第一章 集合与常用逻辑用语 单元测试卷-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第一章　集合与常用逻辑用语　单元测试卷 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知A={x|-2<x≤0},B={x|-1<x<2},则A∪B= (　　) A.{x|-2<x<2} B.{x|-1≤x<2} C.{x|-1≤x≤0} D.{x|-1<x<0} 2.将命题“x2+y2≥2xy”改写成全称量词命题为 (　　) A.∀x,y∈R,x2+y2≥2xy B.∃x,y∈R,x2+y2≥2xy C.∀x>0,y>0,x2+y2≥2xy D.∃x<0,y<0,x2+y2≤2xy 3.命题“∀x∈R,x2-x≥0”的否定是 (　　) A.∀x∈R,x2-x<0 B.∃x∈R,x2-x≥0 C.∀x∈R,x2-x≤0 D.∃x∈R,x2-x<0 4.已知p:正整数x能被6整除,q:x∈{x|x=3k,k∈N*},则p是q的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.在数学漫长的发展过程中,数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象.数学黑洞:无论怎样设值,在规定的处理法则下,最终都将得到固定的一个值,再也跳不出去,就像宇宙中的黑洞一样.目前已经发现的数学黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等.定义:若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身,则称这个数是“自恋数”.已知所有一位正整数的“自恋数”组成集合A,集合B={x|-3<x<4,x∈Z},则A∩B的子集个数为 (　　) A.3 B.4 C.7 D.8 6.设全集为U,A,B是U的子集,有以下四个关系式: 甲:A∩B=A;乙:∁UA⊆∁UB;丙:(∁UA)∪(∁UB)=∁UA;丁:∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB). 若甲、乙、丙、丁中有且只有一个不成立,则不成立的是 (　　) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 7.若全集U=R,集合A={0,1,2,3,4,5,6},B={x|x<3},则图1中阴影部分表示的集合为 (　　) 图1 A.{3,4,5,6} B.{0,1,2} C.{0,1,2,3} D.{4,5,6} 8.某小学对小学生的课外活动进行了调查,调查结果显示:参加舞蹈课外活动的有63人,参加唱歌课外活动的有89人,参加体育课外活动的有47人,三种课外活动都参加的有24人,只选择两种课外活动参加的有22人,不参加其中任何一种课外活动的有15人,则接受调查的小学生的人数为 (　　) A.120 B.144 C.177 D.192 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A,B是U的两个子集,且满足A∪B=U,A∩(∁UB)={1,4},(∁UA)∩B={5,6,7},则 (　　) A.2∈A B.2∉B C.A∩B={2,3} D.A∪(∁UB)={1,2,3,4} 10.若集合A={x|a+1<x<2a-3},B={x|x≤-2或x≥7},则A∩B=∅的必要不充分条件可能是(　　) A.a<7 B.a<6 C.a<5 D.a<4 11.19世纪戴德金利用他提出的分割理论,通过对有理数集的分割精确地给出了实数的定义,并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理.若集合A,B满足:A∩B=∅,A∪B=N*,则称(A,B)为N*的二划分,例如,A={x|x=2k,k∈N*}, B={x|x=2k-1,k∈N*},则(A,B)就是N*的一个二划分.则下列说法正确的是 (　　) A.设A={x|x=3k,k∈N*},B={x|x=3k±1,k∈N*},则(A,B)为N*的二划分 B.设A={x|x=2n,n∈N},B={x|x=k·2n,k=2m+3,m,n∈N},则(A,B)为N*的二划分 C.存在一个N*的二划分(A,B),使得∀x,y∈A,x+y∈B,∀p,q∈B,p+q∈B D.存在一个N*的二划分(A,B),使得∀x,y∈A,x<y,则x+y∈B,∃p,q∈B,p<q,则p+q∈A 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知全集U=R,集合A={x|-3≤x≤4},集合B={x|a+1<x<2a-1},且A⊆∁UB,则实数a的取值范围是　　　　.  13.设全集U={1,2,3,4,5,6},且U的子集可由0,1组成的6位字符串表示,如{2,4}表示的是自左向右的第2个字符为1,第4个字符为1,其余字符均为0的6位字符串010100,并规定空集表示的字符串为000000.已知A={1,3},B⊆U,若集合A∪B表示的字符串为101001,则满足条件的集合B的个数为　　　　.  14.若集合A={x|ax2-3x+1=0}中只含有一个元素,则a的值为　　　　;若A的真子集的个数是3个,则a的取值范围是　　　　.(本题第一空2分,第二空3分)  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)从给出的三个条件①a=1,②a=2,③a=3中选出一个合适的条件,补充在下面问题中,并完成解答.已知集合A={0,a+2},B={0,1,a2}. (1)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,求实数a的值; (2)已知　　　　,若集合C含有两个元素且满足C⊆A∪B,求集合C.  注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 16.(15分)求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0. 17.(15分)集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}. (1)若A∪B=B,求实数a的值; (2)若A∩B=B,求实数a的取值范围. 18.(17分)设集合A由实数构成,且满足:若x∈A(x≠1且x≠0),则∈A. (1)若2∈A,试证明集合A中有元素-1,; (2)判断集合A中至少有几个元素,并说明理由; (3)若集合A中的元素个数不超过8,所有元素的和为,且集合A中有一个元素的平方等于所有元素的积,求集合A. 19.(17分)对于正整数集合A={a1,a2,…an}(n∈N*,n≥3),如果去掉其中任意一个元素ai(i=1,2,…,n)之后,剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合,且这两个集合的所有元素之和相等,就称集合A为“和谐集”. (1)判断集合{1,2,3,4,5}是否是“和谐集”,并说明理由; (2)求证:若集合A是“和谐集”,则集合A中元素个数为奇数; (3)若集合A是“和谐集”,求集合A中元素个数的最小值. 第一章　集合与常用逻辑用语　单元测试卷　参考答案 1.A　由题意知,A∪B={x|-2<x<2}. 2.A　原命题是一个全称量词命题“∀x,y∈R,x2+y2≥2xy”,省略了“∀x,y∈R”. 3.D　全称量词命题的否定是存在量词命题,命题“∀x∈R,x2-x≥0”的否定是“∃x∈R,x2-x<0”. 4.A　由题意可知,p:x∈{x|x=6k,k∈N*}={x|x=3×2k,k∈N*},q:x∈{x|x=3k,k∈N*}, ∵{x|x=3×2k,k∈N*} ⊊{x|x=3k,k∈N*}, ∴p是q的充分不必要条件. 5.D　根据“自恋数”的定义可知,所有的一位正整数都是“自恋数”,即A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, 又B={x|-3<x<4,x∈Z},则A∩B={1,2,3},该集合中的元素有3个,则A∩B的子集个数为23=8. 6.B　由题意,甲:A∩B=A⇔A⊆B; 乙:∁UA⊆∁UB⇔B⊆A; 丙:(∁UA)∪(∁UB)=∁UA⇔∁UB⊆∁UA⇔A⊆B; 丁:∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB)对任意的集合A,B均成立. 若有且只有一个不成立,则必为乙. 7.A　由Venn图可知,阴影部分表示的集合为A∩(∁UB), ∵全集U=R,集合A={0,1,2,3,4,5,6},B={x|x<3}, ∴∁RB={x|x≥3},∴A∩(∁RB)={3,4,5,6}. 8.B　用Venn图表示题设中的集合关系,不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合A,B,C表示,如图D 1所示,则card(A)=63,card(B)=89,card(C)=47,card(A∩B∩C)=24.不妨设总人数为n,Venn图中三种活动两两重叠所得的三块区域的人数分别为x,y,z, 则card(A∩B)=x+24,card(A∩C)=y+24,card(B∩C)=z+24,x+y+z=22. 由容斥原理得,n-15=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C)=63+89+47-(x+24)-(y+24)-(z+24)+24,解得n=144. 图D 1 9.ACD　由题干条件作出Venn图,如图D 2, 则A={1,2,3,4},B={2,3,5,6,7},A∩B={2,3},A∪(∁UB)={1,2,3,4}.故选ACD. 10.AB　∵集合A={x|a+1<x<2a-3},B={x|x≤-2或x≥7}, ∴当A=∅时,a+1≥2a-3,解得a≤4,此时A∩B=∅; 当A≠∅时,a+1<2a-3,解得a>4, 若A∩B=∅,则解得-3≤a≤5,∴4<a≤5, 故A∩B=∅的充要条件为a≤5, 结合选项可知,A∩B=∅的必要不充分条件为a<7,a<6.故选AB. 图D 2 11.BCD　对于A,1∉A,1∉B,故A∪B≠N*,故A错误. 对于B,因为A={x|x=2n,n∈N},B={x|x=(2m+3)·2n,n,m∈N}, 所以B={x|x=3·2n}∪{x|x=5·2n}∪{x|x=7·2n}∪…, 显然A∩B=∅,若A∪B=N*,则(A,B)为N*的二划分. 要证A∪B=N*,即证对于任意一个正整数,都可以分解为2n×k的形式,其中n∈N,k为正奇数. 对于任意给定的正整数M,有M=…,其中Pi是素数,xi∈N,i=1,2,3,…,t, 则M必为2n×k的形式,其中k为正奇数,n∈N,即A∪B=N*,故B正确. 对于C,当A={x|x=2k-1,k∈N*},B={x|x=2k,k∈N*}时,满足A∩B=∅,A∪B=N*,且∀x,y∈A,x+y为正偶数,即x+y∈B,∀p,q∈B,p+q仍为正偶数,即p+q∈B,故C正确. 对于D,选项B中的集合A和B就满足,故D正确.故选BCD. 12.{a|a≤2或a≥3}　①当B=∅,即a+1≥2a-1,即a≤2时,∁UB=R,满足A⊆∁UB; ②当B≠∅,即a+1<2a-1,即a>2时,∁UB={x|x≤a+1或x≥2a-1},由A⊆∁UB,得或解得a≥3. 综合①②得实数a的取值范围是{a|a≤2或a≥3}. 13.4　由集合A∪B表示的字符串为101001,可知A∪B={1,3,6}.而A={1,3},B⊆U,则B可能为{6},{1,6},{3,6},{1,3,6},故满足条件的集合B的个数是4. 14.0或　{a|a<0或0<a<}　由集合A={x|ax2-3x+1=0}中只含有一个元素, 易知a=0,或解得a=0或a=. 若A的真子集个数是3个,则ax2-3x+1=0有两个实数根,所以 解得a<0或0<a<. 故a的取值范围是{a|a<0或0<a<}. 15.(1)因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,所以A⊊B,当a+2=1,即a=-1时,得B={0,1,1},不符合题意;当a+2=a2,即a=-1或a=2时,得a=2,此时A={0,4},B={0,1,4},满足题意.所以a=2. (2)根据题意,若选择条件①,则B={0,1,1},不符合题意. 若选择条件②,A={0,4},B={0,1,4},所以A∪B={0,1,4},所以C={0,1}或C={0,4}或C={1,4}. 若选择条件③,A={0,5},B={0,1,9},所以A∪B={0,1,5,9}, 所以C={0,1}或C={0,5}或C={0,9}或C={1,5}或C={1,9}或C={5,9}. 16.