2025年贵州省九年级中考数学一轮复习课件：相似三角形(含位似)

相似三角形(含位似) 数据聚焦 考点梳理 1 比 例 线 段 性质 性质1(基本性质) 如果＝，那么①________＝bc(bd≠0) 性质2(合比性质) 如果＝，那么＝②_____(bd≠0) 性质3(等比性质) 如果＝ ＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)，则＝③____ ad 　 　 黄金分割：如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝，那么就说线段AB被点C黄金分割，点C是线段AB的黄金分割点，AC与AB的比值叫作黄金比，即黄金比＝≈0.618 比 例 线 段 【满分技法】一条线段上有两个黄金分割点 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段④____________ 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例 比 例 线 段 平行线分线 段成比例 成比例 性质 相似三角 形的性质 与判定 1.相似三角形的对应角⑤______，对应边成⑥________ 2.相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线、中位线)成比例，且等于⑦____________ 3.相似三角形的周长比等于⑧____________，面积比等于⑨__________________ 相等 比例 相似比 相似比 相似比的平方 (1)两角对应⑩__________，两个三角形相似 (2)两边对应成比例，且⑪__________相等，两个三角形相似 (3)三边对应⑫____________，两个三角形相似 相似三角 形的性质 与判定 判定 判定思路 有平行截线——用平行线的性质找等角 有一对等角，找 另一对等角 该角的两邻边对应成比例 有两边对应成比例，找 夹角相等 第三边也对应成比例 相等 夹角 成比例 【满分技法】(1)若看到求线段比值或证明比例中项以及线段乘积的形式，常利用三角形的相似解答；(2)在研究对应顶点不确定的三角形相似问题时，需要进行分类讨论，通常没有使用“∽“连接的，都需要进行分类讨论，避免漏解. 相似三角 形的性质 与判定 相似多边 形的性质 1.相似多边形的对应角⑬__________，对应边⑭_______ 2.相似多边形的周长比等于⑮____________，面积比等于⑯__________________ 相等 成比例　 相似比　 相似比的平方 位 似 图 形 定义 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫位似图形，这个点叫位似中心，对应边的比叫相似比 性质 (1)位似图形是特殊的相似图形，具有相似图形的所有性质 (2)对应点的连线经过同一点 (3)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于⑰____________ (4)位似图形的对应边平行(或在同一条直线上) (5)在平面直角坐标系中，如果位似变化以原点为中心，相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(－kx，－ky) 相似比 位 似 图 形 作图 步骤 (1)确定位似中心 (2)确定原图形的关键点 (3)确定相似比 (4)作出原图形中各关键点的对应点 (5)按原图形的连接顺序连接所作的各对应点，得到位似图形 1.测量不能直接到达的两点间的距离，常构造相似三角形求解；测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“同一时刻，物高与影长成比例”求解 相似三角形的实际应用 2.步骤 (1)将实际问题转化为相似三角形问题 (2)找出一对相似三角形 (3)根据相似三角形的性质，表示出相应的量，再列比例式求解 数据剖析 分层突破 2 重难考点突破 相似三角形的性质与判定 例1 已知两边对应成比例 如图，已知点B，C，D在同一条直线上，AC＝2DE， BD＝3CD，请再添加一个条件，证明△ABC∽△ECD， 并证明AB∥CE. 例1 解：添加的条件是∠ACB＝∠EDC(答案不唯一). 证明：∵AC＝2DE，∴＝2.∵BD＝3CD， ∴＝2.∴＝.∵∠ACB＝∠EDC， ∴△ABC∽△ECD.∴∠ABC＝∠ECD.∴AB∥CE. 例1 例2 已知一组角对应相等 如图，AE平分∠BAC，D为AE上一点，请再添加一个条件，证明： △ABE∽△ACD. 2 3 1 例2 解：添加的条件是∠B＝∠C(答案不唯一). 证明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAD.∵∠B＝∠C，∴△ABE∽△ACD. 方法指导 1.相似三角形的判定思路：(1)有两组边对应成比例，找对应夹角相等或第三边也对应成比例；(2)有一组角相等，找另一组角相等或夹该组等角的两边分别对应成比例. 2.求线段比例或数量关系的思路：(1)若比例关系或要求的线段在相似的三角形中，利用相似比求解；(2)如果不能直接通过相似求解，则可找中间比代换或作辅助线构造相似三角形. 2 3 1 例2 对应练习 1.如图，已知∠ACB＝∠D＝90°，下列条件中不能判定△ABC和△BCD相似的是(　　) A.AB∥CD B.BC平分∠ABD C.∠ABC＋∠DBC＝90° D.AB∶BC＝BD∶CD 2 3 1 例2 D 2.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE＋EF的值为(　　) A. B. C. D. 2 3 1 例2 C 3.如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC. (1)求证：△ADE∽△ABC； 2 3 1 例2 证明：∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE＝∠AGC＝90°. ∵∠EAF＝∠GAC，∴∠AED＝∠ACB.∵∠EAD＝∠CAB， ∴△ADE∽△ABC. (2)若AD＝3，AB＝5，求的值. 2 3 1 例2 解：由(1)，可知△ADE∽△ABC，∴＝＝.∵∠AFE＝∠AGC＝90°，∠EAF＝∠GAC，∴△EAF∽△CAG.∴＝.∴＝. 数据链接 真题试做 3 相似三角形的应用 命题点2 命题点1 相似三角形的有关证明与计算 命题点3 图形的位似 命题点1 相似三角形的有关证明与计算(8年6考) 4 3 2 1 1.(2022贵阳6，3分)如图，在△ABC中，D是AB边上的点，∠B＝∠ACD，AC∶AB＝1∶2，则△ADC与△ACB的周长比是(　　) ∶ B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4 B 拓展考法 2. 学习投影后，小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度.如图，身高1.7 m的小明从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走8 m到达点D处，测得影子DE长是2 m，则路灯灯泡A离地面的高度AB为_________m. 命题点2 相似三角形的应用 模型观念 4 3 2 1 8.5　 3.(2024遵义红花岗区三模)如图，原点O是△ABC和△A'B'C'的位似中心，点A(1，0)与点A'(－2，0)是对应点，△ABC的面积是4，则△A'B'C'的面积是(　　) A.4　　　 B.8　　　 C.12　　　 D.16 命题点3 图形的位似 4 3 2 1 拓展考法 D 4.(2024铜仁万山区三模)在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，在如图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC，△DEF成位似关系，则位似中心的坐标为(　　) A.(－1，0) B.(0，0) C.(0，1) D.(1，0) 4 3 2 1 A 课后强化 基 础 过 关 练 1.(2024贵阳云岩区一模)如图，D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，则AE的长是(　　) A.3 B. C.2 D. A 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 11 12 2.(2024重庆A卷)若两个相似三角形的相似比是1∶3，则这两个相似三角形的面积比是(　　) A.1∶3 B.1∶4 C.1∶6 D.1∶9 D 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 11 12 3.(2024河南)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F.若AB＝4，则EF的长为(　　) A. B.1 C. D.2 B 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 11 12 4.(2024浙江)如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似中心为点O.若点A(－3，1)的对应点为A'(－6，2)，则点B(－2，4)的对应点B'的坐标为(　　) A.(－4，8) B.(8，－4) C.(－8，4) D.(4，－8) A 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 11 12 5.(2024黔东南州剑河县校级模拟)如图1，是生活中常见的人字梯，也称折梯，用于在平面上方空间进行工作的一类登高工具，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把它形象地称为“人字梯”.如图2，是其工作示意图，AB＝AC，拉杆EF∥BC，AE＝AB，EF＝0.35米，则两梯杆跨度B，C之间距离为(　　) A.2米 B.2.1米 C.2.5米 D.米 B 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 11 12 6.(2024贵阳南明区一模)在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'位似，位似中心是原点O，点B与点B'是对应顶点，B，B'的坐标分别为(1，2)，(2，4)，则△ABC与△A'B'C'的相似比为(　　) A.2∶1 B.1∶2 C.3∶2 D.2∶3 B 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 11 12 7.(2024云南)如图，AB与CD交于点O，且AC∥BD.若＝，则＝____. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 11 12 8.(2024滨州)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上.添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是_______________________. (写出一种情况即可) ∠ADE＝∠C(答案不唯一) 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 11 12 9.(2024贵阳息烽县一模)如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，如果AB＝EF＝3，BC＝2，则DE的长是____. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 11 12 10.(2024重庆A卷)如图，在△ABC中，延长AC至点D，使CD＝CA，过点D作DE∥CB，且DE＝DC，连接AE交BC于点F.若∠CAB＝∠CFA，CF＝1，则BF＝_______. 3 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 11 12 11.(2024广州)如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2.求证：△ABE∽△ECF. 证明：∵BE＝3，EC＝6，CF＝2，∴BC＝3＋6＝9. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝9，∠B＝∠C＝90°.∵＝＝，＝， ∴＝.∴△ABE∽△ECF. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 11 12 12.(2024上海)如图所示，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AE⊥BD. (1)求证：AD2＝DE·DC； 证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝90°，∠ADE＝90°，AB＝DC. ∴∠ABD＋∠ADB＝90°. ∵AE⊥BD， ∴∠DAE＋∠ADB＝90°. ∴∠ABD＝∠DAE. ∵∠BAD＝∠ADE＝90°，∴△ADE∽△BAD. ∴＝.∴AD2＝DE·BA. ∵AB＝DC，∴AD2＝DE·DC. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 11 12 (2)F为线段AE延长线上一点，且满足EF＝CF＝BD，求证：CE＝AD. 证明：如图所示，连接AC，交BD于点O， ∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADE＝90°. ∴∠DAE＋∠AED＝90°. ∵AE⊥BD，∴∠DAE＋∠ADB＝90°. ∴∠ADB＝∠AED. ∵∠FEC＝∠AED，∴∠ADO＝∠FEC. ∵∠BAD＝90°，∴OA＝OD＝BD. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 11 12 ∵EF＝CF＝BD，∴OA＝OD＝EF＝CF. ∴∠ADO＝∠OAD，∠FEC＝∠FCE. ∵∠ADO＝∠FEC， ∴∠ADO＝∠OAD＝∠FEC＝∠FCE. 在△ODA和△FEC中， ∴△ODA≌△FEC(AAS).∴CE＝AD. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 11 12 挑 战 高 分 练 13.(2024贵阳乌当区一模)如图，点A(0，2)，在x轴上取一点B，连接AB，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，AB于点M，N，再以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD并延长交x轴于点P.若△OPA与△OAB相似，则点P 的坐标为(　　) A.(1，0) B.(，0) C. D.(2，0) C 16 15 14 13 14.如图，在△ABC中，D，E为边AB的三等分点，点F，G在边BC上，AC∥DG∥EF，H为AF与DG的交点.若AC＝12，则DH的长为(　　) A.1 B. C.2 D.3 C 16 15 14 13 15.(2024眉山)如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝120°，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接AE分别交BD，CD于点F，G，则FG的长为____. 16 15 14 13 16.(2024黔南州一模)如图，在△ABC纸板中，AC＝4，BC＝2，AB＝5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是_______________. 3≤AP＜4 16 15 14 13 17.(2024巴中)如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案.若OA＝1，则OG＝(　　)  A. B. C. D. 中 考 创 新 练 C $$