预习专题09 平面向量数乘运算的坐标表示7题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 预习专题09 平面向量数乘运算的坐标表示7题型分类 一、平面向量数乘运算的坐标表示 已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 二、平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0. 则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线. （一） 平面向量的数乘运算的坐标运算 （1）相等向量的坐标是相同的，解题时注意利用向量相等建立方程组. （2）进行平面向量的坐标运算时，应先将向量用坐标表示出来.一般地，已知有向线段两端点的坐标，应先求出向量的坐标.求点P的坐标时，可以转化为求以坐标原点为起点，点P为终点的向量的坐标. 题型1：平面向量的线性运算的坐标表示 1．（2024高一上·新疆喀什·阶段练习）若，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 2．（2024高二下·黑龙江·学业考试）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，以为基底，则可表示为（   ） A． B． C． D． 4．（2024高一下·湖南株洲·期末）已知向量，在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则（   ） A．2 B． C．4 D．8 5．（2024高三上·广东深圳·阶段练习）已知平面直角坐标系内三个顶点的坐标分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 题型2：根据线性运算的结果求参数 6．（2024高三·广东深圳·阶段练习）在正方形ABCD中，M是BC的中点．若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 7．（2024高三·江西·阶段练习）已知向量，满足，，，则（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 8．（2024高三上·江苏南通·阶段练习）如图，已知，，，，，若，则（ ） A． B． C． D． 9．（2024高一下·湖北恩施·期末）过，的直线与x轴交于点P，设，则 10．（2024高一下·全国·单元测试）已知点，若第四象限的点P满足，则实数λ的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型3：线段的定比分点问题 11．（2024高一下·上海杨浦·期末）已知直角坐标平面上两点、，若满足，则点的坐标为 . 12．（2024高三上·广东揭阳·期中）已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 13．（2024高一下·贵州·阶段练习）已知，，点分所成的比为，则与的值分别为（    ） A． B． C． D． 14．（2024高一·全国·课后作业）设点，，点在的延长线上，且，则点的坐标是 ． 15．（2024高一·全国·课堂例题）已知，，P是直线上一点，且，求点P的坐标． （二） 向量共线的坐标运算及应用 （1）向量共线的判定方法 ①利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b. ②利用向量共线的坐标表达式直接求解． 若 ，向量平行的条件：或x1y2－x2y1＝0 （2）三点共线的实质与证明步骤 ①实质：三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三点共线，由两向量无公共点确定直线平行． ②证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点．　　　　 题型4：由坐标判断向量是否共线 16．（2024高三上·上海浦东新·阶段练习）设，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．非充分非必要条件 17．（2024高一下·重庆渝中·阶段练习）与共线的向量是（    ） A． B． C． D． 题型5：由向量共线（平行）求参数 18．（2024高一下·甘肃临夏·期末）已知向量，，且，则（    ） A． B． C．0 D．2 19．（2024高三上·四川·开学考试）设向量，，则“与同向”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 20．（2024高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知向量，且与共线，则实数 ． 21．（2024高一下·浙江绍兴·期中）已知向量，，且，则实数 ． 22．（2024高三上·江苏南通·期末）若向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 23．（2024高三上·江西赣州·阶段练习）已知向量 ，若与共线且同向，则实数λ的值为（    ） A．2 B．4 C． D．或4 题型6：用坐标解决三点共线问题 24．（2024高一·全国·随堂练习）判断下列各组三点是否共线： (1)，，； (2)，，； (3)，，. 25．（2024高一·全国·课堂例题）已知三点共线，求x的值． 26．（2024高三上·上海黄浦·开学考试）若三点不能构成三角形，则 . 27．（2024高三上·天津河北·期中）设，，，其中，，为坐标原点，若，，三点共线，则 ，的最小值为 . 28．（2024高一下·山东·期中）某同学因兴趣爱好，自己绘制了一个迷宫图，其图纸如图所示，该同学为让迷宫图更加美观，在绘制过程中，按单位长度给迷宫图标记了刻度，该同学发现图中A，B，C三点恰好共线，则（    ） A．7 B． C． D．8 （三） 利用向量共线解决几何问题 （1）向量共线在几何中的应用可分为两个方面：①已知两向量共线，求点或向量的坐标；②证明或判断三点共线、直线平行. （2）解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三点共线，由两向量无公共点确定直线平行. 题型7：利用向量共线解决几何问题 29．（2024高一·全国·课后作业）如图所示，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC和OB的交点P的坐标. 30．（2024高一上·湖北荆州·期末）在中，已知点，，与交于点，求点的坐标． 31．（2024高三·全国·专题练习）已知点 ，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为 . 32．（2024高二·江苏·课后作业）在中，E，F分别为AB，AC的中点，建立适当的直角坐标系，求证：，且． 33．（2024高一下·广西钦州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求点B的坐标； (2)求证：． 一、单选题 1．（2024高三上·北京·期中）已知向量，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一下·北京平谷·期末）已知向量，，那么向量可以是（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一下·四川德阳·阶段练习）已知平面向量，则向量（    ） A． B． C． D． 4．（2024高一下·全国·课后作业）若向量，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024高一下·四川眉山·期中）已知向量满足，，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D． 6．（2024高一下·重庆·期末）已知点，，，若四边形ABCD为平行四边形，则点D的坐标为（    ）． A． B． C． D． 7．（2024高一下·安徽马鞍山·期中）下列各组向量，可作为一组基底的是（    ） A． B． C． D． 8．（2024高二上·云南昭通·阶段练习）在如图所示的正六边形ABCDEF中，若，则（    ）    A．2 B．5 C．3 D．4 9．（24-25高一下·上海·单元测试）若，，且点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·广西·阶段练习）若向量，，且，，三点共线，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高三上·山西·阶段练习）古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的矛盾对立统一规律.图（正八边形）是由图（八卦模型图）抽象并以正八边形的中心为旋转中心顺时针旋转而得到，若，则（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高三上·四川·期中）已知平面向量，，且，则（   ） A．5 B． C． D． 13．（2024高三·全国·专题练习）已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，为坐标原点，，若点满足，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 14．（2025高三·全国·专题练习）已知点，，向量，则（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高一上·北京·期末）如图所示，四点在正方形网格的格点处.若，则实数（   ）    A． B． C． D． 16．（2024高一下·广东梅州·期末）如图，在扇形AOB中，扇形的半径为，点在弧上移动，．当时，（   ）    A． B． C．2 D． 17．（2024高一下·江苏苏州·期中）在平行四边形中，，分别在边，上，，，与相交于点，记，，则（    ） A． B． C． D． 18．（2024高三·全国·课后作业）若，是一组基底，向量（，），则称为向量在基底，下的坐标．现已知向量在基底，下的坐标为，则在另一组基底，下的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 19．（2024高一下·江苏·期中）在平面直角坐标系内，O为坐标原点，已知，，若P是线段的三等分点，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 20．（2024高一下·浙江·期末）直角梯形中，是边长为2的正三角形，是平面的动点，，设，则的值可以为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 21．（2024高一下·山东枣庄·阶段练习）已知，，点P在直线AB上，且，求点P的坐标（    ） A． B． C． D． 三、填空题 22．（2024·全国·模拟预测）已知平面向量，，若，则实数m的值为 ． 23．（2024高二上·上海·课后作业）已知三点共线，则，则 ， ． 24．（2024高三下·甘肃张掖·阶段练习）已知向量，且，则实数 . 四、解答题 25．