证充分性: ∵a+b+c=0, ∴c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中得,ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0, ∴方程ax2+bx+c=0有一个根为1. 证必要性: ∵方程ax2+bx+c=0有一个根为1, ∴a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0. 故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0. 17.将方程x2+4x=0变形得,x(x+4)=0, 解得x=0或x=-4,即A={-4,0}. (1)∵A∪B=B,∴A⊆B, ∴x=0与x=-4为方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的解,此时解得a=1. (2)∵A∩B=B,∴B⊆A. ①当B=⌀时,方程x2+2(a+1)x+a2-1=0无解,即Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1; ②当B为单元素集时,=4(a+1)2-4(a2-1)=8a+8=0,解得a=-1, 将a=-1代入方程x2+2(a+1)x+a2-1=0,得x2=0,解得x=0,即B={0},符合要求; ③当A=B={-4,0}时,由(1)知a=1. 综上,实数a的取值范围为{a|a≤-1或a=1}. 18.(1)由题意,因为2∈A,可得=-1∈A. 因为-1∈A,则=∈A. 所以集合A中有元素-1,. (2)由题意,可知若x∈A(x≠1且x≠0), 则∈A,∈A,且x≠,≠,x≠, 故集合A中至少有3个元素. (3)由集合A中的元素个数不超过8,所以由(2)知A中有6个元素, 设A={x,,,m,,},m≠x,x≠1且x≠0,m≠1且m≠0. 因为集合A中所有元素的积为1, 所以不妨设x2=1或()2=1或()2=1. 当x2=1时,x=1(舍去)或x=-1,若x=-1,则,2∈A, 又集合A中所有元素的和为, 所以+2-1+m++=, 所以6m3-19m2+m+6=0, 即6m3-18m2-(m2-m-6)=0, 即(m-3)(6m2-m-2)=0, 即(m-3)(2m+1)(3m-2)=0, 所以m=-或3或, 所以A={,2,-1,-,3,}. 当()2=1或()2=1时,同理可得A={,2,-1,-,3,}. 综上,A={,2,-1,-,3,}. 19.(1)对于{1,2,3,4,5},去掉2后,{1,3,4,5}不满足题中条件,故{1,2,3,4,5}不是“和谐集”. (2)证明:设A={a1,a2,…,an}中所有元素之和为M, 由题可知,M-ai(i=1,2,…,n)均为偶数, 因此M和ai(i=1,2,…,n)的奇偶性相同, ①若ai为奇数,则M为奇数,又M为A中所有元素之和,可得n为奇数, ②若ai为偶数,此时取bi=,可得B={b1,b2,…,bn}仍满足题中条件,集合B也是“和谐集”, 若bi仍是偶数,则重复以上操作,最终可得各项均为奇数的“和谐集”,由①知n为奇数. 综上,集合A中元素个数为奇数. (3)由(2)可知集合A中元素个数为奇数, 当n=3时,显然任意集合{a1,a2,a3}不是“和谐集”. 当n=5时,不妨设a1<a2<a3<a4<a5,将集合{a1,a3,a4,a5}分成两个交集为空集的子集,且两个子集元素之和相等, 则有a1+a5=a3+a4　①,或者a5=a1+a3+a4　②; 将集合{a2,a3,a4,a5}分成两个交集为空集的子集,且两个子集元素之和相等, 则有a2+a5=a3+a4　③,或者a5=a2+a3+a4　④. 由①③,得a1=a2,矛盾;由①④,得a1=-a2,矛盾; 由②③,得a1=-a2,矛盾;由②④,得a1=a2,矛盾. 因此当n=5时,集合A一定不是“和谐集”. 当n=7时,设A={1,3,5,7,9,11,13}, 因为3+5+7+9=11+13,1+9+13=5+7+11, 9+13=1+3+7+11,1+3+5+11=7+13, 1+9+11=3+5+13,3+7+9=1+5+13, 1+3+5+9=7+11, 所以集合A={1,3,5,7,9,11,13}是“和谐集”. 所以集合A中元素个数n的最小值是7. 学科网（北京）股份有限公司 $$