的出勤人数和未出勤人数不成比例。 C.单价（一定）＝总价÷数量，所以买的数量和所用的总钱数成正比例关系。 故选：C。 【点评】此题考查了辨识成正比例的量与成反比例的量，要求学生掌握。 8．观察下面关系式，（　　）中的x与y不成比例。（x、y均不为0） A．xy＝3 B．5x＝6y C．4÷x＝y D．xy 【答案】A 【分析】判断两种量成正比例还是成反比例时，关键看这两种相关联的量中相对应的两个数是比值一定还是乘积一定。如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例；如果比值和乘积都不是定量，就不成比例。 【解答】解：A.xy＝3，所以x和y不成比例； B.5x＝6y，，所以x和y成正比例； C.4÷x＝y，xy＝4，所以x和y成反比例； D.xy，，所以x和y成正比例。 故选：A。 【点评】此题考查了辨识成正比例的量与成反比例的量，要求学生掌握。 二．填空题（共8小题） 9．已知9x＝5y（xy不为0），那么x：y＝　　，x和y成 　正　比例。 【答案】，正。 【分析】两种相关联的量，若比值一定，两种量成正比例关系；若乘积一定，两种量成反比例关系。 【解答】解：9x＝5y，则，比值一定，x和y成正比例关系。 故答案为：，正。 【点评】本题属于辨识成两种量正比例关系还是成反比例关系，就看它们是比值一定还是乘积一定。 10．如表，当x和y成正比例时，a的值是 　8　；当x和y成反比例时，a的值是 　0.5　。 x 1.5 6 y 2 a 【答案】8；0.5。 【分析】如果相关的两个量的比值一定，这两个量成正比例关系，如果相关的两个量的乘积一定，这两个量成反比例关系。据此解答即可。 【解答】解：如果x和y成正比例。 1.5：2＝6：a 1.5a＝12 a＝8 如果x和y成反比例。 6a＝1.5×2 6a＝3 a＝0.5 答：当x和y成正比例时，a的值是8；当x和y成反比例时，a的值是0.5。 故答案为：8；0.5。 【点评】本题考查正比例、反比例的意义，熟练掌握正比例、反比例的意义以及关系式是解题的关键。 11．如果x和y互为倒数，且，那么a＝　　。x和y成 　反　比例关系。 【答案】，反。 【分析】依据题意可知，xy＝1，6a＝xy，由此计算a的值，判断x和y的关系。 【解答】解：因为xy＝1，乘积一定，所以x和y成反比例关系； 6a＝xy，则a＝1÷6 故答案为：，反。 【点评】看两种相关量中相对应的两个数是商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例。 12．圆柱的体积一定，圆柱的底面积和高成 　反　比例关系。长方体的底面积一定，当长方体的高是原来的3倍时，体积会是原来的 　3倍　。 【答案】反，3。 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 依据长方体的体积公式可知，底面积不变，高扩大到原来的3倍，则体积扩大到原来的3倍，由此解答本题即可。 【解答】解：圆柱的体积＝底面积×高，因为圆柱的体积一定，所以说圆柱的底面积和其高成反比例关系；依据长方体的体积公式可知，底面积不变，高扩大到原来的3倍，则体积扩大到原来的3倍。 答：圆柱的体积一定，圆柱的底面积和高成反比例关系。长方体的底面积一定，当长方体的高是原来的3倍时，体积会是原来的3倍。 故答案为：反，3。 【点评】此题考查了长方体体积公式的应用以及辨识成正、反比例的量，结合题意分析解答即可。 13．中国古代数学名著《九章算术》在“粟米章”中对比例就有深入研究。请解决问题：如果a与b互为倒数，那么a与b成 　反　比例：如果4a＝6b（a、b均不为0），那么a与b成 　正　比例。 【答案】反，正。 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】解：如果a与b互为倒数，则ab＝1（一定），乘积一定，所以a与b成反比例； 4a＝6b（a、b均不为0），则a：b＝6：4＝1.5（一定），比值一定，所以a与b成正比例。 故答案为：反，正。 【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断。 14．如果，那么x与y成 　正　比例；如果，那么x与y成 　反　比例。 【答案】正，反。 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】解：如果，那么2.5y＝4x，那么y：x＝4：2.5＝1.6，x与y是比值一定，所以x与y成正比例； 如果，那么xy＝4×2.5＝10，x与y是乘积一定，那么x与y成反比例。 故答案为：正，反。 【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，结合题意分析解答即可。 15．从家骑自行车到学校，车轮的直径和转动的圈数成 　反　比例关系，比值一定，比的前项和后项成 　正　比例关系。（均选填“正”或“反”） 【答案】反；正。 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；自行车轮子的直径×π×转动圈数＝行驶距离，故自行车轮子的直径×转动圈数＝行驶距离÷π（一定），乘积一定，所以自行车轮子的直径和转动圈数成反比例；比的前项：后项＝比值，比值一定，比的前项和后项成正比例关系。 【解答】解：自行车轮子的直径×π×转动圈数＝行驶距离，故自行车轮子的直径×转动圈数＝行驶距离÷π（一定），乘积一定，所以自行车轮子的直径和转动圈数成反比例； 比的前项：后项＝比值，比值一定，比的前项和后项成正比例关系。 答：从家骑自行车到学校，车轮的直径和转动的圈数成反比例关系，比值一定，比的前项和后项成正比例关系。 故答案为：反；正。 【点评】此题考查了辨识成正比例的量与成反比例的量，要求学生掌握。 16．如果4a＝5b（a，b均不为0），那么a和b成 　正　比例；如果（x，y）均不为0），那么x和y成 　反　比例。 【答案】正，反。 【分析】两种相关联量，一种量变化另一种量也随着变化，这两种相关联的量，如果比值一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例。据此判断。 【解答】解：因为4a＝5b（a，b均不为0），所以，由此可知a和b成正比例； 因为如果（x，y）均不为0），所以xy＝3×8＝24，因此x和y成反比例。 故答案为：正，反。 【点评】熟练掌握辨别成正比例的量与成反比例的量的方法是解答本题的关键。 三．判断题（共5小题） 17．修一条水渠，每天修的米数与天数成正比例关系。 　×　 【答案】× 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】解：每天修的米数×天数＝水渠的长度（一定），即每天修的米数与天数的乘积一定，所以每天修的米数与天数成反比例关系。原题说法错误。 故答案为：×。 【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断。 18．圆柱体的体积与底面半径成正比例。 　×　 【答案】× 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】解：V圆柱÷r＝πrh，r变化，πr就变化，所以圆柱体的体积与底面半径不成比例。 故答案为：×。 【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。 19．《数学报》的单价一定，订阅《数学报》的份数与总价成正比例。 　√　 【答案】√ 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】解：总价÷份数＝单价，《数学报》的单价一定，是商一定，所以订阅《数学报》的份数与总价成正比例，原题说法正确。 故答案为：√。 【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断。 20．如果（x、y均不为0），那么x和y成反比例。 　√　 【答案】√ 【分析】判断两种量成正比例还是成反比例时，关键看这两种相关联的量中相对应的两个数是比值一定还是乘积一定。如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例；如果比值和乘积都不是定量，就不成比例。 【解答】解：（x、y均不为0） xy＝6×8 xy＝48，48是一定值，所以x和y成反比例。故原题说法正确。 故答案为：√。 【点评】此题考查了辨识成正比例和反比例的量等知识，要求学生掌握。 21．一架客机从北京飞往广州，飞行速度和所用时间成正比例。 　×　 【答案】× 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】解：北京到广州的距离是一定的，飞行速度×时间＝路程（一定），是乘积一定，所以一架客机从北京飞往广州，飞行速度和所用时间成反比例关系。