精品解析：湖北省武汉市光谷未来学校2024-2025学年高一上学期数学12月月考试卷

2024-2025学年高一上学期数学12月月考试卷 命题人：李励 审题人：胡继斌 考试时间：2024年12月12日周四 一、单选题 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式可得集合，由对数函数的定义域求得集合B，再由集合的交集运算即可得解. 【详解】因为或，， 所以或. 故选：C. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 利用必要不充分条件的定义判断即可． 【详解】等价于或 等价于 则“”是“”的必要不充分条件 故选：B 3. 若，，给出下列式子：①；②；③；④．其中恒有意义的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据根式的意义逐个分析判断即可 【详解】根据根指数是偶数时，被开方数为非负数，可知②无意义； 当时，，此时④无意义． 因为，所以恒有意义， 因为任何数都可以开奇次方，所以恒有意义， 所以恒有意义的式子是①③． 故选：B． 4. 幂函数在区间（0，+∞）上单调递增，且，则的值（ ） A. 恒大于0 B. 恒小于0 C. 等于0 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】先根据幂函数的定义和函数单调性求出m的值，再判断函数的单调性，根据单调性和奇偶性即可判断． 【详解】幂函数在区间（0，+∞）上单调递增， ∴，解得m＝2， ∴， ∴在R上为奇函数， 由，得， ∵在R上为单调增函数， ∴， ∴恒成立． 故选：A． 5. 著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”如函数f（x）的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性舍去A，再根据函数值的正负与趋势舍去C,D，即得结果. 【详解】根据题意，函数f（x），其定义域为{x|x≠0}， 有f（﹣x），即函数f（x）为奇函数，排除A， 又由x＞0时，有ex＞e﹣x，即有ex﹣e﹣x＞0，则有f（x）＞0，排除D， 当x→+∞时，f（x）→+∞，排除C； 故选：B 【点睛】本题考查函数图象识别，考查函数奇偶性、函数值，属基础题. 6. 声强是表示声波强度的物理量，由于声强变化范围非常大，数量级相差很多，因此通过声强级来表示声强强度大小，规定声强级（单位：分贝），其中为标准声强．若声强是声强的200倍，则声强的声强级比声强的声强级大多少分贝（结果保留整数）？（）（ ） A. 28 B. 27 C. 23 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】设声强的声强级为，声强的声强级为，则，再代入数据进行对数运算即可. 【详解】设声强的声强级为，声强的声强级为， 则, 由题知, 所以. 故选：. 7. 已知函数，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用幂函数的性质比较、、大小，再由单调性比较a、b、c大小. 【详解】由，，即， 所以，又， 所以，而递增， 故 故选：D 8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如： ， ，已知函数，则函数的值域是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简函数，根据表示不超过的最大整数，可得结果. 【详解】函数， 当时，； 当时，； 当时，， 函数的值域是，故选D. 【点睛】本题考查指数的运算、函数的值域以及新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 二、多选题 9. 已知，且，则（     ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式，结合对数的运算性质和对数函数的单调性逐一判断即可. 【详解】A：若 ，显然成立，但是，本选项不成立； B：因为， 所以， 即，当且仅当时取等号，即时取等号，因此本选项正确； C：因为，且， 所以，即， 当且仅当时取等号，显然成立，故本选项正确； D：因为，且， 所以， 当且仅当时取等号，因此本选项正确， 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用对数函数的单调性和基本不等式. 10. 设函数，当为增函数时，实数的值可能是（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】CD 【解析】 【分析】由题知，且，进而解不等式即可得,再结合选项即可得答案. 【详解】解：当时，为增函数，则， 当时，为增函数， 故为增函数，则，且，解得， 所以，实数的值可能是内的任意实数. 故选：CD. 11. 设函数的定义域为R，且满足，当时，. 则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 方程在所有根之和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据，利用变量代换，可判断A；利用赋值法求得，结合A的结论，判断B；采用反证思想，推出矛盾，判断C；将方程的根的问题转化函数图象的交点问题，数形结合，判断D. 【详解】由代换等式中可得， 即化为，又，即化为； 又由代换等式中可得， 即化为，再用代换可得， 即成立，即A正确. 令代入等式有，即， 又成立，即B正确. 若为偶函数，即函数图象关于轴对称， 故将的图象向左平移一个单位长度可得函数的图象，其图象应关于对称， 即成立，结合， 则，即， 令，则，而时，，则，矛盾， 故假设不成立，即C错误. 方程可化为，即该方程的根等价于函数与图象公共点的横坐标， 因为，故图象关于成中心对称； 由于，则图象关于直线对称； 结合时，可作出在上的图象： 如图： 而函数图象由图象向左平移1个单位得到，也关于成中心对称； 故两函数图象都关于点中心对称， 结合图象可知与的图象在上恰好有八个公共点， 记为，且， 又这八个公共点两两关于对称，则， 故成立，D正确； 故选：ABD 【点睛】方法点睛：本题考查抽象函数的性质，要综合应用函数的对称性、周期性的知识解答，判断D选项时，要将方程的根的问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，进行解答. 三、填空题 12. 已知函数，则的定义域是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得，再解不等式即可得答案. 【详解】解：要使函数有意义，则需满足， 解不等式得， 所以，函数的定义域是 故答案为： 13. 已知，计算：=__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方差公式、立方差公式进行求解即可. 【详解】. 故答案为： 14. 设函数，方程有四个不相等的实根，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数对称性作出图象，结合图象，得到且，求得，化简，结合换元法和二次函数的性质，即可求解. 【详解】当时， 所以在与上的图像关于对称. 作出图象如下图所示，不防令， 可得且 所以， 所以. 因为，令，则原式化为. 因为其对称轴为，开口向上，所以在上单调递增 所以 所以的取值范围是. 故答案为：． 【点睛】关键点睛：根据函数的对称性，作出函数的图象，结合函数的图象有，化简，利用换元法和二次函数的性质求解是解答的关键. 四、解答题 15. 求下列各式的值： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂运算公式，结合三次根式的性质进行求解即可； （2）根据对数的运算性质进行求解即可. 【小问1详解】 【小问2详解】 16. 已知函数. （1）若，求在上的值域； （2）当a，解关于的不等式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数复合函数的单调性进行求解即可； （2）利用对数函数的单调性进行求解即可. 【小问1详解】 当时，，函数在时，单调递减， 因此函数在时，单调递减， 所以， 所以在上的值域为； 【小问2详解】 由 ， 因为，所以由，或， 所以不等式的解集为. 17. 在第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕，冬奥会的举办为冰雪设备生产企业带来了新的发展机遇. 某冰雪装备器材生产企业生产某种产品的年固定成本为2000万元，每生产x千件，需另投入成本（万元）.经计算，若年产量于件低于100千件，则这x千件产品的成本；若年产量x千件不低于100千件时，则这x千件产品的成本.每千件产品售价为100万元，为了简化运算，我们假设该企业生产的产品能全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）最大值为1000万元，此时年产量为105千件 【解析】 【分析】（1）分与两种情况，求出函数解析式； （2）在（1）的基础上，结合函数单调性与基本不等式求出分段函数的最大值. 【小问1详解】 当时 ， 当时， ， ∴； 【小问2详解】 当时 ， ∴时，取得最大值，最大值为950， 当时， 当且仅当，即时取等号， 因为，所以的最大值为1000万元，此时年产量为105千件. 18. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）奇函数， 的定义域为，由，则， 则， ，故函数的为奇函数. （2）增函数， 设且 ， ，即 在上是增函数. （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断即可；（2）利用单调性定义，作差后注意变形，分析差的正负即可；（3）由（1）（2）知函数是奇函数，在R上递增，转化为，根据单调性可得对任意的恒成立，分类讨论即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 为奇函数且在上为增函数， 不等式化为 即对任意的恒成立 ①时，不等式化为恒成立，符合题意； ②时，有即 综上，的取值范围为 19. 设函数，其中为常数且.新定义：若满足，但，则称为的次不动点. （1）当时，分别求和的值； （2）求函数在上的次不动点. 【答案】（1）；；（2）； 【解析】 【分析】 （1）当时，分别计算出，，再代入解析式继而求出，. （2）根据次不动点的定义，分别讨论或，代入解析式即可求解. 【详解】（1）当时， ， ，， ， . （2） 当时，由，解得， 由于，故不是的次不动点， 当时，由， 解得， 因为， 所以是的次不动点， 当时，由，解得， ，故不是的次不动点， 当时，由， 解得， ， 即是的次不动点， 所以函数在上的次不动点为； 【点睛】本题考查函数新定义问题，考查学生的计算能力，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高一上学期数学12月月考试卷 命题人：李励 审题人：胡继斌 考试时间：2024年12月12日周四 一、单选题 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. 或 D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若，，给出下列式子：①；②；③；④．其中恒有意义的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 幂函数在区间（0，+∞）上单调递增，且，则的值（ ） A. 恒大于0 B. 恒小于0 C. 等于0 D. 无法判断 5. 著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”如函数f（x）的图象大致是（　　） A. B. C. D. 6. 声强是表示声波强度的物理量，由于声强变化范围非常大，数量级相差很多，因此通过声强级来表示声强强度大小，规定声强级（单位：分贝），其中为标准声强．若声强是声强的200倍，则声强的声强级比声强的声强级大多少分贝（结果保留整数）？（）（ ） A. 28 B. 27 C. 23 D. 14 7. 已知函数，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如： ， ，已知函数，则函数的值域是 A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知，且，则（     ） A. B. C. D. 10. 设函数，当为增函数时，实数的值可能是（ ） A. 2 B. C. D. 1 11. 设函数的定义域为R，且满足，当时，. 则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 方程在所有根之和为 三、填空题 12. 已知函数，则的定义域是_________． 13. 已知，计算：=__________. 14. 设函数，方程有四个不相等的实根，则的取值范围是___________. 四、解答题 15. 求下列各式的值： （1） （2）． 16. 已知函数. （1）若，求在上的值域； （2）当a，解关于的不等式. 17. 在第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕，冬奥会的举办为冰雪设备生产企业带来了新的发展机遇. 某冰雪装备器材生产企业生产某种产品的年固定成本为2000万元，每生产x千件，需另投入成本（万元）.经计算，若年产量于件低于100千件，则这x千件产品的成本；若年产量x千件不低于100千件时，则这x千件产品的成本.每千件产品售价为100万元，为了简化运算，我们假设该企业生产的产品能全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 设函数，其中为常数且.新定义：若满足，但，则称为的次不动点. （1）当时，分别求和的值； （2）求函数在上的次不动点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $