18.2.2菱形的性质 课件 2024-2025学年人教版数学八年级下册

第 十 八 章 平 行 四 边 形 18.2.2 菱 形 第1课时 菱形的性质 学习目标 1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系. 2.探索并证明菱形的性质定理. (重点) 3.应用菱形的性质定理解决计算或证明问题. (难点) 导入新知 下面的图形中有你熟悉的吗? W 探究新知 知识点1 菱形的定义 前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了 矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四 边形有一个角是直角时，就成为了矩形. 有一个角是直角 矩形 平行 四边形 探究新知 在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变 边的长度，能否得到一个特殊的平行四边形? 邻边相等 菱形 定义：有一组邻边相等的平行四边形. 探究新知 菱形的定义： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 几何语言： ∵四边形ABCD 是平行四边形， AB=BC, ∴四边形ABCD是菱形. 如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形 的纸片? 可以这样做：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿 图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理吗? A 知识点2 菱形边的性质 做一做 探究新知 ≤ 猜一猜 画出菱形的两条折痕，并 通过折叠手中的图形思考以 下问题： 问题：1. 菱形是轴对称图形吗?如果是，指出它的对 称 轴 。 2. 菱形的四条边在数量上有什么关系? 3. 菱形的两对角线有什么关系? 猜想：1. 菱形的四条边都相等. 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每 一条对角线平分一组对角. ≤ :探究新知 ∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA, ∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD. 证明 ： (1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB =CD,AD=BC (平行四边形的对边相等). 又 ∵AB=AD, OoAD 一 DU 一 UD D。 证一证 已知：如图，在平行四边形ABCD中 ，AB=AD, 对角线AC 与BD相交于点0. 求证：(1)AB=BC=CD =AD; (2)AC⊥BD; A (2)∵AB=AD, ∴△ABD是等腰三角形. 又∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴0B =OD (平行四边形的对角线互相平分). 在等腰三角形ABD中， ∵OB=OD, ∴A0⊥BD,A0 平分∠BAD, 即AC⊥BD,∠DAC=∠BAC. 同理可证∠DCA=∠BCA, ∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD. 探究新知 菱形的性质： 1.菱形的四条边都相等. 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对 角线平分一组对角. 符号语言： ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB=BC=CD=AD; AC⊥BD; AC平分∠BAD和∠BCD; BD 平分∠ABC 和∠ADC. A 我们得到了菱形的性质.如果把矩形和菱形的性质进 行比较，发现它们很相似.你能写出矩形、菱形的定义 及它们的特殊性质并进行比较吗? 矩形和菱形特殊性质比较 四个角是直 角(相等) 四条边 相等 个 对角线 相等 对角线互 相垂直 猜想证明 形成性质 矩形 轴对称性 平 行四边形 菱形 平行四边形的性质 矩形的性质 菱形的性质 对边相等 对边相等 四边相等 对角相等 四个角都是直角 对角相等 对角线互相平分 对角线互 相平分且 相等 两条对角线互相 垂直平分，并且 每一条对角线平 分一组对角 探究新知 比一比，猜一猜，填写下表： 菱形是特殊的平行四边形， 那么能否利用平行四边形面积 公式计算菱形的面积呢? S菱形=BC×AE. 【思考】计算菱形的面积除了上式方法外，利用对角 线能计算菱形的面积吗? 知识点3 菱形的面积 探究新知 3 探究新知 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD 交于点0,试用 对角线表示出菱形ABCD的面积. 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD. ∴S 菱形ABCD=S△ABC+S△ADC =AC·BOt AC.DO = AC(BO+DO) 菱形的面积=底×高= 对角线乘积的一半 D 应用新知 例1 利用菱形的面积公式解答问题 例 如图，菱形花坛ABCD 的边长为20m,∠ABC=60°, 沿 着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD, 求两条小路的长 和花坛的面积(结果分别精确到0.01m和0.1m²). 在Rt△OAB中， BO=√AB²-AO²=√20²-10²=10√3(m), AC=2AO=20m,BD=2BO=20√3≈34.64(m). 巩固练习 1.已知菱形的周长是36cm, 那么它的边长是9 cm 2.菱 形ABCD中，0是两条对角线的交点，已知AB =5cm,AO=4cm, 求两对角线AC,BD 的长. 3.菱形ABCD 的两条对角线BD,AC 长分别 是6cm 和8cm, 求菱形周长和面积. 1.两组对边平行且相等； 2.四条边相等 两组对角分别相等， 邻角互补 1.两条对角线互相垂直平分； 2.每一条对角线平分一组对角 1.周长=边长的四倍； 2.面积=底×高=两条对 角线乘积的一半 课堂小结 菱形的 性质及 有关计 算 边 角 对角线 菱形的性质 有关计算 1.如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm 和8cm, 则这 个菱形的高DE 为 ( B ) A.2.4cm B.4.8cm C .5cm D.9.6cm 2.如图，在菱形ABCD 中，已知∠A=60°,AB=5, 则 △ABD 的周长是( ) A.10 B.12 C.15 D.20 基础巩固题 课 堂检测 3.如图，菱形ABCD 的周长为48cm, 对角线AC,BD 相交于O 点 ，E 是AD 的中点，连接OE, 则线段OE 的 长为_ _. 4. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比 为1:2,周长是8cm. 求 ： (1)两条对角线的长度； (2)菱形的面积. $$