（2024高一下·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知向量，， (1)分别求，的坐标； (2)若向量，且与向量平行，求实数k的值． 26．（2024高一下·吉林长春·期中）已知是平面内两个不共线的非零向量，，，且三点共线. (1)求实数的值； (2)已知，，，若四点按顺时针顺序构成平行四边形，求的坐标和点的坐标. 27．（2024高一下·湖北十堰·阶段练习）某公园有三个警卫室A､B､C，互相之间均有直道相连，千米，千米，千米，保安甲沿CB从警卫室C出发前往警卫室B，同时保安乙沿BA从警卫室B出发前往警卫室A，甲的速度为2千米/小时，乙的速度为1千米/小时. (1)保安甲从C出发1.5小时后达点D，若，求实数x､y的值； (2)若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内的最大通话距离不超过2千米，试问有多长时间两人不能通话？ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 预习专题09 平面向量数乘运算的坐标表示7题型分类 一、平面向量数乘运算的坐标表示 已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 二、平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0. 则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线. （一） 平面向量的数乘运算的坐标运算 （1）相等向量的坐标是相同的，解题时注意利用向量相等建立方程组. （2）进行平面向量的坐标运算时，应先将向量用坐标表示出来.一般地，已知有向线段两端点的坐标，应先求出向量的坐标.求点P的坐标时，可以转化为求以坐标原点为起点，点P为终点的向量的坐标. 题型1：平面向量的线性运算的坐标表示 1．（2024高一上·新疆喀什·阶段练习）若，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意和平面向量运算的坐标表示直接得出结果. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 2．（2024高二下·黑龙江·学业考试）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量线性运算的坐标表示计算可得. 【详解】由向量可得 . 故选：B 3．（2024高三·全国·专题练习）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，以为基底，则可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量线性运算的性质，利用待定系数法进行求解即可. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系， 设与轴正方向相同的单位向量为，与轴正方向相同的单位向量为，则， 设 因为不共线，所以有， 故选：C 4．（2024高一下·湖南株洲·期末）已知向量，在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则（   ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据题图写出向量坐标，再进行坐标运算即可. 【详解】根据题图，以题图向量起点为原点，该点横纵方向为轴， 则，，所以， 则. 故选：. 5．（2024高三上·广东深圳·阶段练习）已知平面直角坐标系内三个顶点的坐标分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意直接利用向量的坐标运算求解即可 【详解】因为，，， 所以， 故选：B. 题型2：根据线性运算的结果求参数 6．（2024高三·广东深圳·阶段练习）在正方形ABCD中，M是BC的中点．若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解作答. 【详解】在正方形ABCD中，以点A为原点，直线AB，AD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图， 令，则，， ，因， 于是得，解得， 所以的值为. 故选：B 7．（2024高三·江西·阶段练习）已知向量，满足，，，则（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】设出向量，的坐标，根据条件列出坐标方程，即可解出坐标，即可进一步列出含参数的坐标方程，从而解出参数 【详解】设，，所以，且，解得，，即，.所以，则，解得，故. 故选：B 8．（2024高三上·江苏南通·阶段练习）如图，已知，，，，，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图所示，以为负半轴，为正半轴建立直角坐标系，根据题意得到，解得答案. 【详解】如图所示：以为负半轴，为正半轴建立直角坐标系， 则，，， ，即， 解得，故. 故选：C. 9．（2024高一下·湖北恩施·期末）过，的直线与x轴交于点P，设，则 【答案】 【分析】首先设，再根据向量相等，转化为方程组，即可求解. 【详解】设，则，， 则，得，， 故答案为： 10．（2024高一下·全国·单元测试）已知点，若第四象限的点P满足，则实数λ的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的坐标运算即可列式子求解. 