2.1 第1课时 对顶角、余角和补角教学设计 2024-2025学年北师大版数学七年级下册

第二章 相交线与平行线 1 两条直线的位置关系 第1课时 对顶角、余角和补角 ※教学目标※ 1.理解相交线、平行线、对顶角、补角和余角的概念，并能在图形中辨认。（重点） 2.掌握对顶角相等的性质及其推理过程。（难点） 3.掌握对顶角相等、同角(或等角)的余角相等、同角(或等角)的补角相等，并能解决相关的实际问题。 ※教学过程※ 一、新课导入 [情境导入]观察下列图片，说一说直线与直线有哪些位置关系？ 二、新知探究 （一）相交线与平行线 [提出问题]同一平面内，两条直线的位置关系有哪几种？ [归纳总结]若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。 在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线。 [针对练习]下列说法中正确的是( D ) A. 不相交的两条直线是平行线 B. 在同一平面内, 不相交的两条射线叫作平行线 C. 在同一平面内, 两条直线不相交就重合 D. 在同一平面内, 没有公共点的两条直线是平行线 （二）对顶角及其性质 [提出问题]请动手画出两条直线，直线AB与CD相交于点O。 （1）∠1与∠3的位置有什么关系？ 解：∠1与∠3有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线。 （2）它们的大小有什么关系？为什么？ 解：∠1=∠3。 因为∠AOB和∠COD都是平角， 所以∠2+∠3=180°，∠1+∠2=180°， 所以∠3=180-∠2，∠1=180°-∠2， 所以∠1=∠3。 （3）图中还有其他的角也构成这样的关系吗？ 解：∠2和∠4。 [归纳总结] 1.对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，具有这种位置关系的两个角叫作对顶角。 2.对顶角的性质：对顶角相等。 [针对练习]如图，直线AE与CD相交于点O，OC 平分∠AOB。 （1）请找出图中∠3的对顶角； 解：∠3的对顶角是∠2。 （2）若∠3＝25°，求∠1的度数。 解：由对顶角相等，得∠2＝∠3＝25°。 因为OC平分∠AOB，所以∠1＝∠2＝25°。 注意： 1.对顶角是成对出现的，不能单独说一个角是对顶角。 2.位置关系：有公共顶点，两边互为反向延长线。 3.数量关系：对顶角相等。 （三）余角和补角及其性质 [归纳总结] 1.余角：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角。 几何语言——如图1，若∠1＋∠2＝90°，则∠1是∠2的余角或∠1与∠2互为余角。 2.补角：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角。 几何语言——如图2，若∠3＋∠4＝180°，则∠3是∠4的补角或∠3与∠4互为补角。 注意：互余与互补是指两个角之间的数量关系，与它们的位置无关。 [典型例题]如图 1，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2，将图1简化成图2，ON与DC相交于点O，∠DON=∠CON=90°，∠1=∠2。 图1 [交流讨论]小组合作交流，解决下列问题：在图2中， (1) 哪些角互为补角？哪些角互为余角？ 解：互为补角的有∠1和∠AOC，∠1和∠BOD，∠2和∠AOC，∠2和∠BOD； 互为余角的有∠1和∠3，∠2和∠4，∠2和∠3，∠1和∠4。 (2) ∠3 与∠4 有什么关系？为什么？ 解：∠3=∠4。 因为∠1=∠2，∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°， 所以∠3=∠4。 (3) ∠AOC 与∠BOD 有什么关系？为什么？ 解：∠AOC=∠BOD。 因为∠1=∠2，∠1+∠AOC=180°，∠2+∠BOD=180°， 所以∠AOC=∠BOD。 [归纳总结]同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等。 三、课堂小结 1.在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种。 2.对顶角的性质：对顶角相等。 3. 互余 互补 两角间的数量关系 对应图形 性质 同角（或等角）的余角相等 同角（或等角）的补角相等 四、课堂训练 1. 下列说法中，正确的有（　B ） ①对顶角相等； ②相等的角是对顶角； ③不是对顶角的两个角就不相等； ④不相等的角不是对顶角。 A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 2. 如图，已知直线AB与CD交于点O，∠EOD = 90°，回答下列问题： (1)∠AOE的余角是 ∠AOC，∠BOD ，补角是 ∠BOE ； (2) ∠AOC的余角是 ∠AOE ，补角是 ∠AOD，∠BOC ，对顶角是 ∠BOD 。 3. 若一个角的补角等于它的余角的 4 倍，求这个角的度数。 解：设这个角的度数为x°， 由题意，得180-x=4（90-x）， 解得x=60， 所以这个角的度数为60°。 4. 要测量两堵墙所成的角（即∠AOB）的度数，但人不能进入围墙，如何测量？ 解：可沿两墙作反向延长线，根据对顶角相等，测量∠AOB的角度，即可得到两堵墙所成角的度数。 五、布置作业 ※教学反思※ 这节课用学生身边的事例呈现教学内容，增强了数学教学的现实性。举生活中的例子，学生能深刻地体会到数学的应用价值。先让学生独立思考，再让学生动手操作，从中渗透了猜想、验证、归纳等数学思想方法，使学生在探究过程中了解问题解决的过程和方法，在有意义的数学活动中，建构数学知识，理解数学思想方法，学会数学思考。 学科网（北京）股份有限公司 $$