所以原题说法错误。 故答案为：×。 【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，结合题意分析解答即可。 四．应用题（共20小题） 22．下图表示一根水管不停地向水箱内注水时，水箱内水的体积的变化情况． （1）水箱内水的体积与注水的时间成正比例吗？为什么？ （2）利用图象估一估，10分能注水多少升？注水45升需要多少分？再实际计算一下． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）此图象的特征：是一条经过原点的直线；从图象中很清晰的看出水箱内水的体积与注水的时间（或缩小）的变化规律，只要是两种相关联的量变化方向相同，就说明它们对应的比值一定，所以这两种量就成正比例关系； （2）根据折线统计图可知，注水时间10分钟时，统计表中对应的水的体积为20升，即注水10分钟时水箱内的水的体积为20升，同理如果水要达到45升，需要注水22.5分钟． 【解答】解：（1）水箱内水的体积与注水的时间成正比例，因为水箱内水的体积与注水的时间的比值一定，且对应在一条直线上； （2）45÷（10÷5）＝22.5（分）， 由图象可知10分能注水20升；注水45升需要22.5分． 【点评】此题考查借助直观的图象，辨识两种相关联的量成什么比例，只要图象是一条直线的，就成正比例；图象是一条曲线的，就成反比例；再根据成什么比例解决其它的问题． 23．运输一批水果，如表是每箱的质量与所需要的箱数之间的关系。 每箱的质量/千克 3 4 5 6 10 15 所需的箱数/箱 100 75 60 50 （1）请把表补充完整。从上面的表中，你发现哪个量没有变化？ （2）每箱水果的质量与箱数之间成什么比例？为什么？ （3）当水果的质量为25千克时，你知道需要多少个箱子吗？ 【答案】（1） 每箱的质量/千克 3 4 5 6 10 15 所需的箱数/箱 100 75 60 50 30 20 这批水果的总千克数； （2）每箱水果的质量与箱数之间成反比例，因为每箱的质量与所需的箱数的积一定； （3）12个。 【分析】（1）根据表中前4列中的数据可知，每箱水果的质量与所需的箱数的积一定，据此填表； （2）根据每箱水果的质量与所需的箱数的积一定，判定每箱水果的质量与箱数之间成反比例； （3）用这批水果总千克数除以25即可。 【解答】解：（1） 每箱的质量/千克 3 4 5 6 10 15 所需的箱数/箱 100 75 60 50 30 20 这批水果的总千克数没有变化。 （2）3×100＝4×75＝5×60＝6×50＝10×30＝15×20 每箱水果的质量与箱数之间成反比例，因为每箱的质量与所需的箱数的积一定。 （3）3×100÷25 ＝300÷25 ＝12（个） 答：需要12个箱子。 【点评】解答本题需熟练掌握正比例和反比例的意义，能正确判断两种相关联的量成正比例还是成反比例，灵活利用比例知识解决问题。 24．邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友．先填表，再回答． 每包的本数 10 20 40 包数 60 （1）每包的本数和包数成什么比例？为什么？ （2）如果每包15本，那么可以打成多少包？如果打成6包，那么每包多少本？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）总本数＝每包的本数×包数，总本数一定，即乘积一定，那么每包的本数和包数成反比例． （2）先用乘法求出总本数，总本数÷包数＝每包的本数，据此解答即可． 【解答】解： 每包的本数 10 20 40 包数 60 30 15 （1）10×60＝20×30＝40×15＝600（本） 总本数＝每包的本数×包数，总本数一定，即乘积一定，每包的本数和包数成反比例． （2）600÷15＝40（包） 600÷6＝100（本） 答：如果每包15本，那么可以打成40包，如果打成6包，那么每包100本． 【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果对应的比值和乘积都不一定时，这两个量不成比例． 25．被除数一定，商和除数成 　反　比例。 【答案】反比例。 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】解：因为每班人数×班数＝总人数（一定），是对应的乘积一定，所以每行人数与行数成反比例； 故答案为：反。 【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。 26．平行四边形的高是3cm，先填表，再根据表中的数据回答问题． 底/cm 8 10 20 30 面积/cm2 24 90 （1）表中平行四边形的底和面积是　相关联　的量，平行四边形的　面积　随着　底　的变化而变化． （2）写出几组这两种量中相对应的两个数的比，求出比值，并比较比值的大小． （3）上面求出的比值表示的意义是什么？ （4）表中相关联的两种量成正比例吗？为什么？ 【答案】见试题解答内容 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系．用字母表示k（一定）． （1）根据平行四边形的面积公式：面积＝底×高＝3×底，填空即可． （2）利用表中的数据计算出比值，比较大小即可． （3）借助于平行四边形的面积公式理解其表示的意义即可． （4）利用（2）的比值是否一定，来判定是否成正比例即可． 【解答】解：10×3＝30；20×3＝60． 底/cm 8 10 20 30 面积/cm2 24 30 60 90 （1）表中平行四边形的底和面积是相关联的量，平行四边形的面积随着底的变化而变化． （2）3；3；3；3．比值大小相等，是个定值3． （3）高，比值表示的意义是平行四边形的高． （4）相关联的两种量成正比例． 由（2）可知3（一定），是比值一定，所以成正比例． 【点评】此题考查正比例关系的意义，理解成正比例的量的意义是解题的关键． 27．观察下面两个表格，回答问题． （1）抢运一批救灾物资，卡车的载质量和需要卡车的数量如表． 卡车载质量/吨 2 4 5 10 需要卡车数量/辆 50 25 20 10 （2）用同样的卡车抢运救灾物资的吨数和需要卡车的数量如表． 物资总质量/吨 15 25 30 35 需要卡车数量/辆 3 5 6 7 上面哪道题中的两种量成正比例，哪道题中的两种量成反比例？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据卡车的载质量×需要卡车数量＝这批救灾物资的数量，发现它们的乘积一定，所以卡车的载质量和需要卡车的数量成反比例． （2）根据物资总质量÷需要卡车数量＝每辆卡车的质量（一定），发现它们的比值一定，所以物资总质量与需要卡车数量成正比例． 【解答】解：（1）因为2×50＝100，4×25＝100，5×20＝100，所以卡车的载质量×需要卡车的数量＝一批救灾物资的质量（一定），所以卡车的载质量和需要卡车的数量成反比例． （2）因为15÷3＝5，25÷5＝5，30÷6＝5，35÷7＝5，所以物资总质量÷需要卡车数量＝每辆卡车的质量（一定），所以物资总质量与需要卡车数量成正比例． 【点评】此题属于辨识两种相关联的量成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做出判断． 28．一艘轮船从甲港开到乙港，3时行驶了75km．从乙港开到丙港，5时行驶了125km． （1）分别求轮船从甲港开到乙港，从乙港开到丙港的速度． （2）轮船行驶的路程和所用时间成什么比例？ （3）用等式把题目里的数量关系表示出来． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）知道从甲港开到乙港的路程是75km，时间是3小时，利用“速度＝路程÷时间”可求得从甲港开到乙港的速度； 同理可求得从乙港开到丙港的速度． （2）由（1）可知速度（一定），可知行驶的路程和所用时间之间的关系． （3）根据（2）中所成的比例关系表示出来即可． 【解答】解：从甲港开到乙港的速度：75÷3＝25（千米/时）． 从乙港开到丙港的速度：125÷5＝25（千米/时）． 答：轮船从甲港开到乙港，从乙港开到丙港的速度都是25千米/时． （2）由（1）可知25（一定），是比值一定，所以轮船行驶的路程和所用时间成正比例． （3）设s表示路程，t表示时间，v表示速度，则等量关系为：v． 【点评】此题考查成正比例的量的应用，理解速度，时间，路程之间的关系和正比例关系的意义是解题的关键． 29．下面每个表中的两个量，哪些成比例关系？成正比例关系还是反比例关系？哪些不成比例关系？ （1）从甲地到乙地的路程是240km，汽车行驶的速度与时间如下表。 速度/（千米/时） 40 50 60 80 100 时间/时 6 4.8 4 3 2.4 （2）圆锥的高是30cm，它的底面积与体积如下表。 底面积/cm2 5 8 10 16 20 体积/cm3 50 80 100 160 200 （3）圆的半径与面积如下表。 半径/cm 1 2 3 44 5 面积/cm2 π 4π 9π 16π 25π 【答案】（1）速度与时间成反比例。（2）体积与底面积成正比例。（3）圆面积与半径不成比例。 【分析】（1）路程＝速度×时间，路程一定，速度与时间成反比例。 （2）圆锥体积＝底面积×高÷3，则高＝3×圆锥体积÷底面积，高一定时，体积与底面积成正比例。 （3）圆面积＝πr2，π＝圆面积÷r2，π一定，圆面积与半径的平方成正比例，圆面积与半径不成比例。 【解答】解：由分析得（1）路程一定，速度与时间成反比例。 （2）高一定时，体积与底面积成正比例。 （3）π一定，圆面积与半径的平方成正比例，圆面积与半径不成比例。 答：（1）速度与时间成反比例。（2）体积与底面积成正比例。（3）圆面积与半径不成比例。 【点评】本题考查正比例、反比例的特点及判断。 30．如图表示某工厂中甲、乙两个车间加工的零件数与时间的关系． （1）乙车间生产的零件数与时间成正比例吗？为什么？ （2）如果生产8万个零件，那么乙车间比甲车间少用几个月？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）判断生产的零件数与时间是否成正比例，就看这两种量是否是对应的比值一定，如果是比值一定，就成正比例，如果不是比值一定或比值不一定，就不成正比例； （2）根据工作总量÷工效＝工作时间，先分别求出甲、乙车间用的时间，再相减即可． 【解答】解：（1）由图意可知，2：1＝2，4：2＝2，6：3＝2，8：4＝2…，16：8＝2， 工效是一定的，工作总量和工作时间的比值一定，所以乙车间生产的零件数与时间成正比例． （2）乙生产8万个零件需要：8÷2＝4（个月） 甲生产8万个零件需要：8÷（2÷2）＝8（个月） 8﹣4＝4（个月） 答：如果生产8万个零件，那么乙车间比甲车间少用4个月． 【点评】本题考查了比例的有关知识，解题的关键是从折线统计图中得到进一步解题的相关信息． 31．妈妈买来一袋橡皮泥，平平全部用来捏大小相同的圆锥，正好没有剩余．圆锥的个数与每个圆锥所用橡皮泥的体积是否成反比例？为什么？ 【答案】见试题解答内容 【分析】由于所捏的圆锥的大小相同，因此，每个圆锥所用的橡皮泥是相同的．每个圆锥用的橡皮泥×圆锥的个数＝妈妈买来一袋橡皮泥（一定）．根据两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就是成反比例的量，它们的关系是反比例关系，在这里，每个圆锥用的橡皮泥×圆锥的个数成反比例． 【解答】解：圆锥的个数与每个圆锥所用橡皮泥的体积是成反比例 理由：每个圆锥用的橡皮泥×圆锥的个数＝妈妈买来一袋橡皮泥（一定） 【点评】此题是考查辨析两种量成正、反比例．关键是看这两种相关联量中所对应的数的比值（商）一定还是积一定． 32．富县的“睁眼辣子”，开胃、下饭，是餐桌上必备的饮食调味品。某食品公司将“睁眼辣子”包装成小袋售卖，购买数量和总价的关系如表。 数量/袋 1 2 3 4 5 …… 总价/元 8 16 24 32 40 …… （1）表中的总价和数量成正比例关系吗？为什么？ （2）68元够买几袋“睁眼辣子”？ 【答案】正比例关系；8。 【分析】（1）观察表格，发现表中有总价和数量两种相关联的量，总价随着数量的变化而变化，且总价与相应数量的比值都是一定的，实际就是“睁眼辣子”的单价。 （2）根据总价÷单价＝数量即可解答。 【解答】解：（1）8÷1＝8（元） 16÷2＝8（元） 24÷3＝8（元） 32÷4＝8（元） 40÷5＝8（元） 答：总价与数量成正比例关系，因为比值都是8元。 （2）68÷8＝8（袋）......4（元） 答：68元够买8袋“睁眼辣子”，还剩下4元。 【点评】此题主要考查正比例的意义以及总价、数量和单价之间的关系，正比例的意义是：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系是正比例关系。 33．一种硬笔书法练习本，数量和总价的关系如表． 数量/本 1 2 3 4 5 6 … 总价/元 4 8 12 16 20 24 … （1）在图中，描出总价与数量之间的对应点，并连接各点． （2）总价与数量有什么关系？为什么？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）首先根据表中的数据描出各点，然后顺次连接个点即可． （2）因为单价（一定），所以总价和数量成正比例． 