【详解】方法一：设，则，, 又, 所以 所以即, 因为点P在第四象限，所以 解得 故所求实数λ的取值范围是 方法二：, 所以 因为点P在第四象限，所以 解得 故选：C 题型3：线段的定比分点问题 11．（2024高一下·上海杨浦·期末）已知直角坐标平面上两点、，若满足，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】设点的坐标为，将转化为坐标，利用坐标对应相等即可求解. 【详解】设点的坐标为， 因为点，， 所以，， 因为，所以，解得， 所以点的坐标为 故答案为： 12．（2024高三上·广东揭阳·期中）已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据向量的坐标运算求解，注意三等分点有两种可能. 【详解】因为，，可得， 又因为点是线段的三等分点，则或， 所以或， 即点的坐标为或. 故选：C. 13．（2024高一下·贵州·阶段练习）已知，，点分所成的比为，则与的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量数乘的坐标运算求解即可. 【详解】∵，，， ∴，， ∵分所成的比为，∴，即， ∴有，解得. 故选：D. 14．（2024高一·全国·课后作业）设点，，点在的延长线上，且，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】设，表示出，，依题意，根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可. 【详解】设，则，， 因为点在的延长线上，且，所以， 即，所以，解得， 所以. 故答案为： 15．（2024高一·全国·课堂例题）已知，，P是直线上一点，且，求点P的坐标． 【答案】. 【分析】利用平面向量的坐标运算求解. 【详解】设，则，, 由，得， 于是 因为，所以 因此，点P的坐标为． （二） 向量共线的坐标运算及应用 （1）向量共线的判定方法 ①利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b. ②利用向量共线的坐标表达式直接求解． 若 ，向量平行的条件：或x1y2－x2y1＝0 （2）三点共线的实质与证明步骤 ①实质：三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三点共线，由两向量无公共点确定直线平行． ②证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点．　　　　 题型4：由坐标判断向量是否共线 16．（2024高三上·上海浦东新·阶段练习）设，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．非充分非必要条件 【答案】A 【分析】先得到充分性成立，再举出反例得到必要性不成立，得到答案. 【详解】若，则，即，故，充分性成立， 不妨设，此时，但不满足，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A 17．（2024高一下·重庆渝中·阶段练习）与共线的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据共线向量的坐标关系逐项分析即得. 【详解】对A，，故A错误； 对B，，故B正确； 对C，，故C错误； 对B，，故D错误. 故选：B. 题型5：由向量共线（平行）求参数 18．（2024高一下·甘肃临夏·期末）已知向量，，且，则（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】 根据向量平行的坐标表示计算即可. 【详解】因为，，且， 所以，解得. 故选：B 19．（2024高三上·四川·开学考试）设向量，，则“与同向”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面平行向量的坐标表示求出的值，验证同向与反向即可. 【详解】， 当时，，同向； 当时，，反向. 故选：A． 20．（2024高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知向量，且与共线，则实数 ． 【答案】3或 【分析】 先计算出，由向量共线得到方程，求出的值. 【详解】， 故，解得或3. 故答案为：3或 21．（2024高一下·浙江绍兴·期中）已知向量，，且，则实数 ． 【答案】/0.5 【分析】 根据平面向量线性运算的坐标表示和向量平行的坐标表示可求出结果. 【详解】 因为向量，， 所以，， 因为，所以， 所以. 故答案为：. 22．（2024高三上·江苏南通·期末）若向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由向量平行的充要条件结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意，则“”是“”的充要条件. 故选：C． 23．（2024高三上·江西赣州·阶段练习）已知向量 ，若与共线且同向，则实数λ的值为（    ） A．2 B．4 C． D．或4 【答案】C 【分析】通过向量共线且同向，即可求出实数的值并检验即可得解. 【详解】因为，，且与共线且同向， 所以，解得或， 当时，，则，满足题意； 当时，，则，不满足题意； 综上，. 故选：C． 题型6：用坐标解决三点共线问题 24．（2024高一·全国·随堂练习）判断下列各组三点是否共线： (1)，，； (2)，，； (3)，，. 【答案】(1)A，B，C三点不共线. (2)D，E，F三点共线 (3)G，H，L三点共线 【分析】根据点的坐标确定向量的坐标，再根据向量共线定理即可判断. 