28.2.2应用举例 课件 2024-2025学年 人教版 数学九年级下册

28.2.2应用举例 第二十八章锐角三角函数 素养目标 1.了解俯角、仰角、方位角、坡度、坡角等相关概念；重 点 2.能够把实际问题转化为数学问题，建立数学模型 , 重 难 点 并运用解直角三角形求解； 3.将实际问题转化为解直角三角形问题过程中，培养 学生的转化能力，增强分析问题和解决问题的能力. 知识回顾 解直角三角形的依据有哪些? (1)三边之间的关系：a²+b²=c² ( 勾股定理) (2)两锐角之间的关系：∠A+∠B =90° (3)边角之间的关系： 1.sinA=( 边 )=(“ ) 2.cosA=( ∠A 边 )=( ) 3.tanA=( )=( ) A的邻边 A的对边 边 邻 斜 的 斜边 A的对 锐角 邻边、对 解直角三角形的两种基本类刑 边或斜边 ①已知一角一边，解直角三角形； ②已知两边，解直角二角形 两条直角边，或斜 边和一条直角边 知识回顾 根据已知条件，解直角三角形问题可以大致分为哪几种类型? 在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元 素(至少有一个是边),可求出其余的未知元素(知二求三) 新课导入 能否应用解直角三角形的相关知识解决一些实际生活中的 问题呢? 下面我们开始本节课的学习，解直角三角 形在实际问题中的应用 探究新知 【探究一】2012年6月18日，“神舟”九号载人 航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现 交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体 在离地球表面343km 的圆形轨道上运行.如图， 当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从 中能直接看到的地球表面最远的点在什么位 置?最远点与P点的距离是多少(地球半径约 为6400 km,π 取3.142,结果取整数)? 探究新知 【思考】能直接看到的地球表面最远的点在什么位置? 从组合体中能直接看到的地球表面最远点， 应是视线与地球相切时的切点. 你能将这个问题抽象成数学问题吗? 本题可以抽象为以地球中心为圆心、地球半径为半径的⊙0的有关问题： 其中点F是组合体的位置，FQ 是⊙0的切线，切点Q是从组合体中观测地 球时的最远点 所 以PQ 的长就是地球表面上P,Q 两点间的距离 探究新知 探究新知 怎样可以求出PQ 的长? 解：在图中，FQ 是⊙0的切线， △FOQ是直角三角形. ≈0.9491, ∴a≈18.36°. ∴PQ 的 长 FQ 是⊙0的切线， ∠FQ0 为直角. 最远点 求PQ 的长，要先 求∠POQ的度数 探究新知 【归纳】利用解直角三角形解决实际问题的一般过程： 1.将实际问题抽象为数学问题； 画出平面图形，转化为解直角三角形的问题 2.根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等 去解直角三角形； 3.得到数学问题的答案； 4.得到实际问题的答案. 探究新知 【探究二】热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰 角为30 °,看这栋楼底部的俯角为60°,热气球与楼的水平距离 为120m ,这栋楼有多高(结果取整数)? B C 【提问】什么是俯角、仰角? 仰 角 ：在视线与水平线所成的角 中，视线在水平线上方的是仰角. 俯 角 ：在视线与水平线所成的角 中，视线在水平线下方的是俯角 视线 水平线 仰角 俯角 探究新知 眼 睛 铅垂线 视线 分析：我们知道，在视线与水平线 所成的角中视线在水平线上方的是 仰角，视线在水平线下方的是俯角， 因此，在图中，a=30°,β=60°. 在Rt△ABD中 ，a=30°,AD=120, 所以利用解直角三角形的知识求出 BD; 类似地可以求出CD, 进而求 出BC. 即求出这栋楼的高度. 仰 a β 角B D A 俯角 探究新知 水平线 C 探究新知 解：如图，a=30°,β=60°,AD=120. ∴BD=AD·tan a=120×tan 30° CD=AD·tan β=120×tan 60° =120×√3=120√3(m). ∴BC=BD+CD=40√3+120√3 C =160 √3≈277(m). 答：这栋楼高约为277m. D 水平线 a A β 俯角 仰角 B 【归纳】解决与仰角、俯角有关的实际问题的方法： 根据仰角、俯角的定义画出水平线、视线，找准仰角、俯 角，结合题意，从实际问题情境中抽象出含仰角或俯角的 直角三角形，然后利用解直角三角形的方法进行解答. 归纳总结 如图，某数学兴趣小组想测量一座塔的高度，他们在广场选择点A 处，测 得塔顶C 的仰角为30°,然后沿着AD 的方向前进60m,到达B 点，在B 处 测得塔顶C 的仰角为60°.(A、B 、D 三点在同一条直线上).请你根据他 们的测量数据计算塔CD 的高度. (结果精确到整数， √3=1.732) 练一练 解 ：∵∠ A=30°,∠CBD=60°, ∴∠ACB=30°, ∴BC=AB=60m ∴CD=60sin 60°=30 √3m,解得CD≈52m. 答：塔CD 的高度是52m. 练一练 探究新知 【探究三】如图， 一艘海轮位于灯塔P的北 偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A 处 ， 它沿正南方向航行一段时间后，到达位于 灯塔P 的南偏东34°方向上的B 处 .这时，B 处距离灯塔P 有多远(结果取整数)? 探究新知 什么是方向角? 方向角：指北或指南的方向线与目标线所成的小于90°的角 叫做方向角.如图所示 北 45 ° 45° 0 东北 东 东南 西北 西 西南 南 东 探究新知 解 ：如图，在Rt△APC中 ， PC=PA·cos(90°-65°) =80×cos25° ≈80×0.91 =72.505. 在Rt△BPC中，∠B=34°, 因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向 时，它距离灯塔P大约130n mile. 练一练 如图，一艘轮船航行至0点时，测得某灯塔A 位于它的北偏东40°方向， 且它与灯塔A 相距13海里，继续沿正东方向航行，航行至点B 处时，测得 灯塔A 恰好在它的正北方向，则AB 的距离可表示为(A ) A.13cos40°海 里 B.13sin40°海 里 c.13 海 里 海里 sin 50° →东 ∵∠ABO=90°,∠A=90°-50°=40°,OA=13 海里， ∴AB=OA · sin∠AOB=13sin50° 海里. AB=OA ·cos∠A=13cos40° 海里. 故 选 ：A. 解 析 ：如图，由题意可知，∠AOB=90°-40°=50°, 在Rt△ABO中， 练一练 探究新知 【探究四】如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD,AF=DE=6m, 斜面坡度i=1:1.5是指坡面的铅直高度AF 与水平宽度BF 的比 ， 斜面坡度i=1:3 是指DE与CE的比，根据图中数据，求： (1)坡角α和β的度数； (2)斜坡AB 的长(结果保留小数点后一位). 探究新知 什么是坡角?什么是坡度? 1.坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a . 坡面 2.坡度(或坡比) i=h:l h 如图所示，坡面的铅垂高度(h) 和水 Sa 平长度(D)的比叫做坡面的坡度(或坡比), 水— 面 记作i,即 i=h:l. 坡度等于坡角的正切值，坡度通常写成1:m 的形式，坡度越 大，则坡角越大，山坡就越陡. 平 → 探究新知 【分析】利用坡度等于坡角的正切值即可求出坡角α和β的度数； 在Rt△ABF中，由勾股定理或三角函数定义可得AB的长. 解：(1)在Rt△AFB中，∠AFB=90° a≈33.69° 在Rt△CDE中，∠CED=90° β≈18.43° 探究新知 【分析】利用坡度等于坡角的正切值即可求出坡角α和β的度数； 在Rt△ABF中，由勾股定理或三角函数定义可得AB的长 . (2)∵AF=6m ∴BF=1.5×6=9m 在 Rt△AFB中 ，AB=√AF²+BF²=√6²+9²≈10.8 ∴斜坡AB 的长为10.8m. 练习1如图，建筑物CD 和旗杆AB 的水平距离BD 为9m,在建筑 物的顶端C 测得旗杆顶部A的仰角α为30°,旗杆底部B 的俯角 β为45°,则旗杆AB的高度为(D ) A.3√2m B.3√3m c.(3√2+9)m D.(3√3+9)m 在Rt△AEC 中，∠ACE=30°, 在Rt△BCE中，∠BCE=45°, ∴BE=CE tan 45°=9m, B 解析：如图，由题意得：CE⊥AB,CE=BD=9m, 练习2如图DC//AB,BC 长6米，∠β=45°,∠α=30°, 则AD长为6√2 米(结果保留根号) 解析：过C 作CE⊥AB 于E,DF⊥AB 于F,可得矩形CEFD 和 Rt△CEB与Rt△DFA, ∵BC=6, ∴DF=CE=3√2, ∴ 故答案为：6 √2. 练习3 如 图 ，A、B 两城市相距150km, 且 B 城位于A 城的正东方向，C 为国家级自然保护区的中心.现测得C 在 A 的北偏东60°的方向上，同时 C在 B 的北偏西45°的方向上，自然保护区是以C 为圆心，50km为半径 的圆形区域.为了开发旅游，需修建连接AB 的高速公路，问高速公路AB 是否穿过自然保护区，请说明理由. (参考数据 √2≈1.4, √3≈1.7) 解析：AB 不穿过风景区.理由如下： 如图，过C 作CD⊥AB于点D, 根据题意得：∠ACD=60°,∠BCD=45°, 则在Rt△ACD中 ，AD=CD·tan60°, 在Rt△BCD中，BD=CD·tan45°, ∵AD+DB=AB,∴CD·tan60°+CD·tan45°=AB, (千米) . ∵CD=54.9>50,∴ 高速公路AB不穿过风景区. 个北 练 习 4 如图是成都市某街道的一座人行天桥的示意图，天桥的高是 10米，坡面的倾斜角为45°.为了方便行人推车过天桥，市政部门决定 降低坡度，使新坡面的坡度为1: √3,若新坡角下需留3米的人行道， 问离原坡面点A 处10米的建筑物EF 是否需要拆除?(参考数据： √2≈1.414,√3≈1.732) 解 ：根据题意得：∠CAB=45°,BC=10 米. ∴AB=BC=10 米. ∵i=1: √3, 即 ： , ∴BD=10√3 米， ∴AD=10√3-10≈7.32 (米), ∵7.32+3>10.答：离原坡角10米的建筑物需要拆除. 练习5 在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近 的一座小山高度”的探究作业.如图，次仁在A 处测得山顶C 的仰角为 30°;格桑在B 处测得山顶C 的仰角为45°.已知两人所处位置的水平 距离MN=210 米 ，A 处距地面的垂直高度AM=30 米 ，B处距地面 的垂直高度BN=20 米，点M,F,N 在同一条直线上，求小山CF 的 高度. (结果保留根号) 解 ：根据题意可得：∠AMF=∠DFM=∠ADF=90°, ∠BEF=∠EFN=∠BNF=90°, ∴四边形AMFD和四边形BNFE 为矩形， ∴DF=AM=30 米，BN=EF=20 米，MF=AD,FN=BE, ∴DE=DF-EF=30-20=10 (米), 设CD=x, 则CE=CD+DE=(x+10) 米， ∵∠CAD=30°,∠ADC=90°,∴ ∵∠CBE=45°,∠CEB=90°,∴ ∴MF=AD=√3x,FN=BE=x+10, ∵MN=210 米，∴ √3x+x+10=210, 解得：x=100√3-100, 利用解直角三角形解决实际问题的一般过程： 1.将实际问题抽象为数学问题； 画出平面图形，转化为解直角三角形的问题 2.根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等 去解直角三角形； 3.得到数学问题的答案； 4.得到实际问题的答案. 小 结 谢谢同学们的聆听 $$