【解答】解：（1）作图如下： （2）4 因为单价（一定），所以总价和数量成正比例． 【点评】此题考查的目的是理解掌握正比例的意义及应用，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（即两个数的商）一定，这两种就叫做成正比例的量，它们的关系就是正比例关系． 34．下面的图象表示小强从甲地到乙地不同的速度和所对应的时间。 （1）在这个过程中，哪种量没有变？ （2）速度和所对应的时间成什么比例关系？ （3）不计算，观察图象，如果每小时行40km，那么从甲地到乙地大约需要多少小时？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）图中标出5个点：速度是100时时间是1，速度是50时时间是2，速度是20时时间是5，速度是10时时间是10，速度是5时时间是20，由此得出路程没有变化。 （2）观察图象发现速度和时间的关系是反比例关系。 （3）观察图象，如果每小时行40km，那么从甲地到乙地大约需要2.5小时。 【解答】解：（1）图中标出5个点：速度是100时时间是1，速度是50时时间是2，速度是20时时间是5，速度是10时时间是10，速度是5时时间是20，由此得出路程没有变化。 （2）观察图象发现速度和时间的关系是反比例关系。 （3）观察图象，如果每小时行40km，那么从甲地到乙地大约需要2.5小时。 【点评】此题主要考查反比例的意义。解题的关键是掌握反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 35．判断下面每题中的两种量是不是成正比例，并说明理由． （1）小新跳高的高度和他的身高． （2）长方形的宽一定，它的面积和长． （3）小麦每公顷产量一定，小麦的公顷数和总产量． 【答案】见试题解答内容 【分析】判定两种量是否成正、反比例，要看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定就成正比例；如果是乘积一定，就成反比例． 【解答】解：（1）因为小新跳高的高度和他的身高的比值不是一定的， 所以小新跳高的高度和他的身高不成正比例； （2）因为长方形的面积＝长×宽， 所以长方形的面积÷长＝宽（一定）， 即长方形的面积与长的比值一定， 符合正比例的意义， 所以一个长方形的宽一定，它的面积和长成正比例； （3）种小麦的面积和总产量是两种相关联的量，它们与每公顷小麦产量有下面的关系： 总产量：小麦的公顷数＝每公顷小麦产量（一定）； 已知每公顷小麦产量一定，也就是总产量与种小麦的公顷数的比值一定，所以种小麦的公顷数和总产量成正比例． 【点评】此题属于根据正、反比例的意义，判断两种相关联的成正比例还是成反比例，就看是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做出解答． 36．组装一批电动车，每天组装的辆数和需要的天数如表． 每天组装辆数 20 15 　12　 10 需要的天数 　9　 12 15 　18　 （1）请把上表补充完整． （2）每天组装的辆数和需要的天数成什么比例？为什么？ （3）如果每天组装30辆，需要组装多少天？如果打算4天完成组装任务，每天需要组装多少辆？ 【答案】见试题解答内容 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系．用字母表示是k（一定） 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系．用字母表示是x×y＝k（一定）． （1）这一批电动车的数量是个定值12×15＝180辆，也就是：每天组装辆数×需要的天数＝180辆，据此计算填表即可． （2）根据每天组装辆数×需要的天数＝180辆（一定）可解答． （3）根据需要的天数＝180÷每天组装辆数；每天组装辆数＝180÷需要的天数即可． 【解答】解：（1）15×12＝180（辆） 180÷20＝9（天） 180÷15＝12（辆） 180÷10＝18（天） 每天组装辆数 20 15 12 10 需要的天数 9 12 15 18 （2）因为每天组装辆数×需要的天数＝180辆（一定），即乘积一定．所以每天组装的辆数和需要的天数成反比例． （3）180÷30＝6（天） 180÷4＝45（辆） 答：每天组装30辆，需要组装6天；打算4天完成组装任务，每天需要组装45辆． 故答案为：12，9，18． 