【详解】（1）因为， 所以，所以与不共线，所以A，B，C三点不共线. （2）因为，所以， 因为直线DE与DF有公共点D，所以D，E，F三点共线. （3）因为，所以， 因为直线GH与GL有公共点G，所以G，H，L三点共线. 25．（2024高一·全国·课堂例题）已知三点共线，求x的值． 【答案】． 【分析】利用向量与共线的坐标表示求解． 【详解】因为A，B，C三点共线，所以与共线． 而，． 所以，整理得，解得． 26．（2024高三上·上海黄浦·开学考试）若三点不能构成三角形，则 . 【答案】 【分析】三点不能构成三角形转化为三点共线，利用向量共线的坐标表示求解即可. 【详解】当三点共线，即时，三点不能构成三角形. 由已知得， ， 由得，，解得. 故答案为：. 27．（2024高三上·天津河北·期中）设，，，其中，，为坐标原点，若，，三点共线，则 ，的最小值为 . 【答案】 2 【分析】由题意求得，根据三点共线可得向量共线，利用向量共线的条件可得的值，将化为，展开后利用基本不等式即可求得答案. 【详解】由，，可得， 由于，，三点共线，故共线， 所以，即， 则， 当且仅当，结合，即时取等号， 故答案为：2； 28．（2024高一下·山东·期中）某同学因兴趣爱好，自己绘制了一个迷宫图，其图纸如图所示，该同学为让迷宫图更加美观，在绘制过程中，按单位长度给迷宫图标记了刻度，该同学发现图中A，B，C三点恰好共线，则（    ） A．7 B． C． D．8 【答案】C 【分析】利用向量共线的坐标表示可得. 【详解】由图可知， 所以，， 因为，所以，解得. 故选：C （三） 利用向量共线解决几何问题 （1）向量共线在几何中的应用可分为两个方面：①已知两向量共线，求点或向量的坐标；②证明或判断三点共线、直线平行. （2）解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三点共线，由两向量无公共点确定直线平行. 题型7：利用向量共线解决几何问题 29．（2024高一·全国·课后作业）如图所示，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC和OB的交点P的坐标. 【答案】(3，3) 【分析】设P(x，y)，可得，根据共线向量的坐标表示即可求出 x、y的值. 【详解】设P(x，y)，则=(x，y)，因为=(4，4)， 且共线，所以，即x=y. 又=(x-4，y)，=(-2，6)，且共线， 则得(x-4)×6-y×(-2)=0，解得x=y=3， 所以点P的坐标为(3，3). 30．（2024高一上·湖北荆州·期末）在中，已知点，，与交于点，求点的坐标． 【答案】 【详解】 31．（2024高三·全国·专题练习）已知点 ，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为 . 【答案】(3,3) 【分析】法一：利用向量的共线可设，表示出的坐标，根据向量共线列出方程，即可求得答案； 法二：设点P(x,y)，进而表示出相关向量的坐标，根据向量共线，列出方程，求得答案. 【详解】法一:由O，P，B三点共线，可设, 则, 又， 由共线，得， 解得 ，所以, 所以点P的坐标为(3,3), 故答案为： 法二:设点P(x,y)，则 ，因为，且 与共线， 所以 ，即x=y. 又 ， ，且共线， 所以 ，解得x=y=3， 所以点P的坐标为(3,3)， 故答案为： 32．（2024高二·江苏·课后作业）在中，E，F分别为AB，AC的中点，建立适当的直角坐标系，求证：，且． 【答案】证明见解析. 【分析】建立坐标系，设出A、B、C的坐标，表示出E、F的坐标，利用向量证明即可. 【详解】根据题意，如图建立坐标系， 设，， 点分别为的中点，则， 则， 则有， 故，且. 33．（2024高一下·广西钦州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求点B的坐标； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据结合，根据直角三角形中的关系结合求解即可； （2）先求得，再根据向量平行的性质证明即可 【详解】（1）由题意，因为，，故，故，即点B的坐标为 （2）由题意，，又，故，且不共线，故 一、单选题 1．（2024高三上·北京·期中）已知向量，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面共线向量的坐标表示可得，结合二倍角的正切公式计算即可求解. 【详解】由题意知，， 所以，得， 所以. 故选：A. 2．（2024高一下·北京平谷·期末）已知向量，，那么向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量共线的充要条件计算即可判断. 【详解】向量，，则存在，使得 故只有向量符合. 故选：A. 3．（2024高一下·四川德阳·阶段练习）已知平面向量，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示即可解答. 【详解】因为平面向量， 所以，则. 故选：B. 4．（2024高一下·全国·课后作业）若向量，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的坐标运算得出选项. 【详解】, 因为不共线，所以基底表示向量系数 唯一，B正确. 故选：B. 5．（2024高一下·四川眉山·期中）已知向量满足，，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】设出向量，的坐标，根据条件列出坐标方程，即可解出，的坐标，即可进一步列出含参数的坐标方程，从而解出参数，. 【详解】设，，又，， 所以，且， 解得，，即，.所以，则，解得，故. 故选：B. 6．（2024高一下·重庆·期末）已知点，，，若四边形ABCD为平行四边形，则点D的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点D的坐标为，根据题意可知，结合向量的坐标表示分析求解即可. 【详解】设点D的坐标为，则， 若四边形ABCD为平行四边形，则， 可得，解得，即点D的坐标为. 故选：B. 7．（2024高一下·安徽马鞍山·期中）下列各组向量，可作为一组基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基底的定义逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为为零向量，所以这一组向量不能作为基底，所以A错误； 对于B，假设共线，则， 所以，所以，方程组无解， 所以不共线，所以可作为一组基底，所以B正确， 对于C，因为，所以，所以共线， 所以不能作为一组基底，所以C错误， 对于D，因为，所以，所以共线， 所以不能作为一组基底，所以D错误. 故选：B 8．（2024高二上·云南昭通·阶段练习）在如图所示的正六边形ABCDEF中，若，则（    ）    A．2 B．5 C．3 D．4 【答案】D 【分析】建立直角坐标系坐标表示向量，由向量相等关系建立方程组求解系数即可. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设正六边形ABCDEF边长为， 则， ， 由， 则， 所以有，解得， 则. 故选：D.    9．（24-25高一下·上海·单元测试）若，，且点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】假设的坐标，进而根据条件进行运算即可求解. 【详解】因为在线段的延长线上，且 所以 因为，假设 可得 由此可得，解得 所以点 故选：D. 10．（24-25高三上·广西·阶段练习）若向量，，且，，三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得∥，根据两向量平行的坐标运算求解即可. 【详解】解：由，，三点共线， 得∥， 得，解得. 故选：B. 11．（24-25高三上·山西·阶段练习）古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的矛盾对立统一规律.图（正八边形）是由图（八卦模型图）抽象并以正八边形的中心为旋转中心顺时针旋转而得到，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方法一：作，，可知四边形为正方形，根据长度关系和向量线性运算可求得的值，进而得到结果； 方法二：以为坐标原点建立平面直角坐标系，根据向量坐标运算可求得的值，进而得到结果. 【详解】方法一：过作，，垂足分别是， ，四边形为正方形， ，又， ，即，； 方法二：分别以射线为轴，轴的正半轴建立直角坐标系， 设，则， ，，， 由得：， ，解得：，. 故选：A. 12．（24-25高三上·四川·期中）已知平面向量，，且，则（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求的坐标，再根据向量平行列方程可求的值. 【详解】由题意：． 因为，所以，解得． 故选：B 13．（2024高三·全国·专题练习）已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，为坐标原点，，若点满足，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算和坐标运算，即可求解. 【详解】 由向量的减法得：，则，， 设，则，， 由，得，解得， 所以. 故选：A. 14．（2025高三·全国·专题练习）已知点，，向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用定比分点公式求解即可. 【详解】依题意，由定比分点公式得， 所以，即, 所以， 故选:C 15．（24-25高一上·北京·期末）如图所示，四点在正方形网格的格点处.若，则实数（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算得解. 【详解】建立平面直角坐标系，如图，    则, 所以， 由可得， 即，解得，所以. 故选：C 16．（2024高一下·广东梅州·期末）如图，在扇形AOB中，扇形的半径为，点在弧上移动，．当时，（   ）    A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】建立直角坐标系，求出三点坐标，利用坐标表示向量，然后根据条件求解即可 【详解】    如图，，又扇形的半径为，所以， 即， 所以， 由，得， 所以， 故选：B 17．（2024高一下·江苏苏州·期中）在平行四边形中，，分别在边，上，，，与相交于点，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】法1：设，根据平面向量的线性运算和平面向量基本定理可得，进而可得结果；法2：建系，设，结合向量的坐标运算分析求解；法3：做辅助线，根据几何知识分析可知，进而可得结果. 【详解】法1：因为， 设，则， 因为，，三点共线，则，解得， 即，所以； 法2：坐标法（特殊化平行四边形建系） 不妨设平行四边形为矩形，建立如图所示平面直角坐标系， 设，，则， 所以直线，直线， 联立方程，解得， 可得，，， 设， 则，解得， 所以； 法3：如图，延长，，交于点， 因为为中点，所以， 又，则，可得， 可知，所以； 故选：C. 18．