精品解析：福建省厦门市双十中学集团校2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

2024-2025学年（上）初二年期末考试试卷数学 （试卷满分：150分考试时间：120分钟） 考生注意： 1．全卷三大题，25小题，试卷共4页，另有答题卡． 2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分． 3．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 下列四个手机 图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形的定义，在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形为轴对称图形． 根据轴对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，符合题意． 故选：D． 2. 等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（　　） A. 20° B. 50° C. 60° D. 80° 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可以求得其底角的度数． 【详解】解：∵等腰三角形的一个顶角为80° ∴底角=（180°﹣80°）÷2=50°． 故选B． 考点：等腰三角形的性质． 3. 2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用22纳米米，将用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考用科学记数法，掌握科学记数法的形式是解题的关键． 用科学记数法表示较小数时的形式是，其中为原数中从左边起第一个非零数字前面所有零的个数（包含小数点前面的零)，即可确定的值． 【详解】解：将用科学记数法表示为． 故选：B． 4. 若平面直角坐标系中，△ABO关于x轴对称，点A的坐标为（1，-2），则点B的坐标为( ) A. （-1，2） B. （-1，-2） C. （1，2） D. （-2，1） 【答案】C 【解析】 【详解】试题考查知识点：对称点坐标值的关系 思路分析：关于x轴对称的两个点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；也可画图得出结果 具体解答过程： 如图所示： △ABO关于x轴对称，O为原点，则A、B两点必关于x轴对称．故点B坐标为（1，2） 试题点评： 5. 如图所示，是用尺规作图作已知角的角平分线的示意图，则说明是的角平分线的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作法和全等三角形的判定．掌握证明三角形全等是关键． 根据尺规作图痕迹可得，两个三角形对应边相等，进而可得答案； 【详解】解：连接，， 从角平分线的作法得出， ，， ∵， ∴． ∴， 故选：C． 6. 一份工作，甲单独做需a天完成，乙单独做需b天完成，则甲、乙两人合作一天的工作量是（ ） A. B. C. D. a+b 【答案】A 【解析】 【分析】甲、乙合做一天的工作量=甲一天的工作量+乙一天的工作量，把相关数值代入即可． 详解】∵甲单独做需要a天完成，乙单独做需要b天完成， ∴甲一天的工作量为，乙一天的工作量为， ∴甲、乙合作一天可以完成的工作量为， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式加减的应用，利用分式表示出甲乙各自的工作效率，熟练掌握分式加减计算法则是解题关键． 7. 如图，已知AB=AC=BD，那么∠1与∠2之间的关系是（ ） A. ∠1=2∠2 B. 2∠1+∠2=180° C. ∠1+3∠2=180° D. 3∠1-∠2=180° 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠B=180°－2∠1=∠C，根据三角形的外角性质可得∠C=∠1－∠2，进一步即得答案． 【详解】解：∵AB=AC=BD， ∴∠BAD=∠1，∠B=∠C， ∴∠B=180°－2∠1=∠C， ∵∠C=∠1－∠2， ∴180°－2∠1=∠1－∠2， ∴3∠1－∠2=180°． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理和三角形的外角性质等知识，属于基本题型，熟练掌握上述知识是解题的关键． 8. 设，，，则数按从小到大的顺序排列，结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用平方差公式进行变形，把其中一个因数化为918，再比较另一个因数，另一个因数大的这个数就大． 【详解】解：， ， ， 所以． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练运用平方差公式进行因式分解． 9. 如图，在下列三角形中，若，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质；理解如何把三角形分成两个小等腰三角形是解题的关键，解本题过程就是不断尝试的过程．结合已知条件及等腰三角形的性质，对各个图形进行分析，从而得到答案． 【详解】解：A．，作的角平分线，从而便可得到两个等腰三角形； B．，作的角平分线，即可将其分为两个小等腰三角形； C．，不能被一条直线分成两个小等腰三角形； D．，则可过顶点作一直线，使该直线将顶角分为一个和一个的角，从而便得到两个小等腰三角形． 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点，点D在第一象限，且满足：．点B是x轴正半轴上的一个动点，连接．作的两个外角平分线交于点C，点B在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线．熟练掌握角平分线的性质定理和判定定理，垂线段最短，根据角平分线构造垂线，是解题的关键． 连接，过C作于点F，作于点E，作于点G，根据角平分线性质得到，，得到，得到平分，得到，求出，当时，最小，．得到． 【详解】如图，在x轴和y轴上取点N、P，连接，过C作于点F，作于点E，作于点G， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最小，． ∴． 故选：B． 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查约分，熟练掌握约分是解题的关键；因此此题可根据约分进行求解． 【详解】解：； 故答案为． 12. 已知，则的值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法． 