【点评】此题主要考查成反比例的量，理解成反比例的量的定义，是解决此题的关键． 37．配制一种盐水，水的质量总是比盐水的质量少15%，盐的质量与盐水的质量成正比例吗？ 【答案】成正比例。 【分析】判断两种量成正比例还是成反比例时，关键看这两种相关联的量中相对应的两个数是比值一定还是乘积一定。如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例；如果比值和乘积都不是定量，就不成比例。 【解答】解：（盐水的质量﹣水的质量）÷盐水的质量＝盐的质量÷盐水的质量＝15%，盐的质量与盐水的质量是两个相关联的量，且它们的比值一定，所以成正比例。 【点评】此题考查了辨识成正比例的量与成反比例的量，要求学生掌握。 38．同一时间同一地点，物体的影长与实际长度的比值一定。请你根据这个条件设计一个测量一棵大树的高度的方案。 【答案】米。 【分析】同一时间同一地点，物体的影长与实际长度的比值一定，物体的影长与实际长度成正比例，据此设计方案。 【解答】解：取一根a米长的木棒，测出大树的影长b米和木棒竖立时的影长c米；（答案不唯一） 根据物体的影长与实际长度成正比例，可得： 大树的高度：大树的影长＝木棒的长度：木棒的影长， 设大树的高度为x米， x：b＝a：c cx＝ab cx÷c＝ab÷c x 答：大树的高度是米。 【点评】根据物体的影长与实际长度的比值一定，用容易测量数据的木棒的高度和影长与大树的高度与影长组成比例，根据这个比例计算出大树的高度。 39．运输队要运一批货物，每天运的质量和运货的天数之间的关系如下。 每天运的质量/t 300 150 100 75 60 50 运货的天数/天 1 2 3 4 5 6 （1）表中有哪两种量？它们是不是相关联的量？ （2）写出几组这两种量中相对应的两个数的乘积，并比较乘积的大小，说一说这个乘积表示什么。 （3）运货的天数与每天运的质量成反比例关系吗？为什么？ 【答案】（1）它们是相关的量。 （2）这个积表示货物的总量。 （3）成反比例关系，因为两种量乘积一定，运货的天数变化，每天运货的质量也随之变化。 【分析】（1）表中有每天运的质量和运货的天数。 （2）两种量相乘得到的是货物总量。 （3）乘积一定，每天运的质量和运货的天数成反比例。 【解答】解：（1）表中有每天运的质量和运货的天数，它们是相关的量。 答：表中有每天运的质量和运货的天数，它们是相关的量。 （2）300×1＝300，150×2＝300，100×3＝300，300＝300＝300，所以积相等，表示货物总量。 答：这个积表示货物的总量。 （3）运货的天数变化，每天运货的质量也随之变化，且这两种量的乘积一定，所以运货的天数与每天运的质量成反比例关系。 答：成反比例关系，因为两种量乘积一定，运货的天数变化，每天运货的质量也随之变化。 【点评】本题考查反比例的识别及应用。 40．红星小学六（1）班正在研讨“一摞白纸大约有多少张？”的问题，实践后发现： （1）每10张白纸的质量是一定的，白纸总质量与总页数成正比例关系。 （2）先数出50张白纸，再称出这50张白纸，正好是220克。 （3）称得这摞白纸总质量是6600克。 请根据六（1）班的研究思路解答“这摞白纸大约有多少张？”的问题。 【答案】1500张。 【分析】根据题意，先数出50张白纸，再称出这50张白纸，正好是220克。可知一张白纸的质量，然后称得这摞白纸总质量是6600克。用总质量除以一张纸的质量，解答即可。 【解答】解：220÷50＝4.4（克） 6600÷4.4＝1500（张） 答：这摞白纸大约有1500张。 【点评】此题考查了辨识成正比例的量与成反比例的量的实际应用，结合题意分析解答即可。 41．某工厂接到任务紧急生产一批口罩，下面是每时生产口罩的数量与完成任务总共需要的时间的关系。 每时生产口罩的数量/万只 2 3 4 6 时间/时 72 48 36 24 （1）每时生产口罩的数量与时间有什么关系？（1分） （2）如果每时生产8万只口罩，那么完成这项任务一共需要多少时？（4分） 【答案】（1）反比例； （2）18。 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】解：（1）因为每时生产口罩的数量与时间的积一定，所以每时生产口罩的数量与时间成反比例。 （2）2×72÷8＝18（时） 答：完成这项任务一共需要18小时。 【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。 学科网（北京）股份有限公司 $$