（2024高三·全国·课后作业）若，是一组基底，向量（，），则称为向量在基底，下的坐标．现已知向量在基底，下的坐标为，则在另一组基底，下的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，且，代入运算即可. 【详解】因为，，，， 可知， 又因为向量在基底，下的坐标为， 则， 所以在基底，下的坐标为. 故选：C. 二、多选题 19．（2024高一下·江苏·期中）在平面直角坐标系内，O为坐标原点，已知，，若P是线段的三等分点，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】先设，根据题中条件，得到或，分别求解，即可得出结果. 【详解】因为，，所以， 设，则， 又P是线段的三等分点， 所以或， 即或，解得或， 即点P的坐标是或. 故选：AD. 20．（2024高一下·浙江·期末）直角梯形中，是边长为2的正三角形，是平面的动点，，设，则的值可以为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】BC 【分析】先建立坐标系，再通过向量的相等求出，最后求出即可作出判断. 【详解】 以为原点，为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系， , 可设取, 因为， 所以， ，， 因为，所以， 因此可得， 所以， 可知1和2在此区间内. 故选：BC. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是建立坐标系，通过向量的相等得到参数的表达式，二是通过辅助角公式统一函数名称进一步求出范围. 21．（2024高一下·山东枣庄·阶段练习）已知，，点P在直线AB上，且，求点P的坐标（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由向量的坐标表示分类讨论后计算即可. 【详解】设，因为，，且点P在直线AB上，故由可得以下两种情况： ，此时有，解得； 或，此时有，解得； 故选：AB 三、填空题 22．（2024·全国·模拟预测）已知平面向量，，若，则实数m的值为 ． 【答案】3 【分析】由题意可知与同向共线，利用平面共线向量的坐标表示建立方程，解出m的值，验证即可. 【详解】由，得， 所以与同向共线，得，解得或． 当时，，，符合题意； 当时，，，不符合题意． 故实数m的值为3． 故答案为：3 23．（2024高二上·上海·课后作业）已知三点共线，则，则 ， ． 【答案】 / 【分析】根据共线向量坐标表示公式，结合向量坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 故答案为：； 24．（2024高三下·甘肃张掖·阶段练习）已知向量，且，则实数 . 【答案】 【分析】依题意可得，将两边平方可得，设与的夹角为，根据数量积的定义得到，即可得到与共线且反向，根据平面向量共线的坐标表示求出，再检验即可. 【详解】由，得，两边平方得， 设与的夹角为，则，因为、均不为， 所以，又，所以， 所以与共线且反向，所以，解得或. 当时，，即，则与同向，舍去； 当时，，即，则与反向，符合题意， 所以. 故答案为： 四、解答题 25．（2024高一下·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知向量，， (1)分别求，的坐标； (2)若向量，且与向量平行，求实数k的值． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示求解即得. （2）求出向量的坐标，再利用向量共线的坐标表示求解即得. 【详解】（1）依题意，， . （2）由（1）知，而， 由与向量平行，得，解得：， 所以实数k的值是. 26．（2024高一下·吉林长春·期中）已知是平面内两个不共线的非零向量，，，且三点共线. (1)求实数的值； (2)已知，，，若四点按顺时针顺序构成平行四边形，求的坐标和点的坐标. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）由、可构造方程组求得； （2）根据可求得；设，由可构造方程求得点坐标. 【详解】（1）三点共线，，即， ，解得：. （2）； 四边形为平行四边形，， 设，则，，，即. 27．（2024高一下·湖北十堰·阶段练习）某公园有三个警卫室A､B､C，互相之间均有直道相连，千米，千米，千米，保安甲沿CB从警卫室C出发前往警卫室B，同时保安乙沿BA从警卫室B出发前往警卫室A，甲的速度为2千米/小时，乙的速度为1千米/小时. (1)保安甲从C出发1.5小时后达点D，若，求实数x､y的值； (2)若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内的最大通话距离不超过2千米，试问有多长时间两人不能通话？ 【答案】(1) (2)两人约有小时不能通话 【分析】（1）先根据勾股定理确定这是一个直角三角形，然后可以建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，根据坐标运算可以计算出实数x､y的值；（2）表示出点的坐标之后可以把坐标表示，立出不等式解不等式即可. 【详解】（1）因为，所以， 因此建立如图所示的平面直角坐标系， ， 设保安甲从C出发小时后达点D，所以有， 设，由， 即，当时，， 由 ； （2）设保安乙从B出发小时后达点E，所以点E的坐标为， 于是有， 因为对讲机在公园内的最大通话距离超过2千米，两人不能通话， 所以有，所以 解之：或，又 所以两人约有小时不能通话. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$