吉林省四平市第一高级中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

2024-2025学年度上学期第一次月考 高二数学试题 本试卷分客观题和主观题两部分，共19题，共150分，共3页。考试时间为120分钟。考试 结束后，只交答题卡。 第I卷 客观题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1.直线y=5x+1的倾斜角为（) A.30° B.60° C.120° D.150° 2.若方程x2+y-x+y+m=0表示圆，则实数m的取值范围是 Am<克 B.m> C.m<1 D.m>1 3.已知直线x+y-k=0(k>0)与圆x+y=4交于不同的两点A,B,O是坐标原点，且有 可A+O≥5丽，则实数k的取值范限是（) A.（5,) B.[V2,6) c.[V6,22) D.[62W5) 4.“a=3¨是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y-(a-7)=0平行且不重合"的（) A.充分非必要条件 B。必要非统分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 5.已知题C:+y-4红-6y+4=0关于直线1：a+切-10(ab>0对称，则六+站的最小N值 是() A.2 B.3 C.6 D.4 20242025学年度上学期第一次月考 6.已知meR,直线4：mx+y+2m=0与引2：x-my+2m=0的交点P在圆C: (x-2+(y-42=2(r>0)上，则r的最大值是（) A.42 B.32 C.22 D.5 1已知只，马分提椭圆荐+京=e6>0)的左，右焦点，0是坐标原点，P是然圆E上 一点，PR与y轴交于点M.若O=o,Ml=名，则椭图E的离心乳 B.5或@ 3 4 c. D.对 2 8.在平面直线坐标系中，定义d(A,B)=max:-y-y}为两点A(:,)、B(x,2)的切 比雪夫距离”，又设点P及1上任意一点Q称a(P,)的最小值为点P到直线的切比雪夫距离 记作d(P,),给出下列四个命题：（) ①对任意三点A、B、C,都有d(C,A)+d(C,B)2d(A,B): ②足知点P3,1和直线1：2x-y-1=0,则d(R.)=手 ③倒原点的切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形： ④定点(-c,0八E(c,0,动点P(x,y满足4(E,R)d(R,F》=2a(2c>2a>0),则点P的轨迹 与直线y=k(k为常数)有且仅有2个公共点。 其中真命题的个数是（) A.4 B.3 C.2 D.1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 专高二数学试题 第1页，共3页 9、以下四个命题表述正确的是( A.过(，y)(:,)两点的直线方程为-光=-五 为3-五-为 B.已知直线1过点P(2,4),且在x,y轴上截距相等，则直线1的方程为x+y-6=0 C.“直线a+2y-1=0与直线(a+1)x-2ay+1=0垂直"是“a=3”的必要不充分条件 D.直线：x+y+1=0,h2:x+y-1=0的距离为V2 10.已知A(名y),B(:,y2)是圆O:x2+y2=1上两点，则下列结论正确的是（) A若B1,则∠408=号 B.若点0到直线AB的距离为，则B上号 C.若乙408=经，则6+%-++%-的最小值为反-1 D.若乙408=否，则k+%-++⅓-的最大值为2+万 1.已知R.R3分别为椭圆C:三+亡=1的左右焦点，P为椭圆上任意一点（不在x轴上，△PRR 1612 外接圆的圆心为H,半径为R,△PFF内切圆的圆心为1，半径为r,直线PI交x轴于点M,O 为坐标原点，则（) A.5最大时.，= B.P豆.PO的最小值为8 3 P以=2 PM 3 D.Rr的取值范强为(， 第Ⅱ卷 主观题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.与圆x+y-4x+6y+3=0同圆心，且过点(（1，-1)的圆的方程是 13.圆Cx+y=1与圆Cxy2x2+1-0的公共弦所在的直线被圆C:k-1y+0-1y=2空所截得的 4 20242025学年度上学期第一次月 弦长为 4如图，描圆子+y=1的航、右焦点分别为R,A,过点 A(2,0)作椭圆的切线，切点为T,若M为x轴上的点，满足 ∠ATM=∠AT,则点M的坐标为一 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(1)已知直线2经过点(L,)且与直线：x+2y-1=0垂直，求直线2的方程 (2)已知直线头与x轴，y轴纷别交于A,B两点，AB的中点为(2，).求直线的方程 16.为了开发古城旅游观光，镇政府决定在护城河上建一座圆形拱桥，河面路度B为32米，拱 桥顶点C离河面8米， (I)如果以跨度AB所在直线为x轴，以AB中垂线为y轴建 立如图的直角坐标系，试求出该圆形拱桥所在圆的方程： (②)现有游船船宽8米，船顶离水面7米，为保证安全，要求行船顶部与拱桥邻的竖直方向高度 差至少要0.5米.问这条船能否顺利通过这座拱桥，并说出理由， 17. 已知阻c的焦点为(-10)和R,o),且稀圆C经过点) (1)求椭圆C的方程； (2过点F(,0)的直线1与椭圆C交于P,2两点，则在x轴上是否存在定点N,使得NP.N0的值 为定值？若存在，求出点N的坐标和该定值：若不存在，请说明理由. 考高二数学试题 第2页，共3页 18.已知平面直角坐标系上一动点P(x,y)到点A(-2,0)的距离是点P到点B0,0)的距离的2倍、 (1)求点P的轨迹方程； (2)若点P与点2关于点(2,1)对称，点C3,0),求2A+2C'的最大值和最小值： (3)过点A的直线I与点P的轨迹C相交于E,F两点，点M(2,O),则是否存在直线/，使S.w取 得最大值，若存在，求出此时1的方程，若不存在，诗说明理由。 20242025学年度上学期第一次月 叹已加橘c:苦+长-1(a>0,b>0)的左，右焦直分别为只.只，离心为，经数 点且倾解角为90<日<习的直线！与椭圆交于A,B两点（其中点A在教上方），人M,的 周长为8. (1)求椭圆C的标准方程， (2)如图，将平面xOy沿x轴断叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面AE)与y轴 负半轴和x轴所确定的半平面（平面BF,F2)互相垂直， 五 8 折叠前 折叠后 ①喏9=号，求异面直线5和5所成角的余弦值。 @是否存在90<0<引，使得折羲后△8E的周长为宁？若存在，求知9的值，若不存在， 15 诸说明理由。 高二数学试题第3页，共3页 2024-2025学年度上学期第一次月考 高二数学试题答案及评分标准 一.单选题 题号 2 3 5 6 7 8 答案 C A C D A B A 1.C.因为直线y=-5x+1的斜率k=-√5， 所以直线y=-V5.x+1的倾斜角为120° 故选：C 2.A由二元二次方程表示圆的充要条件可知：（1+1P-4m>0,解得m<),故选A. 考点：圆的一般方程， 3.C.设AB中点为C,则OC⊥AB, :OA+O≥V5A, poc5画，÷s25d, :od+a=4→oc24,即oc≥3， 又：直线x+y-k=0(k>0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B, od<4,故4>oc≥3， 则43. :k>0,.6≤k<22 故选：C. B 4.C当a=3时，两直线分别为：3x+2y+9=0,3x+2y+4=0, ·.两直线斜率相等且C,≠C2, :.两条直线平行且不重合，充分性成立， 若两直线平行且不重合，则号-23如 3a-17-a1 a=3,必要性成立， 综上所述，a=3是两直线平行且不重合的充要条件， 故选：C 5.D因为圆C:(x-2)}+(y-3}=9关于直线：ax+by-1=0(ab>0)对称， 所以直线过圆心(2,3)，即2a+3b=1, 则2+品-（合+}a+)-2+”+号 2a'3b 因为ab>0,且2a+3b=1,所以a>0,b>0, +0-2爱品2+3层芸4， 2a 3b 2a 3b 当且仅当费品即a6。夺号立 41 6 则名+号的最小随是4 故选：D. 6.A.mx+y+2m=0→y=-m(x+2),所以直线4恒过点A(-2,0), x-y+2m=0→x=m(y-2),所以直线l2恒过点B(0,2),由两条直线的方程可以判断直线4与直线2互 相垂直，因此点P在以AB为直径的圆上，线段AB中点为D(I), 半径为)V(-2旷+2=2， 圆C的圆心为(2,4)，半径为r(>0), 由已知条件可知点P在圆C:(x-2+(0-4)}=r2(>0)上， 所以圆C与圆D相交或相切，1CD=√(-1-2)+(1-4)}=3V2, 因此有2-sCDl≤V2+r→W2-s32≤2+r, 解得：2√2sr≤4V2,所以则r的最大值是4V2, 故选：A 7.B loP=lorl,得oPl=FF,则PR1PR,则回PFF,v@OFM, 篇恩受言 6 5a, PFJ-2a-PEI-2a-12c-10a'-12c 5a 5a 因为PF1PE,所以PE+PF=FE, 即g2)=,长理得c-+2r0, g或e2 则72e-85e2+25=0,解得e2= 8, 故e=5或e=d 3 M 故选：B. 8.A 解：①对任意三点A、B、C,若它们共线，设A(x,)、B(:,,), C(s,),如右图，结合三角形的相似可得d(C,A),d(C,B),d(A,B) 为AN,CM,AK,或CN,BM,BK,则d(C,A)+d(C,B)=d(A,B); 若B,C或A,C对调，可得d(C,A)+dC,B)>d(A,B); 0x 若A,B,C不共线，且三角形中C为锐角或钝角，由矩形CMNK或矩形BMNK, d(C,A)+d(C,B)=d(A,B); 则对任意的三点A,B,C,都有d(C,A)+d(C,B)≥d(A,B)；故①正确； 设点2是直线y=2x-1上一点，且(x,2x-1), 可得d(P,2)=maxx-3,12-2x}, 由lx-3州2-2x,解得-1≤x子，即有0-引 当=时，取得k小i写： 由lx-32-2x|,解得x>三或x<-1,即有d(P,2)=2x-21, dP.Q的范围是6，oU,+o-,+ao).无最值， 综上可得，P,Q两点的切比雪夫距离的最小值为 故②正确： ③由题意，到原点的“切比雪夫距离”等于1的点设为(x,y),则nax}=1, 若y≥x,则y=1；若yx,则x=1,故所求轨迹是正方形，则③证确； ④定点F(-c,0)、F(C,0),动点P(x,y) 满足Id(P，F)-d(P,F)=2a(2c>2a>0),可得P不y轴上，P在线段FF间成立， 可得x+c-(c-x)=2a,解得x=a,由对称性可得x=-a也成立，即有两点P满足条件； 若P在第一象限内，满足Id(P,F)-d(P,F)=2a, 即为x+c-y=2a,为射线，由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线， 则点P的轨迹与直线y=k(k为常数)有且仅有2个公共点， 故④正确： 综上可得，真命题的个数为4个， 故选：A.