根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 如图，已知，若要用“”证明，则还需补充条件______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定的应用，熟记定理是解此题的关键． 已知公共边为斜边，再添加一组直角边相等，即可求解． 【详解】补充， 在和中， ， ∴， 补充， 在和中， ， ∴． 故答案为：或． 14. 如图，过边长为2的等边的顶点C作直线，然后作关于直线l对称的，P为线段上一动点，连接，，则的最小值是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质及等边三角形的性质，连接，利用全等三角形将的长转化为的长即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵与关于直线l对称，且是边长为2的等边三角形， ∴ 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 根据“两点之间，线段最短”可知， 当点P在点C位置时，取得最小值为的长度4， 所以的最小值是4． 故答案为：4． 15. 有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下： 则第n次的运算结果是_____(用含字母x和n的代数式表示)． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式的规律题，根据分式的除法法则逐项计算，得到规律即可． 【详解】解：根据题意得； ； ； …… 根据以上规律可得：． 16. 如图，已知E、F分别是正方形的边、上的点，且，矩形的面积是48，分别以、为边作正方形，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】28 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式与几何图形，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；由题意可设，则有，然后根据矩形的面积是48可进行求解． 【详解】解：设，由正方形可知：， ∵， ∴，解得：， ∵矩形的面积是48， ∴，即， ∴， ∴（负根舍去）， ∴； 故答案为28． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查零次幂及负指数幂，熟练掌握零次幂及负指数幂是解题的关键；因此此题可根据乘方运算、零次幂及负指数幂可进行求解． 【详解】解：原式． 18. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式以及平方差公式将原式变形，然后合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握乘法公式是解本题的关键． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式化简求值，熟练掌握分式的运算是解题的关键；先根据分式的加减乘除运行进行化简，然后再代值求解即可． 【详解】解：原式 ， 当时，则原式． 20. 如图，点B，E，C，F在一条直线上，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，由平行线的性质得到，又由已知得到，即可得到结论． 【详解】证明：∵ ∴， ∵， ∴ ∴． ∴． ∴． 21. 如图，在中，平分，于点E，点F在上，． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）由角平分线的性质得到，利用证明即可证明． （2）设，则，同理得到利用证明得到，即，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵平分，于点E， ∴． 在与中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：设，则， ∵平分，于点E， ∴． 在与中， ， ∴， ∴，即， 解得，即． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，熟知利用证明三角形全等是解题的关键． 22. 甲、乙两商场自行定价销售某一商品． （1）甲商场将该商品提价15%后的售价为1.15元，则该商品在甲商场的原价为　　元； （2）乙商场将该商品提价20%后，用6元钱购买该商品的件数比没提价前少买1件，求该商品在乙商场的原价是多少？ （3）在（1）、（2）的结论下，甲、乙两商场把该商品均按原价进行了两次价格调整． 甲商场：第一次提价的百分率是a，第二次提价的百分率是b； 乙商场：两次提价的百分率都是（a＞0，b＞0，a≠b）． 请问甲、乙两商场，哪个商场的提价较多？请说明理由． 【答案】（1）1元；（2）商品在乙商场的原价为1元；（3）乙商场两次提价后价格较多 【解析】 【分析】（1）灵活利用利润公式：售价-进价=利润，直接填空即可； （2）设该商品在乙商场的原价为x元，根据提价20%后，用6元钱购买该商品的件数比没提价前少买1件，即可列方程求解； （3）分别求出甲、乙两商场提价后的代数式，比较大小即可求解 【详解】（1）设该商品在甲商场的原价为x元， x (1+15%)=1.15，解得：x=1， 故答案是：1； （2）设该商品在乙商场的原价为元，则 ． 解得． 经检验：满足方程，符合实际． 答：该商品在乙商场的原价为1元； （3）由于原价均为1元，则甲商场两次提价后的价格为：． 乙商场两次提价后的价格为：（1+=． ． 故乙商场两次提价后价格较多． 23. 如图，锐角，点E为中点，过点E作于F． （1）尺规作图：以为斜边在内部作等腰直角； （2）若（1）中所作点D恰好落在上，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图——作等腰直角三角形．熟练掌握线段垂直平分线作法，等腰直角三角形判定和性质，全等三角形判定和性质，是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线交于点O，以O为圆心以长为半径，画弧交射线于D，连接，即为所求作． （2）过点C作，交延长线于点G，得，根据 ，，得，得，根据，，得，结合，得，得， 即得． 【小问1详解】 解：分别以B、C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于P、Q， 作直线交于点O， 以O为圆心以长为半径，画弧交射线于D， 连接， 即为所求作． 【小问2详解】 证明：过点C作，交延长线于点G， ∵， ∴， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24. 阅读：对于两个不等的非零实数，若分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为． 应用上面的结论解答下列问题： （1）方程有两个解，分别_____，______． （2）关于x方程的两个解分别为，若与互为倒数，则_____，______； （3）关于x的方程的两个解分别为，求的值． 