江苏省南通市海门市2024-2025学年高二上学期期末调研数学试卷

2024一2025学年第一学期期末调研 高二数学 考试时间：2025年1月16日14：00-16：00 试卷满分：150分 注意事项： 1。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，结来后，将本议卷和答题卡一并交回。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位夏上，在其他位置作答一 律无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.直线x-√3y-1=0的倾斜角大小为 A君 B.牙 c. D. 2.已知函数f)=F,则式子1+r-山（△x>0)表示 △x A.f(x)在x=1+△x处的导数 B.f(x)在x=1处的导数 C.f(x)在1,1+△x]上的平均变化率 D.f(x)在1-△x,]上的平均变化率 3.下面导数运算错误的是 A.(sin)=0 C.(x2+n2)'=2x D.(2)'=x2- 4.以A(-1,1),B(2,-1),C(3,7)为顶点的三角形是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 5.已知双曲线C的焦点在x轴上，两条渐近线为y=±号x,则C的离心率为 A.22 B.@ c.23 D.0 3 3 3 6。已知正项等比数列a}的前n项和为，4=1,44=4，则受 A.9 B.1+2W2 C.3 D.2 S数学试卷第1页（共4页） 7。下列直线被椭圆C:号+y2=1截得的弦长大于：y=x+1被C截得的弦长的是 A.y=-x B.y=-x-1 C.y=x-I D.y=x+√5 8.若P为直线1：x-y+1=0上动点，4-1，-)，B在圆C:(x-1)2+y2=1上，则PA+PB 的最小值为 A.25 B.3 C.5-1 D.2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.己知直线(：x-y=1,直线l2:mr+y=m(mn≠0)，则 A.1在y轴上的截距为-1 B.I,恒过点(0,1) C.当m-n=0时，4⊥2 D.当m+n=0时，1与 10.已知数列{a,}的前n项和为S.,且a=1,=1+上n∈N,则 a. A.a2<a2n B.2an=an-1+an(n≥2) c÷学 2 D.数列}的前项和为 11.探照灯应用了抛物线的光学性质“从焦点处发出的光线经过抛物线反射后变成与抛物线 的对称轴平行的光线射出”.已知一探照灯的轴截面是抛物线C:y2=4x(顶点在原点O), 从焦点F射出两条互为反向的光线经C上的点P,Q反射，若直线P?的倾斜角为日，则 A.当0=45时，P,2处两条反射光线所在直线的距离为4√2 B.当8=45时，△OPQ的面积为2 C.任意0eR,OP.O0=-3 D.任意eeR,IFP+Fg=FPIIFO 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若函数f(x)=xsinx,则f'()= S数学试卷第2页（共4页） 13.已知圆C:x2+y2=1和圆C2:x2+y2-4x-4y+4=0,则C,C,的公切线共有条。 14.一点从起点P出发，每次只能向右、向上或向左移动一步， 恰好走n(neN”)步且不经过己走的路线和点共有(n)种 走法，如f)=3,f(2)=7,则f(3)=一·数列{f)}相 邻三项的递推关系式为 ,(第一空2 分，第二空3分) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 己知函数fe)=nx+2f0xg)=2+ar+la>0). (1)求f(x): (2)若曲线y=f(x)在(1，f(I)》处的切线与曲线y=g(x)也相切，求a. ▲▲A 16.(15分) 已知圆C经过点O(0,0),A(1,1),B(4,2). (1)求圆C的方程： (2)求过点A且与圆C相切的直线的方程： (3)过B引直线I与圆C交于另一点D,若BD=8,求I的斜率. 盒AA 17.(15分) 己知点A(4,0),B(0,4),直线1：mr-y+1-m=0(m∈R). (1)若I与线段AB有交点，直接写出m的取值范围： (2)若m>0,设I与直线AB及x轴分别交于C,D两点，求△ACD面积的最小值 ▲▲▲ S数学试卷第3页（共4页） 18.(17分) 若等差数列{和}的公差为正整数，且首项为1，则称其是“T数列” (1)若等差数列他.}满足b,-b=2b,b2+b=b。-1，证明：也，}是“T数列”： (2)设S,是数列c,}的前n项和，G=弓，S,+3=3火，： (i)求c.: (i)是否存在“T数列”{a},存在正整数m,对于任意k∈N”,当k≤m时，恒 有(G-ac-a)<0，若存在，求数列{a,}的通项公式和m的最大值：否则，说明理由. AA▲ 19.(17分) 已知A-3,O),B3,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是-号，点M的 轨迹记为C. (1)求轨迹C的方程： (2)设P,Q是线段AB的从左至右的两个三等分点， )试比较响☑与向的大小并说明理由： (i)若直线MP,MQ分别与曲线C相交于另一点E和F,直线PF与C交于另一 点G,求证：直线EG经过一定点. S数学试卷第4页（共4页）[F=0 所以2+D+E=0, …2分 20+4D+2E=0. 解得D=-8,E=6,F=0, 所以圆C:x2+y2-8x+6y=0. 5分 即圆C:(x-4)2+0+3)2=5. 法二：因为A0的中垂线为：+y-1=0, 0B的中垂线为：2x+y-5=0,--m 2分 联立+-：0解得x=4y=-3. A分 2x+y-5=0, 所以圆心C《,-3), 所似圆的半径r=0C=+←3=5， 所拟圆C的标准方程为(x-4)2+心+3)2=25.…-5分 (2)由(1)得圆C的圆心为4，-3)，半径为5， 因为A在圆C上， 所以切线与直线AC垂直， 因为直线4C的斜率为=-于· …7分 所似切线的方程为y-1=-小. 即3x-4y+1=0.nn…n… .9分 (3)1的斜率一定存在，设为k, 所以1的方程为c-y-+2=0, 设圆心C到1的距离为d, 因为BD=8, 所以4+d2=25,即d=3,m 所拟+3-“+3-3. 13分 +k 化简得，1+=号。 即=封 所拟1的斜率为士号 .15分 17.(15分) 【解】(1)法一：数形结合 因为1：城x-1)+1-y=0恒过点P,), 所似直线PA的率为么==-子： 线P8的斜率为=合=-3 所结合图形知长-3或≥-分 S败学试卷◆考答案第2员（共6页） 法二：因为直线AB:x+y-4=0, 联立 x+y-4=0, t-y+1-m=0, 所拟交点C .2分 因为C在线段AB上， 所拟长4.即侣小0. 4分 m+1 解得细+33m+业0. (m+)子 所拟长-3或m≥-子【答案正确即给分】 (2)因为直线AB:x+y-4=0, 联拉小+少-4=0， -y+1-m=0, 所似交点C(±兰，+凸： 7分 m+1m+1于 令1：t-y+1-m=0中y=0,则x=四-. 所以D(m,0),- …9分 因为m>0,所以C在第一象限且在x=1右侧，D在x=1左侧， 所以△ACD的面积为 s=o-. 法一：设1=3m+1,1>1, .m.14分 所以当1=4即m=1时，S的最小值为4.， 15分 盖=s=o式 .12分 因为m>0.所以2+(”。 -14分 当且仅当2m=m+1即m=1时取等号， 所以S≥， 所以当m=1时，S的最小值为4. -15分 18.(17分) 【解】(1)设等笼数列他}的公差为d, 因为6-4=2A,所以d=24● 2分 因为久+A=4-1, 所以2A=2h+4d=4+5d-1,即4+1=d● .4分 由●●得，4=1，d=2, 所以等笼数列b}是“T数列”.…… .6分 S数学试●考答案第3贾（共6为页） (2)i)因为S.+3=3x., 所以22，S4+3=3女·… mm8分 两式相减得，C.=3女。-3女4 即2c.=3女-1” 因为4=号，所以c.0, 所名=子(2)， 10分 所似数列化.)构成公比和首项均为手的等比数列， 所拟6=. -11分 (ii)假设存在“T数列”a}且其公差为d(d到，deN), 满足存在正整数m,对于任意k∈N,当k≤m时，但有(G-a,G-a,)<0(*), 当k=1时，6-04=}1>0.-=子0+d0=士d<0,滴足条件(*)： 当k=2时.若6-4X-a,<0,所以(-d-2<0.即各<d<子， 因为deN”,所以d=l,此时a,=l+m-1=m:m ..13分 所以对于任意k∈N，当k≤m时，但有(G-a,G-a)<0, 即-封-k-<0, 所以k<(扩<k+1对k≤m(m22)恒成立： 修 设f化)= ·则+-=++司 因为到，所以化+)-他0， 所以U八k)》递增，… .15分 因为)=1=资<1=站1. 所以托3，)= 此时，1<号2<号3<受均成立， 即k3,k<3}<k+1, 所以a,=n,存在m的最大值为3.一 17分 19.(17分) 【解】(1)设M(x,y). 因为直线AM,BM的斜率之积是-号， 所烈本*六=-号* 2分 S数学试卷争考答案第4页（共6页） 化筒得.苦+言=心*0) 3分 (2)因为A(-3,0),3,0),P,Q是线段AB的从左至右的两个三等分点， 所以P-1,0),C1,0), 设号+首=0*0的焦点坐标为c01. 所以c2=9-8=1,即c=1. 所以P-1,0),1,0)为的焦点， 4分 (i)因为P+Q=6, 向向ig阿 .m6分 所以响向 ,.7分 先：为向向向向而女业将兴 2MQ MP 因为Mr+Q=6. 所拟原式=l2-ge 2MOMP 因为MQP=PK6-Pp=-MPf+6小PF-P+9, 因为列M=+旷+少广=3+，e(-3, 所以2<小Mrk4, 所以8<小MgMP≤9， ,即向向向 所以 2MO MP (ii)设M(名)，F(3y:) ①当MP斜率存在时，不妨令直线MP:y=kx+), y=k(+D). 联立 化简得，(8+9%)2+18就x+9%-72=0, 因为MP与C的另一个交点为E, 9x-r 然-29可 -72 所以x。名= %-72+2 ,(●)10分 8+9片 8+9x2 8飘3++97 (馬+) 因为8+9=72， 所以()式可以化为=-t-1=冬， 81+03+9 161+80 +3 所拟x,=4二9 *5 所点告 2 +5 d各 .12分 当MF⊥x轴，即名=名=1时， 所似直线E0过x轴上点H-子0：---13分 下证：E,G,H三点共线， 4 因为kw= 当+了 子+ 23- +5 同理，= 32( 243-0 出21)， 因为M.QF三点共线，所以女=名15分 所以km=kc·即E,G,H三点共线， 所似直线EG经过一定点(-子0). ②当P1x轴时.即=-1，M-l,争 所拟E1-争. 此时fy=--. 联立 低得好-学 所以直线EF:y=-是+)交C于G-升. 所以k=-2=k: 综上.直线EG经过定点(-子0.“