2025年贵州省九年级中考数学一轮复习课件：图形的对称(含折叠)、平移与旋转

图形的对称(含折叠)、平移与旋转 数据聚焦 考点梳理 1 轴对称图形与中心对称图形   轴对称图形 中心对称图形 图形 判断 方法 (1)找对称轴——直线 (2)图形沿①____________折叠，对称轴两边的部分完全重合 (1)找对称中心——点 (2)图形绕②______________旋转③_________，旋转前后的图形完全重合 常见的轴对称图形：等腰三角形、菱形、矩形、正方形、正五边形、正六边形、圆等 常见的中心对称图形：平行四边形、菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等 常见的既是轴对称又是中心对称的图形：菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等 对称轴 旋转中心 180°　 轴对称与中心对称   轴对称 中心对称 图形 性质 (1)成轴对称的两个图形④__________ (2)对应点的连线被对称轴⑤______________ (3)各对应点的连线互相平行或在同一条直线上 (1)成中心对称的两个图形⑥__________ (2)对应点的连线交于对称中心，并且被对称中心⑦__________ 全等 垂直平分　 全等 平分 (1)位于折痕两侧的图形关于折痕成⑧____________ (2)折叠前后的两部分图形全等，对应边、角、线段、周长、面积都分别相等 (3)折叠前后对应点的连线被折痕⑨______________ 图形的折叠 实质：轴对称变换 性质 轴对称 垂直平分 定义：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫作平移.平移不改变图形的⑩_______和⑪__________ 要素：平移的⑫__________和⑬__________ 图形的平移 性质 (1)平移前后，对应线段⑭__________，对应角相等 (2)各对应点所连接的线段⑮__________(或在同一条直线上)且相等 (3)平移前后的图形全等 形状 大小 方向 距离　 相等　 平行　 定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转.点O叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角.三大要素：旋转中心、旋转方向和⑯______________ 图形的旋转 性质 (1)对应点到旋转中心的距离相等 (2)每对对应点与旋转中心所连线段的夹角都 等于⑰___________ (3)旋转前后的图形⑱__________ 旋转角度 旋转角 全等 图形变换作图步骤 【易错提示】图形的对称、平移、旋转，不改变图形的大小和形状，只改变图形的位置. 【满分技法】确定旋转中心的方法：找出两组对应点，分别连接每组对应点，并作连线的垂直平分线，交点就是旋转中心. 1. 找出图形的关键点 2. 按要求找出各关键点经过对称、平移、旋转后的对应点 3. 按原图顺次连接得到的各对应点，从而得到所求作的图形 数据剖析 分层突破 2 重难考点突破 2 3 1 例1 一、与折叠有关的计算 例1 在矩形ABCD中，AB＝CD＝10，BC＝AD＝8. (1)P为边BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置(点B落在点E处). ①如图1，当点E落在CD边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的图形(不写作法，保留作图痕迹)，直接写出此时DE＝_______； 2 3 1 例1 解：如图1，△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置，点E落在CD边上. 　6　 ②如图2，若P为BC边的中点，连接CE，则CE与AP有何位置关系？请说明理由； 2 3 1 例1 解：CE∥AP.理由：∵P为BC边的中点，∴PC＝PB.由翻折，得PE＝PB，∠APB＝∠APE，∴PC＝PE.∴∠PCE＝∠PEC.∵∠PCE＋∠PEC＋∠CPE＝180°，∠APB＋∠APE＋∠CPE＝180°，∴∠PCE＋∠PEC＝∠APB＋∠APE.∴∠PEC＝∠APE.∴CE∥AP. (2)Q为射线DC上的一个动点，将△ADQ沿AQ翻折，点D恰好落在直线BQ上的点D'处，则DQ＝___________(直接写出结果). 2 3 1 例1 思路点拨：分两种情况.①当点Q在线段DC上时，利用矩形的性质和翻折的性质可得BQ＝AB＝10，运用勾股定理求得CQ的长度，即可得出答案；②当点Q在DC的延长线上时，与①同理可求出答案. 4或16 方法指导 研究折叠问题的基本思路： 1.关注“全等”——明确对应线段、对应角之间的相等关系. 2.关注“折痕”——基于“垂直平分线”与“角平分线”挖掘隐含信息. 3.关注“原图形”——将所得结论与原图形的性质相结合，充分展开联想. 2 3 1 例1 对应练习 1.如图，已知在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8.将矩形沿EF对折，使点A和点C重合，则折痕EF的长是(　　) A. B. C.5 D.10 2 3 1 例1 B 2.如图，将边长为8 cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段HC的长是(　　) A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm 2 3 1 例1 A 3.如图，在菱形ABCD中，已知AE＝AF＝CH＝CG，将△AEF，△CHG分别沿EF，HG折叠，若重叠部分面积为1，△CHG的面积为，则菱形ABCD的面积为________. 