【答案】（1）2，4；（2）；2；（3）． 【解析】 【分析】（1）方程变形后，利用题中的结论确定出方程的解即可； （2）方程变形后，根据利用题中的结论，以及与互为倒数，确定出与的值即可； （3）方程变形后，根据利用题中的结论表示出为，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：（1）， ∴方程的两个解分别为． 故答案为：． （2）方程变形得：， 由题中的结论得：方程有一根为2，另一根为， 则； 故答案为：；2 （3）方程整理得：， 得或， 可得， 则原式． 【点睛】本题考查解分式方程、分式方程的解，整体代入法解方程，难度较大，解题时先搞清楚规律，把握已知的结论是解本题的关键． 25. 问题提出：如图1，在锐角等腰中，， ，K是动点，满足，将线段绕点A逆时针旋转至，连接并延长，交于点M，探究点M的位置． 特例探究：（1）如图2，当点K在上时，连接，求证：； （2）如图3，当点K在上时，求证：M是的中点． 问题解决：再探究一般化情形，如图1，求证：M是的中点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质；熟练掌握各性质及判定是解题的关键． 特例探究：（1）根据旋转的性质证明，依据为等腰三角形且，即可解答； （2）根据，表示出，依据线段绕点A逆时针旋转至，表示出，由证出，，即可得结论； 问题解决：连接，过点C作于E，过点B作，根据旋转性质得，在证，，即可的结论 【详解】解：特例探究 （1）证明：线段绕点A逆时针旋转至， ． 在和中， ， ， ． 又，， ， （2）在中，， ， 线段绕点A逆时针旋转至， ， ， ， 所以， ， ，， ，即M是的中点． 问题解决 如图，连接，过点C作于E，过点B作，交的延长线于F． 线段绕点A逆时针旋转至， ∴同（1）可证得， ， ， ， ． 在和中， ， ， 在和中， ， ， ， 即M是的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年（上）初二年期末考试试卷数学 （试卷满分：150分考试时间：120分钟） 考生注意： 1．全卷三大题，25小题，试卷共4页，另有答题卡． 2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分． 3．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 下列四个手机 图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（　　） A. 20° B. 50° C. 60° D. 80° 3. 2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用22纳米米，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 若平面直角坐标系中，△ABO关于x轴对称，点A的坐标为（1，-2），则点B的坐标为( ) A. （-1，2） B. （-1，-2） C. （1，2） D. （-2，1） 5. 如图所示，是用尺规作图作已知角的角平分线的示意图，则说明是的角平分线的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 一份工作，甲单独做需a天完成，乙单独做需b天完成，则甲、乙两人合作一天的工作量是（ ） A. B. C. D. a+b 7. 如图，已知AB=AC=BD，那么∠1与∠2之间的关系是（ ） A ∠1=2∠2 B. 2∠1+∠2=180° C. ∠1+3∠2=180° D. 3∠1-∠2=180° 8. 设，，，则数按从小到大的顺序排列，结果是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在下列三角形中，若，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ） A B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点，点D在第一象限，且满足：．点B是x轴正半轴上的一个动点，连接．作的两个外角平分线交于点C，点B在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：______． 12. 已知，则的值为__________． 13. 如图，已知，若要用“”证明，则还需补充条件______． 14. 如图，过边长为2的等边的顶点C作直线，然后作关于直线l对称的，P为线段上一动点，连接，，则的最小值是______． 15. 有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下： 则第n次运算结果是_____(用含字母x和n的代数式表示)． 16. 如图，已知E、F分别是正方形边、上的点，且，矩形的面积是48，分别以、为边作正方形，则图中阴影部分的面积为______． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算：． 18. 计算： 19 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，点B，E，C，F在一条直线上，，求证：． 21. 如图，在中，平分，于点E，点F在上，． （1）求证：． （2）若，求的长． 22. 甲、乙两商场自行定价销售某一商品． （1）甲商场将该商品提价15%后的售价为1.15元，则该商品在甲商场的原价为　　元； （2）乙商场将该商品提价20%后，用6元钱购买该商品的件数比没提价前少买1件，求该商品在乙商场的原价是多少？ （3）在（1）、（2）的结论下，甲、乙两商场把该商品均按原价进行了两次价格调整． 甲商场：第一次提价的百分率是a，第二次提价的百分率是b； 乙商场：两次提价的百分率都是（a＞0，b＞0，a≠b）． 请问甲、乙两商场，哪个商场的提价较多？请说明理由． 23. 如图，锐角，点E为中点，过点E作于F． （1）尺规作图：以为斜边在内部作等腰直角； （2）若（1）中所作点D恰好落在上，求证：． 24. 阅读：对于两个不等的非零实数，若分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为． 应用上面的结论解答下列问题： （1）方程有两个解，分别为_____，______． （2）关于x的方程的两个解分别为，若与互为倒数，则_____，______； （3）关于x的方程的两个解分别为，求的值． 25. 问题提出：如图1，在锐角等腰中，， ，K是动点，满足，将线段绕点A逆时针旋转至，连接并延长，交于点M，探究点M的位置． 特例探究：（1）如图2，当点K在上时，连接，求证：； （2）如图3，当点K在上时，求证：M是的中点． 问题解决：再探究一般化情形，如图1，求证：M是的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $