第一章三角形的证明课时作业 2024-2025学年北师大版数学八年级下册

滚动练习一(第一章1) 一、选择题 1.如图,若△ABC≌△ADE,∠B=80°,∠C=30°,∠DAC=35°,则∠EAC的度数为 (　　) A.40° B.35° C.30° D.25° 2.已知△ABC的周长是24,且AB=AC,又AD⊥BC,D为垂足,若△ABD的周长是20,则AD的长为(　　) A.6 B.8 C.10 D.12 3.如图,AC,BD相交于点O,∠A=∠D,如果请你再补充一个条件,使得△BOC是等腰三角形,那么你补充的条件不能是 (　　) A.OA=OD B.AB=CD C.∠ABO=∠DCO D.∠ABC=∠DCB 4.三个等边三角形按如图所示的位置摆放,若∠3=60°,则∠1+∠2的度数为 (　　) A.90° B.120° C.270° D.360° 5.在如图所示的4个三角形中,均有AB=AC,则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是 (　　) ① ② ③ ④ A.①③ B.①②④ C.①②③④ D.①③④ 二、填空题 6.如图,△ABC中,AB=AC,∠1=∠2,BC=6 cm,那么BD的长为　　　　 cm.  7.如图,D为等边三角形ABC内部一点,且∠ABD=∠BCD,则∠BDC的度数为　　　　°.  8.已知等腰三角形的一个外角为130°,则它的顶角的度数为　　　　.   9.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,D是边BC的中点,DE⊥AB于点E,如果AE=2,那么AB=　　　　.  10.把两个大小相同的含30°角的直角三角板按如图方式拼在一起,其中AC平分∠BAF,AD平分∠EAF,请写出所有的等腰三角形:　 .  三、解答题 11.(2024鞍山月考)如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=120°,BE⊥AC于点D,且DE=DB,试判断△CEB的形状,并说明理由. 12.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,∠APB≠∠APC. 求证:PB≠PC. 13.如图所示,在△ABC中,AB=AC=2,∠B=40°,点D在线段BC上运动(点D不与点B,C重合),连接AD,作∠ADE=40°,DE交线段AC于点E. (1)当∠BDA=115°时,∠BAD=　　　　;点D从点B向点C运动时,∠BDA逐渐变　　　　(填“大”或“小”).  (2)当DC等于多少时,△ABD≌△DCE? (3)在点D的运动过程中,△ADE的形状也在改变,判断当∠BDA等于多少度时,△ADE是等腰三角形? 14.(1)已知△ABC是等腰三角形,其底边是BC,点D在线段AB上,E是直线BC上一点,且∠DEC=∠DCE.若∠A=60°(如图1),求证:EB=AD. (2)若将(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”,其他条件不变(如图2),那么(1)中的结论是否仍然成立?并说明理由. 图1 图2 【详解答案】 1.B　解析:∵∠B=80°,∠C=30°,∴∠BAC=180°-80°-30°=70°.∵△ABC≌△ADE,∴∠DAE=∠BAC=70°. ∴∠EAC=∠DAE-∠DAC=70°-35°=35°.故选B. 2.B　解析:如图.∵AB=AC,且AD⊥BC,∴BD=DC=BC.∵△ABC的周长为24,∴AB+BC+AC=2AB+2BD=24. ∴AB+BD=12.∵ABD的周长是20,∴AB+BD+AD=12+AD=20.解得AD=8.故选B. 3.C　解析:A.补充OA=OD,可利用ASA证明△AOB≌△DOC,根据全等三角形的性质可得BO=CO,证得△BOC是等腰三角形;B.补充AB=CD,可利用AAS证明△AOB≌△DOC,根据全等三角形的性质可得BO=CO,证得△BOC是等腰三角形;C.补充∠ABO=∠DCO,不能证明△AOB≌△DOC,所以不能证明出△BOC是等腰三角形;D.补充∠ABC=∠DCB,可利用AAS证明△ABC≌△DCB,根据全等三角形的性质可得∠OCB=∠OBC,进而证得△BOC是等腰三角形.故选C. 4.B　解析:如图,∵图中是三个等边三角形,∠3=60°,∴∠ABC=180°-60°-60°=60°,∠ACB=180°-60°-∠2=120°- ∠2,∠BAC=180°-60°-∠1=120°-∠1.∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,∴60°+(120°-∠2)+(120°-∠1)=180°, ∴∠1+∠2=120°.故选B. 5.D　解析:由题意知,要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”,①中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为36°,36°,108°和36°,72°,72°,能;②不能;③中原等腰直角三角形的斜边上的高可把它分成两个小等腰直角三角形,能;④中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为36°,72°,72°和36°,36°,108°,能.故选D. 6.3　解析:∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.∵∠1=∠2,∴BD=CD=BC.∵BC=6 cm,∴BD=×6=3(cm). 7.120　解析:∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°,即∠ABD+∠DBC=60°. ∵∠ABD=∠BCD,∴∠BCD+∠DBC=60°.∴∠BDC=180°-60°=120°. 8.50°或80°　解析:∵等腰三角形的一个外角等于130°,∴等腰三角形的一个内角为180°-130°=50°,当50°为顶角时,其他两角为65°,65°;当50°为底角时,其他两角为50°,80°,∴等腰三角形的顶角为50°或80°. 9.8　解析:如图,连接AD.∵AB=AC,∠BAC=120°,D为边BC的中点,∴∠B=∠C=30°,∠BAD=60°,AD⊥BC. 又∵DE⊥AB,∴∠ADE=30°.∴AD=2AE=4.∴AB=2AD=8. 10.△ABE,△ACD,△ABC,△ADE　解析:根据题意得△ABE是等腰三角形,∵AC平分∠BAF,AD平分∠EAF, ∴∠BAC=∠B=∠E=∠DAE=30°,∴∠ACD=∠ADC=60°,BC=AC,AD=DE,∴△ACD,△ABC,△ADE也都是等腰三角形. 11.解:△CEB是等边三角形.理由如下: ∵AB=BC,∠ABC=120°,BE⊥AC, ∴∠CBE=∠ABE=60°,∠BDC=∠EDC=90°. ∴∠BCD=30°.∴BD=BC. 又∵BD=DE, ∴BE=BC. ∴△CEB是等腰三角形. 又∵∠CBE=60°, ∴△CEB是等边三角形. 12.证明:假设PB=PC. 在△ABP与△ACP中,AB=AC,AP=AP,PB=PC, ∴△ABP≌△ACP(SSS). ∴∠APB=∠APC. 这与已知条件∠APB≠∠APC矛盾,因此假设不成立. ∴PB≠PC. 13.解:(1)25°　小 (2)∵∠EDC+∠EDA=∠DAB+∠B, ∠B=∠EDA=40°, ∴∠EDC=∠DAB. ∵AB=AC,∴∠B=∠C. ∴当DC=AB=2时,△ABD≌△DCE. (3)∵AB=AC, ∴∠C=∠B=40°. ①当AD=AE时,∠ADE=∠AED=40°, ∵∠AED>∠C,∴此时不符合; ②当DA=DE时, ∠DAE=∠DEA=×(180°-40°)=70°, ∴∠BDA=70°+40°=110°; ③当EA=ED时,∠DAE=∠ADE=40°, ∴∠BDA=40°+40°=80°. ∴当∠BDA=110°或80°时,△ADE是等腰三角形. 14.解:(1)证明:过点D作DF∥BC交AC于点F,如图1所示, 图1 则∠ADF=∠ABC,∠AFD=∠ACB,∠FDC=∠DCE. ∵△ABC是等腰三角形,∠A=60°, ∴△ABC是等边三角形. ∴∠ABC=∠ACB=60°. ∴∠DBE=120°,∠ADF=∠AFD=60°=∠A. ∴△ADF是等边三角形, ∠DFC=120°=∠DBE. ∵∠DEC=∠DCE, ∴∠FDC=∠DEC,ED=CD, 在△DBE和△CFD中, ∴△DBE≌△CFD(AAS), ∴EB=DF, ∴EB=AD. (2)EB=AD仍然成立.理由如下: 过点D作DG∥BC交AC的延长线于点G,如图2所示. 图2 同(1)得△ABC和△ADG均为等边三角形, ∴AD=DG. 同(1)得∠GDC=∠ECD=∠DEC,ED=CD,∠DBE=∠DGC=60°, 在△DBE和△CGD中, ∴△DBE≌△CGD(AAS). ∴EB=DG. ∴EB=AD. 学科网（北京）股份有限公司 $$