精品解析：广东省梅州市兴宁市田家炳学校2023-2024学年上学期八年级数学第二次月考试题

八年级数学核心素养问答2023.11 考试时间：90分钟 满分：120分 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在实数0，，3.14中，无理数是（　　） A. 3.14 B. 0 C. D. 都不是 2. 如图，点A(﹣2，1)到y轴的距离为（ ） A. ﹣2 B. 1 C. 2 D. 3. 已知，那么下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 已知是的三边长，它们满足，则这个三角形的形状是（　　） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 不能确定 5. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是一次函数y图象上的两个点，则，的大小关系是(　　) A. B. C. D. 不能确定 7. 下列等式成立的是（　　） A. B. C. D. 8. 已知为第四象限内的点，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 在下列叙述中，正确的个数有（ ） ①正比例函数的图象经过二、四象限； ②一次函数中，y随x的增大而增大； ③函数中，当时，函数值为； ④一次函数图象与x轴交点为． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 已知x＝，则x6﹣2x5﹣x4＋x3﹣2x2＋2x﹣的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 16的算术平方根是___________． 12. 一次函数的图象不经过第 _____象限． 13. 计算：__． 14. 已知是关于x的一次函数，则_______． 15. 小英用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图所示，在中，，，，点D在斜边上，连接，将沿折叠，点A的对应点落在边上，则折叠后纸片重叠阴影部分的面积为__________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 计算： （1） （2） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 计算： 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点， （1）求直线及直线的函数表达式； （2）求的面积． 20. 某市电力公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法计算电费，每月用电不超过100度，按每度0.48元计算，每月用电超过100度，其中的100度仍按原标准收费，超过部分按每度0.50元计费． （1）设月用电x度时，应交电费y元，写出y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （2）小王家一月份用电130度，应交电费多少元？ （3）小王家二月份交电费70元，求小王家二月份用了多少度电？ 21. 如图，等腰直角中，，点P在上，将绕顶点B沿顺时针方向旋转后得到． （1）求的度数； （2）当时，求的大小； （3）当点P在线段上运动时（P不与A重合），请写出一个反映之间关系的等式，并加以证明． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 如图，平面直角坐标系中，ABCD为长方形，其中点A，C的坐标分别为，，且轴交y轴于M点，轴交x轴于N点． （1）求B，D两点的坐标和长方形ABCD的面积； （2）一动点P从A点出发，以个单位/秒的速度沿AB向B点运动，是否存在某一时刻t，使的面积等于长方形ABCD面积的？若存在，求出t的值，并求此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． （1）【思想应用】已知m，n均为正实数，且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设，． ①用含m的代数式表示 ，用含n的代数式表示 ； ②据此写出的最小值 ． （2）【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是 ． （3）【拓展应用】已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，写出的最小值 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学核心素养问答2023.11 考试时间：90分钟 满分：120分 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在实数0，，3.14中，无理数是（　　） A. 3.14 B. 0 C. D. 都不是 【答案】C 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称． 【详解】解：0， 3.14是有理数， 是无理数， 故选C． 【点睛】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）等． 2. 如图，点A(﹣2，1)到y轴的距离为（ ） A. ﹣2 B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为点A的坐标为(﹣2，1)， ∴点A到y轴的距离为2． 故选C． 【点睛】本题考查点到坐标轴的距离．掌握点到x轴的距离为其纵坐标的绝对值，到y轴的距离为其横坐标的绝对值是解题关键． 3. 已知，那么下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据小数点的运动规律，被开方数的小数点每向左或右移动两位，算术平方根的小数点就相应的向左或右移动一位． 【详解】解：被开方数的小数点每向左或右移动两位，算术平方根的小数点就相应的向左或右移动一位， ∴A、B错误； ，D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根以及小数点的移动规律，理解被开方数的小数点每向左或右移动两位，算术平方根的小数点就相应的向左或右移动一位是关键． 4. 已知是的三边长，它们满足，则这个三角形的形状是（　　） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方数，二次根式，绝对值的非负性可求出的值，再根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形， 故选：． 【点睛】本题主要考查非负性的理解，勾股定理逆定理的运用，掌握以上知识是解题的关键． 5. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用关于y轴对称点的性质，横坐标互为相反数，纵坐标相等即可得出答案． 【详解】解：点Q（-3，7）关于y轴对称的点的坐标是（3，7）． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号是解题关键． 6. 已知，是一次函数y图象上的两个点，则，的大小关系是(　　) A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，可得随的增大而减小，即可求解． 【详解】解：， 随的增大而减小， 又，且，是一次函数图象上的两个点， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了比较一次函数值的大小，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 7. 下列等式成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义求解． 【详解】解：， ， 故选A． 【点睛】本题考查求一个数的算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．若一个非负数x的平方等于a，即，则这个数x叫做a的算术平方根． 8. 已知为第四象限内的点，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据为第四象限内的点，可得 ，从而得到 ，进而得到一次函数的图象经过第一、二、三象限，即可求解． 【详解】解：∵为第四象限内的点， ∴ ， ∴ ， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限． 故选：A 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，一次函数的图象，熟练掌握一次函数，当时，一次函数图象经过第一、二、三象限；当时，一次函数图象经过第一、三、四象限；当时，一次函数图象经过第一、二、四象限；当时，一次函数图象经过第二、三、四象限是解题的关键． 9. 在下列叙述中，正确的个数有（ ） ①正比例函数的图象经过二、四象限； ②一次函数中，y随x的增大而增大； ③函数中，当时，函数值为； ④一次函数图象与x轴交点为． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】①根据中，可知函数图象经过第一、三象限；②根据中，可知y随x的增大而增大；③当时， ；④中，当时，，可知一次函数与x轴交点为，正确的叙述有3个． 【详解】解：①∵正比例函数中，， ∴有该函数图象经过第一、三象限， 故错误； ②∵一次函数中，， ∴y随x的增大而增大， 故正确； ③∵时， ∴中，， 故正确； ④∵一次函数中，时， ， ∴一次函数图象与x轴交点为， 故正确． ∴综上所述：正确的叙述是3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，熟练掌握由一次函数的图象特征判定函数性质，由解析式的系数特征判定函数图象特征，点和图象位置关系的判定，是解题的关键． 10. 已知x＝，则x6﹣2x5﹣x4＋x3﹣2x2＋2x﹣的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对已知进行变形，再代入所求式子，反复代入即可． 【详解】， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，对所求式子进行变形，反复代入x的值即可解决． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 16的算术平方根是___________． 【答案】4 【解析】 【详解】解：∵ ∴16的平方根为4和-4， ∴16的算术平方根为4， 故答案为：4 12. 一次函数的图象不经过第 _____象限． 【答案】二 【解析】 【分析】根据一次函数的解析式，可得，，再由一次函数图象性质，可得一次函数的图象经过第一、三、四象限． 【详解】解：∵一次函数， ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴一次函数的图象不经过第二象限． 故答案为：二． 【点睛】本题考查了一次函数图象性质，准确掌握一次函数的图象性质是解题的关键． 13. 计算：__． 【答案】 【解析】 【分析】根据去绝对值符号法则及二次根式的性质，即可求得． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，熟练掌握和运用二次根式加减运算的方法是解决本题的关键． 14. 已知是关于x的一次函数，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的定义，求出k的值即可． 【详解】解：∵是关于的一次函数， ∴， 解得：或（舍去）； 所以． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的定义，掌握一次函数的定义，解题的关键是列出方程正确求出k的值． 15. 小英用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图所示，在中，，，，点D在斜边上，连接，将沿折叠，点A的对应点落在边上，则折叠后纸片重叠阴影部分的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作于点E，由折叠的性质可得，再根据相似三角形的性质可求出，再由三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：如图，过点D作于点E， 由折叠可知，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查直角三角形折叠问题，相似三角形判定与性质，等腰直角三角形，掌握翻折的性质以及相似三角形的性质是正确解答的前提． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1）1 （2）6 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算二次根式的乘法，再计算减法即可得解； （2）先计算二次根式的除法、零指数幂，再计算加法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】直接利用平方差公式以及二次根式的乘法将原式变形，进而合并同类项，进而把已知代入求出答案． 【详解】解：原式 ， 把代入，得， 原式 ． 【点睛】此题主要考查了平方差公式，多项式乘单项式以及二次根式的化简求值，正确化简原式是解题关键． 18. 