2 3 1 例1 　25 二、与旋转有关的计算 例2 已知等边三角形ABC的边长为4，D是边BC上一动点，连接AD. (1)①如图1，将△ACD绕点A逆时针旋转得到△ABE，则旋转角度为__________； ②若∠BAD＝45°，则∠BAE＝________°； ③若BD＝3，则BE的长为_______； ④若P为边AB的中点，连接PE，则PE的最小值为_____； 5 6 4 例2 60° 15 1 　 (2)如图2，若D是BC的中点，将△ABD绕点D逆时针旋转30°得到△A'B'D，A'B'与AD交于点E，求AE的长； 5 6 4 例2 解：∵△ABC是等边三角形，边长为4，∴∠B＝60°.∵D是BC的中点，∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝2，AD＝2.∵将△ABD绕点D逆时针旋转30°得到△A'B'D，∴DB'＝DB＝2，∠B'＝∠B＝60°，∠BDB'＝30°.∴∠EDB'＝90°－30°＝60°.∴△EDB'是等边三角形.∴ED＝DB'＝2.∴AE＝AD－ED＝2－2. (3)如图3，以点C为原点建立平面直角坐标系，边CB在x轴上，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°得到△A'OB'，求点A'的坐标. 5 6 4 例2 解：如图3，过点A作AE⊥x轴于点E，过点A'作A'D⊥y轴于点D，由旋转的性质知，△A'OD≌△AOE.∴A'D＝AE，OD＝OE.∵△ABC是等边三角形，边长为4，易得AE＝2，OE＝2.∴A'D＝2，OD＝2. ∴点A'的坐标为(－2，2). 对应练习 4.如图，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠C＝∠AED＝90°，点E在AB上，如果△ABC绕点A逆时针旋转后能与△ADE重合，则旋转角度是(　　) A.90° B.60° C.45° D.30° 5 6 4 例2 C 5.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，将△ABC绕点C顺时针旋转60°至△A'B'C，点A的对应点A'恰好落在AB上，则BB'的长为(　　) A. B. C.2 D. 5 6 4 例2 B 6.如图，D为等边三角形ABC内一点，AD＝10，BD＝6，CD＝8，将△BCD绕点C顺时针旋转60°得到△ACE，则图中阴影部分的面积为__________. 5 6 4 例2 24＋16 数据链接 真题试做 3 与旋转有关的计算 命题点2 命题点1 对称图形的识别 命题点1 对称图形的识别(8年2考) 3 2 1 1.(2024贵州2，3分)“黔山秀水“写成下列字体，可以看作是轴对称图形的是(　　) B 2.(2020贵阳25，12分)如图，四边形ABCD是正方形，O为对角线AC的中点. (1)问题解决：如图1，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是___________，位置关系是__________； 命题点2 与旋转有关的计算(8年2考) 3 2 1 PQ＝BO　 PQ⊥BO (2)问题探究：如图2，△AO'E是将图1中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB.判断△PQB的形状，并证明你的结论； 3 2 1 解：△PQB是等腰直角三角形. 证明：如答图1，连接O'P并延长交BC于点F，∵四边 形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°.∵将 △AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到△AO'E，∴△AO'E是等腰直角三角形，O'E∥BC，O'E＝O'A. ∴∠O'EP＝∠FCP，∠PO'E＝∠PFC.又∵P是CE的中点，∴CP＝EP. ∴△O'PE≌△FPC(AAS).∴O'E＝FC＝O'A， O'P＝FP.∴AB－O'A＝CB－FC.∴BO'＝BF. ∴△O'BF为等腰直角三角形.∴BP⊥O'F， O'P＝BP.∴△BPO'也为等腰直角三角形. 又∵Q为O'B的中点，∴PQ⊥O'B，且PQ＝BQ.∴△PQB是等腰直角三角形. 3 2 1 (3)拓展延伸：如图3，△AO'E是将图1中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到的三角形，连接BO'，P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB.若正方形ABCD的边长为1，求△PQB的面积. 3 2 1 解：如答图2，延长O'E交BC边于点G，连接PG，O'P. ∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠ECG＝ 45°.由旋转，易得四边形O'ABG是矩形，∴O'G＝AB ＝BC，∠EGC＝90°.∴△EGC为等腰直角三角形.∵P是 CE的中点，∴PC＝PG＝PE，∠CPG＝90°，∠EGP＝ 45°.∴∠O'GP＝∠BCP＝45°. ∴△O'GP≌△BCP(SAS).∴∠O'PG＝∠BPC，O'P＝BP.∴∠O'PG－∠GPB＝∠BPC－∠GPB＝∠CPG＝90°.∴∠O'PB＝90°.∴△O'PB为等腰直角三角形.∵Q是O'B的中点，∴PQ＝O'B＝BQ，PQ⊥O'B.∵AE＝AB＝1，∴易得O'A＝.∴O'B＝＝＝.∴PQ＝BQ＝.∴S△PQB＝BQ·PQ＝××＝. 3 2 1 3.(2022六盘水)如图，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，若∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝1，则AE＝_______. 补充考法 3 2 1 2　 $$