计算： 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据完全平方公式，平方差公式，零指数幂，以及化简绝对值，进行计算即可求解． 【详解】解： ． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点， （1）求直线及直线的函数表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）； （2）6 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，再由三角形面积公式计算即可得解． 【小问1详解】 解：解：设直线的解析式为， ∵点， ∴， 解得 ∴直线的解析式为； 设直线的解析式为， ∵点，点在直线上， ∴， 解得， ∴直线的解析式为 【小问2详解】 解：∵直线的解析式为， ∴当时，， 解得：， ∴， ∴ ∴ 即的面积为6． 20. 某市电力公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法计算电费，每月用电不超过100度，按每度0.48元计算，每月用电超过100度，其中的100度仍按原标准收费，超过部分按每度0.50元计费． （1）设月用电x度时，应交电费y元，写出y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （2）小王家一月份用电130度，应交电费多少元？ （3）小王家二月份交电费70元，求小王家二月份用了多少度电？ 【答案】（1）；（2）63元；（3）144度 【解析】 【分析】（1）根据收费标准，列出分段函数即可解决问题； （2）x=130，代入y=0.50x-2即可； （3）因为70>63，所以把y=70代入y=0.50x-2，解方程即可． 【详解】（1）由题意得：； （2）0.50×130-2=63（元）， 答：小王家一月份用电130度，应交电费63元． （3）∵70>63， ∴0.50x-2=70， 解得：x=144． 答：小王家二月份交电费70元，求小王家二月份用了144度电． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是学会用用分段函数表示函数关系式，灵活运用所学知识解决问题． 21. 如图，等腰直角中，，点P在上，将绕顶点B沿顺时针方向旋转后得到． （1）求的度数； （2）当时，求的大小； （3）当点P在线段上运动时（P不与A重合），请写出一个反映之间关系的等式，并加以证明． 【答案】（1） （2）2 （3）存在， 证明：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质即可求出答案； （2）当时，求出，由得到，，得到，由勾股定理即可得到答案； （3）由是等腰直角三角形得到，由勾股定理得到，即可证明结论． 【小问1详解】 解：∵将绕顶点B沿顺时针方向旋转后得到． ∴， ∴，， ∴，， ∴是等腰直角三角形，是直角三角形； 【小问2详解】 解：由（1）知是直角三角形， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 略 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 如图，平面直角坐标系中，ABCD为长方形，其中点A，C的坐标分别为，，且轴交y轴于M点，轴交x轴于N点． （1）求B，D两点的坐标和长方形ABCD的面积； （2）一动点P从A点出发，以个单位/秒的速度沿AB向B点运动，是否存在某一时刻t，使的面积等于长方形ABCD面积的？若存在，求出t的值，并求此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点B的坐标为，点D的坐标为，长方形ABCD的面积为30；（2）存在，t=10，P点坐标为 【解析】 【分析】（1）根据长方形的对边平行且相等可得B和D的坐标，根据长方形的面积公式即可求其面积； （2）由题意可得AP＝t，故的面积可用含t的代数式表示，为t，根据的面积等于长方形ABCD面积的即可求解． 【详解】解：（1）∵点A，C的坐标分别为，，而四边形ABCD为长方形，ABy轴，ADx轴， ∴点B的坐标为，点D的坐标为， ∴S长方形ABCD＝(1＋4)×(2＋4)＝30； （2）存在． ∵AM＝4，AP＝t， ∴S△AMP＝×4×t＝t. ∵S△AMP＝S长方形ABCD， ∴t＝30×＝10， ∴AP＝×10＝5， ∵AN＝2， ∴P点坐标为(－4，－3)． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中图形面积的求法，从平面直角坐标系中读出相应点的坐标，得到对应线段的长度是解题的关键． 23. 数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． （1）【思想应用】已知m，n均为正实数，且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设，． ①用含m的代数式表示 ，用含n的代数式表示 ； ②据此写出的最小值 ． （2）【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是 ． （3）【拓展应用】已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，写出的最小值 ． 【答案】（1）①，；② （2）20 （3） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理得应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）①由勾股定理计算即可得解；②连接，由①得：，而（当且仅当、、共线时取等号），作交的延长线于，则四边形为长方形，得出，，再由勾股定理计算即可得解； （2）设，，，，则，由勾股定理可得，，从而得出，而（当且仅当、、共线时取等号），作交的延长线于，则，则四边形为长方形，得出，，再由勾股定理计算即可得解； （3）画出边长为1的正方形，在边上截取出长为，．的线段，则，，，，从而得出，利用两点之间线段最短可知：（当且仅当、、、共线时取等号），再由勾股定理计算即可得解． 【小问1详解】 解：①在中，， 在中，， 故答案为：，； ②连接， 由①得：， 而（当且仅当、、共线时取等号）， 作交的延长线于，如图1， 则， ∴四边形为长方形， ，， 在中，， 的最小值为，即的最小值为； 【小问2详解】 解：如图， 设，，，，则， 在中，， 在中，； ， 而（当且仅当、、共线时取等号）， 作交的延长线于，则， ∴四边形为长方形， ，， 在中，， 的最小值为20，即的最小值为20． 【小问3详解】 解：画出边长为1的正方形，在边上截取出长为，．的线段，作图如下： 则，，，， ， 利用两点之间线段最短可知：（当且仅当、、、共线时取等号）， ， 的最小值为， 的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $